三維彈性力學(xué)改進(jìn)的插值型維數(shù)分裂無單元Galerkin方法權(quán)函數(shù)研究

孟智娟，房亞楠，遲曉菲

(太原科技大學(xué)應(yīng)用科學(xué)學(xué)院，山西 太原 030024)

1 引言

彈性力學(xué)問題是典型的一種工程問題.目前求解彈性力學(xué)問題的數(shù)值方法包含有限元法[1]、有限差分法[2]、邊界元法[3]和無網(wǎng)格法[4].無網(wǎng)格法對單元或網(wǎng)格無依賴性.三維彈性力學(xué)改進(jìn)的插值型維數(shù)分裂無單元Galerkin法(IIDSEFG)是利用維數(shù)分裂法(dimension splitting method，簡稱DSM)將三維彈性體轉(zhuǎn)化為一系列相關(guān)的二維彈性體，然后采用改進(jìn)的插值型無單元Galerkin法(improved interpolating element-free Galerkin，簡稱IIEFG)對二維問題進(jìn)行數(shù)值模擬，在分裂方向上采用FDM.最后得到了三維彈性問題的離散系統(tǒng)方程.

IIEFG方法為帶有非奇異權(quán)函數(shù)的插值型移動(dòng)最小二乘法(improved interpolating moving leastsquares，簡稱IIMLS)近似構(gòu)造試函數(shù).其中，基函數(shù)選擇具有插值特性的正交函數(shù)族，權(quán)函數(shù)選為非奇異函數(shù)，在形函數(shù)的構(gòu)造過程中，權(quán)函數(shù)起到重要的作用.以此，研究權(quán)函數(shù)的選擇對數(shù)值結(jié)果的影響具有重要意義.常見的權(quán)函數(shù)一般有三次樣條、四次樣條、指數(shù)函數(shù)和正定緊支徑向基函數(shù).張贊等使用改進(jìn)的無單元Galerkin方法(improved element-free Galerkin，簡稱IEFG)模擬三維問題時(shí)，采用了四次樣條函數(shù)作為權(quán)函數(shù)[5].Lancaster和任紅萍等建立二維移動(dòng)最小二乘插值法時(shí)，均采用奇異權(quán)函數(shù)構(gòu)造滿足插值特性的形函數(shù)[6].王聚豐等提出了基于非奇異權(quán)函數(shù)改進(jìn)的移動(dòng)最小二乘插值法，并建立了IIEFG方法[7].苗雨等建立三維彈性力學(xué)的奇異混合邊界節(jié)點(diǎn)法無網(wǎng)格分析[8].但是上述無網(wǎng)格方法在求解三維問題時(shí)計(jì)算效率普遍偏低.DSM方法與無網(wǎng)格方法的耦合能提高IIEFG方法的計(jì)算效率.李開泰等首先選用DSM求解三維方程[9].候延仁等應(yīng)用DSM求解了一個(gè)三維橢圓方程[10].Ter Maten EJW應(yīng)用DSM求解四階拋物型偏微分方程[11].Bragin等應(yīng)用DSM來分析守恒定律[12].本文作者提出維數(shù)分裂無單元Galerkin方法[13-14]和IIDSEFG方法來模擬三維問題[15].程珩應(yīng)用改進(jìn)的復(fù)變量無單元Galerkin方法模擬三維問題[16].吳謙等提出DSM與奇異權(quán)函數(shù)無單元Galerkin插值法相結(jié)合解決三維問題[17].

IIDSEFG方法在構(gòu)造形函數(shù)時(shí)權(quán)函數(shù)起到至關(guān)重要的作用，本文通過選擇不同權(quán)函數(shù)構(gòu)造的可直接施加本質(zhì)邊界條件的IIDSEFG方法與采用罰函數(shù)法施加本質(zhì)邊界條件的IEFG方法進(jìn)行比較，說明IIDSEFG解決三維彈性力學(xué)問題的有效性及權(quán)函數(shù)研究的重要性.

2 三維彈性力學(xué)問題弱格式模型的建立

三維彈性力學(xué)問題的平衡方程為

其中σij(i，j＝1，2，3)是應(yīng)力分量，bi(i＝1，2，3)是單位體積上的體力分量.

對應(yīng)的邊界條件為

其中ui為位移分量，Ω為帶有邊界的三維求解域，且為位移邊界Γu上的已知位移分量，為應(yīng)力邊界Γq上的已知面力分量，nj為邊界上的單位外法向向量的分量.

