圓錐擺“形變”記

涂劍濤

(河南省沈丘縣第二高級(jí)中學(xué))

圓錐擺是圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)板塊中的重要模型之一,也是高考考查的重要知識(shí)點(diǎn).在高考中,對(duì)于圓錐擺的考查,常常以圓錐擺原模型為“本”,進(jìn)行形變、演化,從而考查考生對(duì)知識(shí)的應(yīng)用能力.下面,我們先回顧一下圓錐擺的“本”.

圓錐擺模型長(zhǎng)為l的輕繩一端拴有質(zhì)量為m的小球,另一端固定,小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),輕繩與豎直方向的夾角為θ.

分析我們對(duì)小球進(jìn)行受力分析,如圖1 所示,小球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r＝lsinθ,小球運(yùn)動(dòng)軌道平面到懸點(diǎn)的距離h＝lcosθ,小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力

圖1

回顧完了圓錐擺模型的“本”,我們就以兩道試題為例,探究圓錐擺兩類重要形變.

變形1 雙繩類圓錐擺

1)如圖2所示,兩輕繩拴著小球在水平面內(nèi)繞豎直桿AB做勻速圓周運(yùn)動(dòng),長(zhǎng)度為l的輕繩AC與豎直方向的夾角為θ,要求BC一直水平拉直,當(dāng)繩子BC拉力等于零時(shí),小球的角速度最小,有mgtanθ＝,解得ω0＝.角速度由ω0增大的過(guò)程中,因?yàn)槔KAC上的拉力在豎直方向的分量等于重力,故繩AC上的拉力大小不變,繩BC開(kāi)始有拉力,并由零開(kāi)始逐漸增大.

圖2

2)如圖3所示,豎直輕繩a和水平輕繩b拴著小球在水平面內(nèi)繞豎直桿BC做勻速圓周運(yùn)動(dòng),小球的角速度由零逐漸增加的過(guò)程中,因?yàn)槔Ka上的拉力大小等于mg,故繩a拉力大小不變;繩b上的拉力充當(dāng)向心力,隨著角速度的增加,繩b上的拉力逐漸變大.

圖3

3)如圖4所示,兩輕繩在水平方向的分力之和充當(dāng)向心力;豎直方向的分力與重力的合力等于零.

圖4

例1如圖6所示的離心裝置中,光滑水平輕桿固定在豎直轉(zhuǎn)軸的O點(diǎn),小圓環(huán)A和輕質(zhì)彈簧套在輕桿上,長(zhǎng)為2L的細(xì)線和彈簧兩端分別固定于O和A,質(zhì)量為m的小球B固定在細(xì)線的中點(diǎn),裝置靜止時(shí),細(xì)線與豎直方向的夾角為37°,現(xiàn)將裝置由靜止緩慢加速轉(zhuǎn)動(dòng),當(dāng)細(xì)線與豎直方向的夾角增大到53°時(shí),A、B間細(xì)線的拉力恰好減小到零,彈簧彈力與靜止時(shí)大小相等、方向相反.重力加速度為g,取sin37°＝0.6,cos37°＝0.8,求:

圖5

(1)裝置靜止時(shí),彈簧彈力的大小F;

(2)環(huán)A的質(zhì)量M.

解析(1)設(shè)裝置靜止時(shí)AB、OB的張力分別為F1、F2,對(duì)A有F＝F1sin37°,對(duì)B有

F1cos37°＋F2cos37°＝mg,F1sin37°＝F2sin37°,解得F＝.

變形2 有支持力、摩擦力參與的類圓錐擺

1)如圖6所示,小滑塊與粗糙的斜面一起繞著轉(zhuǎn)軸BC在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則有:a)小物塊受到的沿斜面向上的靜摩擦力與支持力在水平方向的分力充當(dāng)向心力;b)小物塊受到的沿斜面向上的靜摩擦力、支持力、重力在豎直方向的合力等于零;c)隨著角速度的增加,小物塊受到的靜摩擦力越來(lái)越大,支持力越來(lái)越小,當(dāng)靜摩擦力達(dá)到最大值時(shí),小物塊將做離心運(yùn)動(dòng).

圖6

2)如圖7所示,小球在粗糙的漏斗內(nèi)壁做勻速圓周運(yùn)動(dòng).a)當(dāng)小球的角速度ω＝時(shí),小球與漏斗內(nèi)壁沒(méi)有摩擦力;b)當(dāng)小球的角速度ω＞時(shí),小球與漏斗內(nèi)壁之間有沿著斜面向下的靜摩擦力,并隨著ω的增大而增加,斜壁支持力隨著ω的增加而增大;c)當(dāng)小球的角速度ω＜時(shí),小球與漏斗內(nèi)壁之間有沿著斜面向上的靜摩擦力,并隨著ω的增大而減小,斜壁支持力隨著ω的增加而增大.

圖7

例2如圖8所示,傾角θ＝53°的斜面ABC固定在可以繞豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上,斜面最低點(diǎn)A在轉(zhuǎn)軸OO1上.轉(zhuǎn)臺(tái)以角速度ω勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),將質(zhì)量為m的小物塊(可視為質(zhì)點(diǎn))放置于斜面上,經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后小物塊與斜面一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)靜止在AB面上,此時(shí)小物塊到A點(diǎn)的距離為L(zhǎng).已知小物塊與斜面之間動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5,重力加速度為g,若最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力,取sin53°＝0.8,cos53°＝0.6.則物塊相對(duì)斜面靜止時(shí)().

圖8

A.小物塊受到的摩擦力方向一定沿斜面向下

B.小物塊對(duì)斜面的壓力大小不小于mg

C.水平轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω應(yīng)不小于

D.水平轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角速度ω應(yīng)不大于

解析當(dāng)角速度較小時(shí),小物塊有沿斜面向下的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì),受到的摩擦力方向沿斜面向上,選項(xiàng)A 錯(cuò)誤;當(dāng)角速度最小時(shí),物塊恰好不下滑,受力分析如圖9所示,根據(jù)平衡條件有FN1cosθ＋Ff1sinθ＝mg,Ff1＝μFN1,FN1sinθ－Ff1cosθ＝,解得ω1＝,FN1＝mg.

圖9

圖10

當(dāng)角速度最大時(shí),物塊恰好不上滑,受力分析如圖10所示.根據(jù)平衡條件有FN2cosθ＝Ff2sinθ＋mg,Ff2＝μFN2.x軸方向有FN2sinθ＋Ff2cosθ＝,解得ω2＝,FN2＝5mg.由以上分析可知,角速度取值范圍為.小物塊對(duì)斜面的壓力大?。紽N,取值范圍為mg≤≤5mg,故選項(xiàng)B、C正確.

在解答圓錐擺類題目時(shí),要對(duì)做圓周運(yùn)動(dòng)的物體的受力情況分析清楚,不漏力、不添力,并注意隨著角速度的變化,拉力、支持力的大小都會(huì)發(fā)生變化,靜摩擦力不僅大小變化,方向也可能發(fā)生變化,在解題時(shí),要注意分析這些變化.

(完)