簡牘算書一種特殊計算方法解析

周序林，何均洪，李文娟

(1.西南民族大學(xué)中國語言文學(xué)學(xué)院，西南民族大學(xué)出土文獻(xiàn)研究中心，四川 成都 610041；2.中國民用航空飛行學(xué)院大飛機(jī)學(xué)院，四川 廣漢 618307；3.成都工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院馬克思主義學(xué)院，四川 成都 610213)

簡牘算書是指在紙張廣泛使用之前書寫在竹木簡牘上的算書文獻(xiàn).目前所見簡牘算書屬戰(zhàn)國秦漢時期，共計六種:北京大學(xué)藏秦簡《算書》《田書》(均部分刊布)、岳麓書院藏秦簡《數(shù)》、張家山漢簡《筭數(shù)書》、雙古堆漢簡《算術(shù)書》(殘簡)、睡虎地漢簡《筭術(shù)》(部分刊布)[1-11].簡牘算書文獻(xiàn)埋藏于地下兩千多年，未經(jīng)轉(zhuǎn)輾傳抄，具有無可比擬的文獻(xiàn)真實(shí)性，因而十分珍貴.這些數(shù)學(xué)文獻(xiàn)真實(shí)地反映了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在戰(zhàn)國秦漢時期發(fā)展的原貌，是研究中國早期數(shù)學(xué)的第一手材料，具有重大數(shù)學(xué)史價值.

對這些簡牘算書文獻(xiàn)進(jìn)行梳理，發(fā)現(xiàn)了一種特殊計算方法.這種算法具有明顯的湊數(shù)的特征，沒有算理可言，不具有普適性.我們暫且把這種算法稱為“湊數(shù)法”.簡牘算書中共發(fā)現(xiàn)四個使用湊數(shù)法的典型例子，分別是:北京大學(xué)藏秦簡《算書》“里田”“方田”[4]，張家山漢簡《筭數(shù)書》“里田”[6]，岳麓書院藏秦簡207～210所載“贏不足”算題[5].進(jìn)一步分析發(fā)現(xiàn)，以上四例雖然都使用了湊數(shù)法，但是每一例的湊數(shù)方法又各不相同，可謂湊無定法.下面分為“里田術(shù)”中的湊數(shù)法和“贏不足”中的湊數(shù)法，逐一解析.

1 簡牘算書“里田術(shù)”中的湊數(shù)法

在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中，1平方里＝375畝或3頃75畝.將平方里數(shù)轉(zhuǎn)化為頃畝數(shù)所使用的算法就是“里田術(shù)”.傳世文獻(xiàn)《九章算術(shù)·方田》載有“里田術(shù)”如下:“廣從里數(shù)相乘得積里.以三百七十五乘之，即畝數(shù).”[12]設(shè)廣為a，從為b，平方里數(shù)為r，所求頃畝數(shù)為x，則此“里田術(shù)”可理解如表1.

表1 《九章算術(shù)》“里田術(shù)”Table 1 The method for fields measured in li in the Nine Chapters on the Art of Mathematics

可見，《九章算術(shù)》“里田術(shù)”直接使用了“1平方里＝375畝”這一數(shù)量關(guān)系，而沒有講“375”是如何算得的.簡牘算書中則有幾種算法講如何算得“375”，其中北京大學(xué)藏秦簡《算書》簡04-081載有一條“里田術(shù)”如下:

●里田述(術(shù))曰:里乘里，一殹(也)，見一鼠(予)二，見二鼠(予)四(四，四)者加一，因而三之，即頃畝殹(也).[4]

《算書》簡牘整理者引郭書春先生意見闡釋了這段術(shù)文的文意[4]，日本學(xué)者也進(jìn)行了解釋[13]，其中，后者的理解更貼近簡文原意.簡文“見”即“現(xiàn)”字，義為“出現(xiàn)(在籌算板上)”.簡文“鼠”即“予”字.據(jù)里耶秦方8-461第XIII行“鼠如故，更予人”[14]，“給予”之“予”作“鼠”是秦始皇推行“書同文字”政策之前的用字，“書同文字”政策之后“給予”之義的“鼠”字改作“予”.“予”，這里指把算籌放置到籌算板上，即設(shè)置算籌.“予二”“予四”分別指在籌算板上設(shè)置算籌“二”“四”.術(shù)文“四者加一”意為“4＋1”.術(shù)文“三之”是“數(shù)詞＋之”的結(jié)構(gòu)，表示相乘關(guān)系，代詞“之”在這里指術(shù)文前文“里乘里，一殹(也)，見一鼠(予)二，見二鼠(予)四(四，四)者加一”所產(chǎn)生的運(yùn)算結(jié)果.上引《算書》“里田術(shù)”可解析如表2.