采用IIDSEFG方法求解，選取x3作為分裂方向，問題域在x3方向上平均分裂為L層，即形成L＋1個(gè)二維子域Ω(k)，，相鄰兩層之間的距離為Δx3于是有

其中

固定，三維彈性力學(xué)問題轉(zhuǎn)化為二維彈性力學(xué)問題，直角坐標(biāo)系下平衡方程(1)、(2)和邊界條件(4)、(5)轉(zhuǎn)化為

選用基于非奇異權(quán)函數(shù)的IIEFG方法求解二維邊值問題(9)-(12).由于形函數(shù)采用IIMLS方法構(gòu)造，所以具有插值特性，可直接施加本質(zhì)邊界條件，本文選用對角元素化為1的方法直接處理.得到式(9)-(12)的Galerkin積分弱形式為

其中

3 三維彈性力學(xué)問題的IIDSEFG方法及其權(quán)函數(shù)研究

3.1 IIMLS方法

其中pi(x(k))為基函數(shù)，m為基函數(shù)的個(gè)數(shù)，ai(x(k))為基函數(shù)的系數(shù).

為了構(gòu)造所需的基函數(shù)，首先，選擇線性基函數(shù)如下

然后，對基函數(shù)做變換

其中

對x(k)點(diǎn)處的位移u(x(k))作類似的變換，得到

定義泛函

其中，w(x(k)-x1(k))為權(quán)函數(shù)，x1(k)，I＝1，2，…，n為網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)x(k)的影響域內(nèi)覆蓋的節(jié)點(diǎn).

令

得

其中

從而有

其中

3.2 IIDSEFG方法權(quán)函數(shù)研究

權(quán)函數(shù)是具有緊支特性的局部函數(shù)，其影響域常為圓形域和矩形域.一般滿足如下性質(zhì):

1)正定性，設(shè)Ω1為節(jié)點(diǎn)x1處權(quán)函數(shù)的影響域，ρ1表示x1的影響域大小.在Ω1內(nèi)，w(x-x1，ρ1)＞0；

2)緊支性，在影響域Ω1外，w(x-x1，ρ1)＝0；

4)單調(diào)遞減性，w(x-x1，ρ1)是的單調(diào)減函數(shù)；

5)插值性，當(dāng)ρ1→0時(shí)，這里δ(x)為Diracδ函數(shù).

函數(shù)本身的連續(xù)性和可導(dǎo)性是衡量權(quán)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn).常見的權(quán)函數(shù)有三次樣條函數(shù)，四次樣條函數(shù)，指數(shù)函數(shù)和正定緊支徑向基函數(shù).其示意圖如圖1所示，具體表達(dá)式分別如下

圖1 權(quán)函數(shù)的示意圖Fig.1 Schematic diagram of weight function

1)三次樣條權(quán)函數(shù)為

2)四次樣條權(quán)函數(shù)

3)指數(shù)函數(shù)

4)正定緊支徑向基函數(shù)

3.3 三維彈性力學(xué)問題的IIDSEFG方法

基于非奇異權(quán)函數(shù)的IIEFG方法構(gòu)造二維彈性子問題的近似函數(shù)，等式(37)可以表示為

其中

二維子域Ω(k)中，任意點(diǎn)的應(yīng)變?yōu)?/p>

可以表示為

古典詩詞文化是我國文學(xué)藝術(shù)寶庫中的一朵艷麗的奇葩，因其本身具有的語言凝練、意境深遠(yuǎn)、短小精悍、言簡意賅和朗朗上口的特點(diǎn)多受到幼兒的喜愛。并且從傳承和發(fā)揚(yáng)我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的角度來說，開展古典詩詞教學(xué)培養(yǎng)幼兒良好閱讀習(xí)慣，正是順應(yīng)了這一教學(xué)要求的表現(xiàn)。幼兒在這一教學(xué)階段具有很強(qiáng)的可塑性，所以幼兒教師應(yīng)當(dāng)緊緊抓住這一有利契機(jī)，讓幼兒愛上詩詞，愛上閱讀，從小強(qiáng)化幼兒的文學(xué)素養(yǎng)。

其中

二維子域Ω(k)中，任意點(diǎn)處的應(yīng)力為

這里的D為彈性矩陣，且

E為彈性模量，v為泊松比.

由式(43)可得到

將式(43)、(47)、(49)、(51)代入式(13)中，得到

討論式(52)中的每個(gè)積分，可以得到最終的離散方程.

接下來，求解方程(54)，在分裂方向x3的區(qū)域[a，c]上均勻地插入L-1個(gè)點(diǎn)，在分裂方向上采用FDM，即

從而，方程(54)可以表示為

這里

方程(56)的解為中間層x3＝x3(1)，x3(2)，x3(3)，…上各節(jié)點(diǎn)位移在x1和x2方向上的數(shù)值解.同樣利用IIDSEFG方法可以求解由方程(2)和(3)及其對應(yīng)的邊界條件構(gòu)成的邊值問題，得到節(jié)點(diǎn)處位移在x2和x3方向上的數(shù)值解.

