二次函數(shù)中系數(shù)的符號(hào)與其圖象之間的關(guān)系

?甘肅省慶陽(yáng)市寧縣中村初級(jí)中學(xué) 韓興寧

1 引言

圖象與性質(zhì)作為初中數(shù)學(xué)中二次函數(shù)非常重要的內(nèi)容，其系數(shù)符號(hào)的判斷不亞于求函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)[1].盡管該知識(shí)點(diǎn)基礎(chǔ)且重要，但是仍有很多學(xué)生對(duì)此掌握不夠深入.為此，筆者結(jié)合近幾年的中考題，為學(xué)生提供判斷二次函數(shù)系數(shù)符號(hào)的方法，同時(shí)也為一線教師在這方面的教學(xué)提供參考.

2 方法探究

對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)而言，ax2的系數(shù)為a，bx的系數(shù)為b，c常數(shù)項(xiàng).當(dāng)然，這里的a，b，c已經(jīng)包含了符號(hào)，在此作特殊說(shuō)明[2].那么，如何根據(jù)二次函數(shù)的圖象分析出系數(shù)的符號(hào)呢？接下來(lái)將從以下三個(gè)方面進(jìn)行研究.

2.1 確定“a”的符號(hào)

“a”的符號(hào)通常比較容易確定，它與二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向有關(guān)，即圖象開(kāi)口向上時(shí)a為正數(shù)，圖象開(kāi)口向下時(shí)a為負(fù)數(shù)[3].關(guān)于 “a”的符號(hào)的判斷，在中考題中出現(xiàn)得比較少，這與它的難易程度有關(guān).

例1如圖1，函數(shù)y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)的圖象可能是( ).

圖1

解析：函數(shù)y=ax+1中的“a”與y=ax2+bx+1(a≠0)中的“a”符號(hào)一致，所以可根據(jù)y=ax2+bx+1(a≠0)圖象的開(kāi)口方向判斷“a”的符號(hào).首先，A，B選項(xiàng)中二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下，所以a<0，那么直線應(yīng)向下傾斜，選項(xiàng)B排除.然而，函數(shù)y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)中都有“1”，即圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)都為(0，1)，因此排除選項(xiàng)A.其次，C，D選項(xiàng)中二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上，所以a>0，那么直線應(yīng)向上傾斜，選項(xiàng)D排除.所以，本題應(yīng)選答案：C.

2.2 確定“b”的符號(hào)

“b”的符號(hào)判斷比較復(fù)雜，因?yàn)樾枰紤]二次函數(shù)中與b有關(guān)的量.這時(shí)候，就自然想到了判別式Δ和頂點(diǎn)坐標(biāo)，其中頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)系最簡(jiǎn)單，即對(duì)稱軸.所以，在“a”一定的前提下，嘗試從對(duì)稱軸的位置探究確定“b”的符號(hào)的方法.

首先，觀察圖2中兩個(gè)函數(shù)圖象，它們都是開(kāi)口向下，不同的是①中的對(duì)稱軸與x軸的負(fù)半軸相交，而②中則與x軸的正半軸相交.

圖2

最后，綜合兩種不同的情況，發(fā)現(xiàn)b的符號(hào)與a有關(guān)，且通過(guò)對(duì)稱軸的位置得到了a與b“左同右異”的關(guān)系.

例2如圖3,函數(shù)y=mx+m和函數(shù)y=-mx2+2x+2(m是常數(shù)，且m≠0)的圖象可能是( ).

圖3

解析：函數(shù)y=mx+m和函數(shù)y=-mx2+2x+2(m是常數(shù)，且m≠0)中的“m”符號(hào)一致.首先，四個(gè)選項(xiàng)中均以直線為參考對(duì)象.在A，B，D三個(gè)選項(xiàng)中，直線y=mx+m均向下傾斜且與y軸負(fù)半軸相交，所以m<0，則-m>0，所以二次函數(shù)開(kāi)口向上，排除A選項(xiàng).再觀察b=2>0，采用“左同右異”中的“左同”得到對(duì)稱軸應(yīng)與x軸的負(fù)半軸相交，即選項(xiàng)B排除.因?yàn)镃選項(xiàng)中的直線向上傾斜，所以m>0，因此-m<0，這與C選項(xiàng)的二次函數(shù)開(kāi)口方向向上矛盾，所以應(yīng)排除C選項(xiàng).故選答案：D.

