2021年廣西平面幾何預賽題的向量證法

龔新平

(上海市育才中學，201801)

向量是一種重要的數(shù)學工具,它在平面幾何等諸多學科方面有著重要應用,很多數(shù)學結(jié)構或關系都可以用向量數(shù)量積和向量分解基本定理等形式來精準表達.筆者發(fā)現(xiàn)2021年各省市高中數(shù)學預賽試題中很多平面幾何問題都可以用向量方法來證明.本文將對2021年廣西平面幾何預賽題給出向量法證明,現(xiàn)整理出來和大家分享.

一、問題呈現(xiàn)

二、向量證法

①

λc2+μb2=λ2c2+2λμbccosA+μ2b2.

②

③

mc2+nb2=m2c2+2mnbccosA+n2b2.

④

λc+μb=mc+nb.

⑤

⑥

(4)最后,我們證明等式⑥ 是成立的.

所以,結(jié)論AP⊥FG得證.

三、結(jié)束語

數(shù)學競賽中的平面幾何問題一般都要用到一些重要定理, 如梅涅勞斯定理、塞瓦定理等,本文僅利用平面向量分解基本定理,結(jié)合向量數(shù)量積運算,并用新教材中向量投影的概念表達了“四點共圓”,成功建立了系數(shù)λ,μ的二元二次方程組,通過適當?shù)拇鷶?shù)變形,證明了原結(jié)論的等價命題,這些是解決問題的核心與關鍵!有興趣的讀者可進一步嘗試運用向量方法來解答2020年全國聯(lián)賽加試部分的平面幾何問題.