透視二次函數(shù)常見(jiàn)的五大考點(diǎn)

江陳峰

(江蘇省西亭高級(jí)中學(xué))

作為基本初等函數(shù),二次函數(shù)既是初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn),也是中考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn).這足以證明二次函數(shù)的重要性.高考中對(duì)二次函數(shù)的考查往往以“三個(gè)二次”(二次函數(shù)、二次方程和二次不等式)為載體,其綜合性得到加強(qiáng).那么高考命題中,對(duì)二次函數(shù)是如何考查的呢?

1 二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)的應(yīng)用

高中的二次函數(shù)與初中研究的重點(diǎn)不同,初中研究其圖像及其應(yīng)用,而高中研究其性質(zhì)及其應(yīng)用.

例1函數(shù)f(x)＝(x－2)(ax＋b)為偶函數(shù),且在(0,＋∞)單調(diào)遞增,則f(2－x)＞0 的解集為( ).

A.{x|－2＜x＜2} B.{x|x＞2或x＜－2}

C.{x|0＜x＜4} D.{x|x＞4或x＜0}

解析因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以b－2a＝0,則f(x)＝ax2－4a＝a(x－2)(x＋2),又因?yàn)閒(x)在(0,＋∞)上單調(diào)遞增,所以a＞0.由二次函數(shù)的性質(zhì)不難發(fā)現(xiàn),不等式f(2－x)＞0的解集是{x|x＜0或x＞4},故選D.

點(diǎn)評(píng)本題將一元二次函數(shù)的性質(zhì)與一元二次不等式綜合在一起,體現(xiàn)了高考對(duì)二次函數(shù)基礎(chǔ)題考查的要求.

2 與二次函數(shù)有關(guān)的零點(diǎn)及方程個(gè)數(shù)

我們知道,一元二次函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn),而當(dāng)一元二次函數(shù)中含有絕對(duì)值符號(hào)時(shí),零點(diǎn)就發(fā)生了變化.帶絕對(duì)值的一元二次函數(shù)時(shí)常出現(xiàn)在高考中,這類(lèi)問(wèn)題具有一定的難度.

例2已知函數(shù)f(x)＝|x2＋3x|,x∈R.如果方程f(x)－a|x－1|＝0恰好有4個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.

解析如圖1所示,將f(x)＝|x2＋3x|和g(x)＝a|x－1|的圖像畫(huà)在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中,于是原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為f(x)與g(x)的圖像剛好有4個(gè)交點(diǎn).當(dāng)直線(xiàn)y＝a(x－1)與拋物線(xiàn)y＝x2＋3x(或直線(xiàn)y＝－a(x－1)與拋物線(xiàn)y＝－x2－3x)相切時(shí),函數(shù)f(x)與g(x)的圖像剛好有3 個(gè)交點(diǎn).將y＝a(x－1)代入y＝x2＋3x,整理可得

圖1

x2＋(3－a)x＋a＝0.

由Δ＝(3－a)2－4a＝0,解得a＝1或9.

又當(dāng)a＝0時(shí),f(x)與g(x)僅有兩個(gè)交點(diǎn),所以0＜a＜1或a＞9.

點(diǎn)評(píng)對(duì)于零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題一般可以采用數(shù)形結(jié)合方法求解,一元二次函數(shù)也不例外,通過(guò)構(gòu)造一定一動(dòng)的兩個(gè)函數(shù),在動(dòng)函數(shù)的圖像移動(dòng)中可直接找到答案.

3 二次函數(shù)零點(diǎn)(一元二次方程根)的分布

二次函數(shù)零點(diǎn)(一元二次方程根)的分布問(wèn)題,出現(xiàn)在“函數(shù)與方程”的章節(jié)中.作為一種數(shù)學(xué)思想,函數(shù)與方程是高中數(shù)學(xué)解題必備的策略,而根的分布問(wèn)題恰好體現(xiàn)了這個(gè)思想,所以這個(gè)考點(diǎn)常常出現(xiàn)在函數(shù)綜合題中.

例3已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a,b∈R,a≠0).

(1)當(dāng)a＝1,b＝2 時(shí),若存在實(shí)數(shù)x1,x2(x1≠x2)滿(mǎn)足|f(xi)|＝2(i＝1,2),試求實(shí)數(shù)c的取值范圍;

(2)若a＞0,函數(shù)f(x)在[－5,－2]上不單調(diào),且該函數(shù)圖像與x軸相切,記f(2)＝λ(b－2a),試求實(shí)數(shù)λ滿(mǎn)足的取值范圍.

解析(1)由題意知方程x2＋2x＋c＝2有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,且x2＋2x＋c＝－2無(wú)實(shí)數(shù)根,于是有所以－1＜c＜3.

(2)因?yàn)閍＞0,函數(shù)f(x)在[－5,－2]上不單調(diào),且該函數(shù)圖像與x軸相切,所以

點(diǎn)評(píng)本題第(1)問(wèn)明顯是二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題,而第(2)問(wèn)看似與二次函數(shù)的零點(diǎn)分布問(wèn)題無(wú)關(guān),但要求λ的取值范圍,必須先確定的取值范圍,這時(shí)需用到f(x)在[－5,－2]上有極值點(diǎn),這也是一個(gè)零點(diǎn)分布問(wèn)題.

4 含參數(shù)的二次函數(shù)

討論參數(shù),是高中數(shù)學(xué)的重要題型,因此含參數(shù)的二次函數(shù)問(wèn)題時(shí)常出現(xiàn),難度中等或中等偏上.

例4如果函數(shù)y＝的值域是[0,＋∞),那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為( ).

A.(2,＋∞)

B.(－∞,－1)∪(2,＋∞)

C.[－1,2]

D.[0,2]

解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝的值域是[0,＋∞),所以t＝2ax2＋4x＋a－1能取遍[0,＋∞)上的所有實(shí)數(shù).

當(dāng)a＝0時(shí),函數(shù)t＝4x－1能取遍[0,＋∞)上的所有實(shí)數(shù),只需它的定義域滿(mǎn)足[,＋∞)即可.

當(dāng)a≠0時(shí),為使t＝2ax2＋4x＋a－1能取遍[0,＋∞)上的所有實(shí)數(shù),只需滿(mǎn)足條件

解得0＜a≤2,故0≤a≤2,選D.

點(diǎn)評(píng)這里需特別注意定義域是R 與值域?yàn)閇0,＋∞)的區(qū)別,根據(jù)值域是[0,＋∞)可知函數(shù)t＝2ax2＋4x＋a－1能取遍[0,＋∞)上的所有實(shí)數(shù);而定義域?yàn)镽,等價(jià)于2ax2＋4x＋a－1≥0恒成立.這是兩個(gè)不同的概念,不可混為一談.

5 與二次函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)

在高考中,為提高二次函數(shù)的考查難度與力度,往往將二次函數(shù)問(wèn)題與復(fù)合函數(shù)相結(jié)合,解題時(shí)需要弄清楚內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)之間的關(guān)系.

例5已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x＋1,若f(f(x))≥0在R上都恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.

點(diǎn)評(píng)本題是一個(gè)二次函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的問(wèn)題,具有一定的難度,解答時(shí)應(yīng)注意內(nèi)函數(shù)的值域就是外函數(shù)的定義域.

總之,高考對(duì)二次函數(shù)的考查一般不會(huì)單獨(dú)命題,而是隱藏在函數(shù)的綜合題中,在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí),需特別注意數(shù)學(xué)思想的合理運(yùn)用.

(完)