4 數(shù)值算例

4.1 受均勻分布載荷的立方體

如圖2考慮受均勻分布載荷的立方體，立方體的邊長為2 m，分布載荷為σ＝32 MPa，泊松比為v＝0.25，剪切模量為G＝15 000 MPa.對應(yīng)位移的解析解為

圖2 受均勻分布載荷的立方體Fig.2 A cube subjected to uniformly distributed loads

表1顯示了控制節(jié)點(diǎn)影響域大小的比例參數(shù)dmax＝1.05，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)分布為11×11×11時(shí)，IIDSEFG方法和IEFG方法在不同權(quán)函數(shù)下相對誤差和CPU時(shí)間.可見用IIDSEFG方法求解該問題時(shí)，權(quán)函數(shù)選擇四次樣條函數(shù)，整體相對誤差最小為3.318×10-16，CPU運(yùn)行時(shí)間最少為0.91 s.用IEFG方法求解該問題時(shí)，權(quán)函數(shù)選擇四次樣條函數(shù)結(jié)果最好，整體相對誤差為2.529 8×10-11，CPU運(yùn)行時(shí)間為17.94 s.同時(shí)可見，IIDSEFG方法比IEFG方法具有更好的計(jì)算精度與計(jì)算效率.

表1 IIDSEFG和IEFG選取不同權(quán)函數(shù)的相對誤差與CPU運(yùn)行時(shí)間Table 1 Relative error norm and CPU times of different weights of IIDSEFG and IEFG

圖3為選取三次樣條函數(shù)作為權(quán)函數(shù)，IIDSEFG方法在平面x2＝1.0時(shí)的三維數(shù)值結(jié)果.

圖3 IIDSEFG方法在平面x2＝1上位移數(shù)值解Fig.3 Numerical solution of IIDSEFG method's displacement on the plan x2＝1

4.2 受自重的等截面桿

圖4所示的等截面桿的單位體積重力為ρg，體力為b1＝b2＝0，b3＝-ρg.應(yīng)力為σ33＝ρgx3，σ11＝σ22＝σ12＝σ23＝σ13＝0.相關(guān)幾何和材料參數(shù)為l＝36mm，泊松比 為v＝0.15，楊氏模量為E＝2.069×104MPa，密度為ρ＝2 405 kg/m3.位移場的解析解

圖4 受自重的等截面桿Fig.4 A constant section bar subjected to dead weight

表2和表3分別顯示了在dmax＝1.10，網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)分布均為5×5×11時(shí)，IIDSEFG方法和IEFG方法在不同權(quán)函數(shù)下位移u3和應(yīng)力σ33沿方向x3的整體相對誤差和CPU運(yùn)行時(shí)間.可見采用IIDSEFG方法求解位移u3時(shí)，權(quán)函數(shù)選擇四次樣條函數(shù)結(jié)果最好，相對誤差為7.23×10-4，CPU運(yùn)行時(shí)間為0.63 s.求解應(yīng)力σ33時(shí)，權(quán)函數(shù)選擇三次樣條函數(shù)結(jié)果最好，相對誤差為5.24×10-3.用IEFG方法求解位移u3時(shí)，權(quán)函數(shù)選擇三次樣條函數(shù)結(jié)果最好，相對誤差為6.43×10-4.求解應(yīng)力σ33時(shí)，權(quán)函數(shù)選擇正定緊支徑向基函數(shù)結(jié)果最好，相對誤差為3.78×10-2.同時(shí)可見，IIDSEFG方法比IEFG方法具有更好的計(jì)算效率.

表2 IIDSEFG與IEFG方法選取不同權(quán)函數(shù)u3整體相對誤差和CPU運(yùn)行時(shí)間Table 2 Overall relative errors and CPU times of the IIDSEFG and IEFG methods with different weights function u3

表3 IIDSEFG與IEFG方法選取不同權(quán)函數(shù)σ33整體相對誤差和CPU運(yùn)行時(shí)間Table 3 Overall relative errors and CPU times of the IIDSEFG and IEFG methods with different weights function σ33

圖5為選擇三次樣條函數(shù)作為權(quán)函數(shù)，采用IIDSEFG方法在平面x2＝1上位移u2(x1，1.0，x3)的三維數(shù)值計(jì)算結(jié)果.

5 結(jié)論

IIDSEFG方法將三維彈性力學(xué)問題沿著分裂方向劃分為一系列相關(guān)的二維彈性力學(xué)問題.用IIEFG方法求解二維彈性力學(xué)問題，在分裂方向上采用FDM.選用基于非奇異權(quán)函數(shù)的IIMLS方法構(gòu)造滿足插值特性的形函數(shù)，用對角元素化為一的方法直接處理本質(zhì)邊界條件，最終得到離散的方程.本文研究選取不同權(quán)函數(shù)對三維彈性力學(xué)IIDSEFG方法數(shù)值計(jì)算結(jié)果的影響.通過分析典型數(shù)值算例，用IIDSEFG方法的數(shù)值解與IEFG方法的數(shù)值解和解析解進(jìn)行對比，說明了采用IIDSEFG方法解決三維彈性力學(xué)問題的有效性及權(quán)函數(shù)研究的重要性.