2.3 確定“c”的符號(hào)

“c”的符號(hào)的確定，需要先觀察二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0).不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x=0時(shí)，y=c，即函數(shù)與縱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0，c)[4].由此可見(jiàn)，“c”的符號(hào)的確定依賴于交點(diǎn)坐標(biāo)(0，c).如果二次函數(shù)圖象與縱軸的正半軸相交，那么c>0；如果二次函數(shù)圖象與縱軸的負(fù)半軸相交，那么c<0；如果二次函數(shù)圖象過(guò)原點(diǎn)，那么c=0.

例3拋物線的圖象如圖4所示，根據(jù)圖象可知，拋物線的解析式可能是( ).

圖4

A.y=x2-x-2

D.y=-x2+x+2

解析：函數(shù)圖象顯示開(kāi)口向下，交y軸正半軸，其對(duì)稱軸與x軸正半軸相交.根據(jù)上述分析，可知a<0；c>0；b的符號(hào)與a的符號(hào)相反，既然a<0，那么b>0.綜合此三點(diǎn)，選項(xiàng)A,C排除.再仔細(xì)觀察圖象可知，圖象與y軸正半軸的交點(diǎn)一定不是(0，1)，而是(0，2)，所以應(yīng)選答案：D.

3 方法應(yīng)用

例4(濰坊)已知二次函數(shù)y=

ax2+bx+c的圖象如圖5所示，則a，b，c滿足( ).

圖5

A．a(chǎn)<0，b<0，c>0

B．a(chǎn)<0，b<0，c<0

C．a(chǎn)<0，b>0，c>0

D．a(chǎn)>0，b<0，c>0

解析：觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)，圖象顯示開(kāi)口向下，所以a<0；圖象與y軸的正半軸相交，所以c>0；對(duì)稱軸與x軸的負(fù)半軸相交，所以b與a的符號(hào)相同，都是負(fù)數(shù).綜上可知，a<0，b<0，c>0.故選答案：A.

例5(陜西省)已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(其中a<0，b<0，c>0)，關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的圖象有如下說(shuō)法：①圖象的開(kāi)口一定向上；②圖象的頂點(diǎn)一定在第四象限；③圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在y軸的右側(cè)．以上說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為( ).

A．0 B．1 C．2 D．3

解析：本題沒(méi)有給出圖象，而是需要根據(jù)“a<0，b<0，c>0”嘗試畫(huà)出圖象，然后根據(jù)圖象在①②③中選擇.所以，首先根據(jù)“a<0，b<0，c>0”畫(huà)出圖象，如圖6所示.然后，根據(jù)圖象分析可知①錯(cuò)誤，圖象應(yīng)該一定開(kāi)口向下；②錯(cuò)誤，圖象的頂點(diǎn)一定在第二象限；③正確.所以，本題應(yīng)該選答案：B.

圖6

4 結(jié)語(yǔ)

總而言之，二次函數(shù)中系數(shù)符號(hào)的確定既關(guān)系到學(xué)生對(duì)函數(shù)圖象的整體把握，又關(guān)乎到后期的計(jì)算.倘若在第一步就判斷錯(cuò)誤a，b，c的符號(hào)，那么后續(xù)有關(guān)系數(shù)的運(yùn)算一定會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.所以，作為一線數(shù)學(xué)教師，在用心教學(xué)、耐心指導(dǎo)的前提下，務(wù)必讓學(xué)生掌握該基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)，為日后函數(shù)的計(jì)算和應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).