基于深度學(xué)習(xí)的“勾股定理的應(yīng)用”課堂設(shè)計(jì)

?青島經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第四中學(xué) 孔祥騫

所謂深度學(xué)習(xí)，是指在教師引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程[1].深度學(xué)習(xí)是改變傳統(tǒng)的一言堂、滿堂灌，突出學(xué)生為主體，側(cè)重思維發(fā)展的新型學(xué)習(xí)方式.下面就基于深度學(xué)習(xí)的一節(jié)課的課堂設(shè)計(jì)展開(kāi)討論.

1 教學(xué)分析

1.1 教材分析

本節(jié)是人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章第二節(jié)的內(nèi)容，主要是在前面已學(xué)過(guò)探究和證明勾股定理的基礎(chǔ)上對(duì)勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

1.2 教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)教材內(nèi)容及學(xué)情，對(duì)本節(jié)課制定以下教學(xué)目標(biāo)：

(1)經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形模型的過(guò)程，能用勾股定理解決問(wèn)題，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)；

(2)在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體驗(yàn)解決問(wèn)題的策略，養(yǎng)成獨(dú)立思考和質(zhì)疑的習(xí)慣.

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 情境設(shè)置

首先回顧勾股定理的主要內(nèi)容：

師：上一節(jié)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直角三角形中三條邊的關(guān)系，請(qǐng)大家回憶勾股定理的主要內(nèi)容.

生：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于第三條邊的平方.

師：請(qǐng)同學(xué)們嘗試用勾股定理解決下面的問(wèn)題.

課件呈現(xiàn)：

(1)求圖1所示的直角三角形的斜邊AB的長(zhǎng)度；

圖1

(2)求圖2所示的Rt△ABC中BC的長(zhǎng)度；

圖2

(3)求圖3所示的等腰三角形底邊BC上的高.

圖3

小組內(nèi)討論并思考：在解決問(wèn)題時(shí)，(1)(2)(3)三者之間的異同點(diǎn).

小組A：都需要用勾股定理去解決.

師：非常好，找到了解決問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn).那三個(gè)問(wèn)題解決方法一樣嗎？

師：說(shuō)得非常準(zhǔn)確，理解也非常透徹！本節(jié)課我們就利用勾股定理直接求解，已知直角三角形某兩邊關(guān)系列方程求解和沒(méi)有直角三角形構(gòu)造直角三角形求解這三種情況開(kāi)始學(xué)習(xí).

設(shè)計(jì)意圖：利用三個(gè)簡(jiǎn)單的基本三角形簡(jiǎn)潔明了地展示了本節(jié)課的整體的設(shè)計(jì)脈絡(luò)，同時(shí)為學(xué)生利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題打開(kāi)了思路，初步獲得解題經(jīng)驗(yàn)，有利于學(xué)生更深刻地理解勾股定理的應(yīng)用.小組討論有利于學(xué)生思維的碰撞，提高合作意識(shí)，共同進(jìn)步.

2.2 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

模塊一：直接應(yīng)用，鞏固定理

教師出示問(wèn)題：

在一次臺(tái)風(fēng)的襲擊中，小明家房前的一棵大樹(shù)在離地面6 m處斷裂，樹(shù)的頂部落在離樹(shù)根底部8 m處，如圖4.你能告訴小明這棵樹(shù)折斷之前有多高嗎？

圖4

生：由勾股定理可得樹(shù)原來(lái)有16 m.

師：你是如何得出的？

生：可以抽象出一個(gè)直角三角形，且兩直角邊分別為6 m和8 m，類似圖1，由勾股定理直接求折斷部分的長(zhǎng)，然后與下半部分加起來(lái)即原樹(shù)高.

設(shè)計(jì)意圖：本模塊的設(shè)置正是前面情境設(shè)置中的第(1)題的變式，賦予實(shí)際背景之后，學(xué)生只需將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)圖形，進(jìn)而解決.這里不僅要求學(xué)生對(duì)勾股定理透徹理解，還需要具有將實(shí)際圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)圖形的能力.

模塊二： 變換條件，探究變化

如果變換條件，得到如下問(wèn)題：

在一次臺(tái)風(fēng)的襲擊中，小明家房前的一棵16 m的大樹(shù)被風(fēng)刮斷，如圖5，樹(shù)的頂部落在離樹(shù)根底部8 m處.你能告訴小明這棵樹(shù)是在多高處折斷的嗎？

圖5

師：請(qǐng)同學(xué)們先自己思考，再小組內(nèi)交流，最后以小組為單位解決問(wèn)題.

小組C：先由實(shí)際圖形抽象出一個(gè)直角三角形，由已知條件可得，一條直角邊邊長(zhǎng)為8，另外兩邊都不知道，但是知道它們兩個(gè)的和為16.可以設(shè)另一條直角邊邊長(zhǎng)為x，那么斜邊長(zhǎng)就可以用16-x來(lái)表示，應(yīng)用勾股定理可得x2+82=(16-x)2，解出x即可.

師：這一問(wèn)題變化在哪？

生：與圖2對(duì)應(yīng)的問(wèn)題類似，已知直角三角形中確定一條邊以及另外兩條邊的關(guān)系，可以依據(jù)勾股定理列方程求解.

設(shè)計(jì)意圖：本模塊在模塊一的基礎(chǔ)上條件稍作改變，依據(jù)情境設(shè)置中第(2)問(wèn)的解題思路去解決，加深學(xué)生對(duì)勾股定理的理解，發(fā)展學(xué)生的方程思想.

模塊三：鞏固提升，深度學(xué)習(xí)

師：如圖6，在模塊一、二問(wèn)題的基礎(chǔ)上，樹(shù)干A處有一知了，大樹(shù)折斷落地后同時(shí)從離地面3 m高的位置落到地面，且距離樹(shù)的的頂部4 m，你能求出知了原來(lái)在樹(shù)的多高處嗎？

圖6

要利用勾股定理解決此問(wèn)題，需要找出所在的直角三角形，那么利用前面構(gòu)建的直角三角形可以解決嗎？需要將這一問(wèn)題放在哪個(gè)直角三角形中呢？

學(xué)生：可以考慮從A處向地面做一條垂線段AB，構(gòu)造出一個(gè)直角三角形.如圖7，在Rt△ABC中，兩直角邊分別為3和4，由勾股定理可得斜邊為5 m.也就是說(shuō)知了離樹(shù)的頂端5 m，所以知了在樹(shù)的11 m高處.

圖7

設(shè)計(jì)意圖：基于模塊一和模塊二的實(shí)際背景，繼續(xù)探討沒(méi)有直角三角形時(shí)，如何構(gòu)造直角三角形去解決問(wèn)題.

2.3 遷移應(yīng)用

(1)如圖8，長(zhǎng)方形ABCD中 ，AB=3,AD=1,AB在數(shù)軸上，若以點(diǎn)A為圓心，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為半徑作弧，交數(shù)軸的正半軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M表示的數(shù)為_(kāi)_______.

圖8

(2)如圖9，印度數(shù)學(xué)家什迦邏(1141-1225)曾提出過(guò)“荷花問(wèn)題”：“平平湖水清可鑒，面上半尺生紅蓮；出泥不染亭亭立，忽被強(qiáng)風(fēng)吹一邊；漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠(yuǎn)；能算諸君請(qǐng)解題，湖水如何知深淺？”請(qǐng)用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)回答這個(gè)問(wèn)題.

圖9

(3)如圖10，有兩棵樹(shù)，一棵高12 m，另一棵高6 m，兩樹(shù)相距8 m.一只鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的樹(shù)梢飛到另一棵樹(shù)的樹(shù)梢，則小鳥(niǎo)至少飛行______m.

圖10

小結(jié)：今天你有哪些收獲？

設(shè)計(jì)意圖：在前面三類問(wèn)題的基礎(chǔ)上設(shè)置同樣類型的題目進(jìn)行練習(xí)，加以鞏固，最后小結(jié)，學(xué)生針對(duì)不同類型題目總結(jié)出不同解題策略，加強(qiáng)對(duì)勾股定理的應(yīng)用的學(xué)習(xí)深度.

3 設(shè)計(jì)思考

3.1 提煉模型，理解本質(zhì)

“勾股定理的應(yīng)用”這一節(jié)先用三個(gè)有層次的簡(jiǎn)單問(wèn)題(知道直角三角形的兩邊，直接利用勾股定理計(jì)算第三邊；已知直角三角形中一條邊和另兩條的關(guān)系，利用勾股定理列方程計(jì)算；沒(méi)有直角三角形需構(gòu)造直角三角形)調(diào)動(dòng)學(xué)生思考、探究的積極性，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)不同問(wèn)題的解題方法，提升學(xué)生的思維能力，并積累解題經(jīng)驗(yàn)，形成解題思路，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

3.2設(shè)計(jì)變式，分析模型

教學(xué)過(guò)程中的三個(gè)模塊是在同一個(gè)實(shí)際背景下分別對(duì)應(yīng)情境設(shè)置中三個(gè)模型進(jìn)行的變式，由淺入深，逐層遞進(jìn).在經(jīng)歷了情境設(shè)置中的三個(gè)問(wèn)題后，學(xué)生已經(jīng)有了解題思路，但需要深度加工，抽象出幾何圖形；同時(shí)，變式也促進(jìn)了學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

3.3 滲透思想，提升能力

在變式中，學(xué)生進(jìn)一步深刻理解三類問(wèn)題的解題方法，隨堂練習(xí)更是加深了學(xué)生對(duì)本節(jié)課的思想方法的理解.通過(guò)不斷地對(duì)知識(shí)歸納總結(jié)，并對(duì)所學(xué)知識(shí)有新的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步達(dá)到深度學(xué)習(xí).

4 寫(xiě)在最后

深度學(xué)習(xí)是理解性的教學(xué)，不是灌輸性的教學(xué)；是反思性的教學(xué)，不是接受性的教學(xué)[2].深度學(xué)習(xí)是追求提升學(xué)科內(nèi)涵、發(fā)展學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué).

深度學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)是建立在學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上，以學(xué)生為主體的設(shè)計(jì).若不能深入地開(kāi)展教學(xué)，只能認(rèn)為是教師一堂精彩的自我表演.因此，雙減教育形勢(shì)下，教學(xué)設(shè)計(jì)要考慮本節(jié)課的目標(biāo)是什么，重難點(diǎn)是什么，應(yīng)當(dāng)采用什么樣的教學(xué)手段讓學(xué)生構(gòu)建新的知識(shí)體系.在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該研究知識(shí)本質(zhì)，深挖知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，盡量將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)整合，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)[3].

蘇格拉底說(shuō):“教育不是灌輸,而是點(diǎn)燃火焰.”深度學(xué)習(xí)就是點(diǎn)燃學(xué)生、點(diǎn)燃課堂的火焰.期待深度學(xué)習(xí)的星星火焰，在數(shù)學(xué)課堂上日漸燎原.