表2 《算書》簡04-081“里田術(shù)”Table 2 The method for fields measured in li on slip 04-081 of the Suanshu

表2算得“125”的過程，即步驟一(2)(3)(4)，顯然是在湊數(shù)，沒有算理可言，不具有普適性.這種湊得“125”的方法，在張家山漢簡《筭數(shù)書》“里田術(shù)”中卻又不同.張家山漢簡《筭數(shù)書》簡189～190載有一條“里田術(shù)”如下:

里乘里(里，里)也，因以里之下即予廿五，因而三之，亦其頃畝數(shù)也.[6]

學(xué)界認(rèn)為此術(shù)文有脫文，并提出了不同理解[15-20]；[日]張家山漢簡『算數(shù)書』研究會認(rèn)為，簡文“因以里之下即予廿五”意為在1平方里的下面付與25[21]，此說可從.此術(shù)文可解析如表3.

表3算得“125”的過程，即步驟一(2)，也沒有算理可言，同樣不具有普適性，也是在湊數(shù).古人為什么要如表2步驟一(2)(3)(4)、表3步驟一(2)這樣湊數(shù)?其意義何在?我們暫時不得而知.

表3 《筭數(shù)書》簡189～190“里田術(shù)”Table 3 The method for fields measured in li on slips 189～190 of the Suanshu shu

簡牘算書中還有一種使用更為普遍的“里田術(shù)”，這種“里田術(shù)”在不同的簡牘算書中有不同的表達(dá)，但是算法相同.以岳麓書院藏秦簡《數(shù)》簡62所載“里田術(shù)”為例:

里田述(術(shù))曰:里乘里(里，里)也，因而參之，有(又)參五之，為田三頃七十五畝.[5]

術(shù)文“參之”的“之”指代“1里×1里”的乘積，“參之”意為“3×1”，“參五之”的“參五”意為“3次用5乘”，“之”指代“參之”的運(yùn)算結(jié)果.上引“里田術(shù)”可解析如表4.

表4 《數(shù)》簡62“里田術(shù)”Table 4 The method for fields measured in li on slip 62 of the Shu

表4算得“375”的過程，即步驟二、三，也帶有湊數(shù)的特征，不過所湊之?dāng)?shù)“5”“5”“5”“3”是有出處的，是對“375”進(jìn)行分解而來.我們推測，將375作如上分解，是為了簡化當(dāng)平方里數(shù)較大時可能會出現(xiàn)的復(fù)雜計算.同理，表2與表3通過“125×3”算得“375”的過程，即步驟二，也具有湊數(shù)的特征，其中的“3”與“125”也是源于對“375”的分解.當(dāng)然，簡牘算書也有“里田術(shù)”與《九章算術(shù)》“里田術(shù)”一樣直接使用“375”進(jìn)行運(yùn)算的，目前僅見于張家山漢簡“里田術(shù)”簡190“廣一里、從一里為田三頃(七十)五畝”[6].可見，湊數(shù)法在簡牘算書“里田術(shù)”中有較廣泛運(yùn)用.

2 簡牘算書“贏不足”中的湊數(shù)法

湊數(shù)法除了見于簡牘算書“里田術(shù)”外，還出現(xiàn)在與“盈不足術(shù)”相關(guān)的術(shù)文或算題中.岳麓書院藏秦簡207～210載有“贏不足”算題如下:

算題解析如下:10斗稻、10斗粢、10斗菽的價格分別是9錢、7錢、5錢，假如買這3種食糧共計10斗花費(fèi)8錢，問這3種食糧各多少斗.答案:稻6斗，粢3斗，菽1斗.計算方法:首先在籌算板上設(shè)置諸數(shù)圖1，然后計算如下:

圖1 設(shè)置諸數(shù)Fig.1 Putting down the given amounts on the counting board

稻的斗數(shù):(稻不足1×稻9＋菽3×粢7)÷(稻不足1＋粢贏1＋菽贏3)＝6

粢的斗數(shù):(菽3×菽5)÷(稻不足1＋粢贏1＋菽贏3)＝3

菽的斗數(shù):(稻不足1×菽5)÷(稻不足1＋粢贏1＋菽贏3)＝1

本算題運(yùn)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的方法，設(shè)稻、粢、菽斗數(shù)各為x、y、z，則得方程組:

由兩個方程式組成的方程組里出現(xiàn)了3個未知數(shù)，構(gòu)成了3元1次方程，顯然不能求解.令人驚奇的是，古人通過術(shù)文所提供的計算方法算得了答案.不過，古人的方法沒有算理可言，正如有學(xué)者指出:“此計算不具有普遍性，而且有明顯的算理錯誤.”[22]“(運(yùn)算)數(shù)據(jù)于算題術(shù)文吻合，但不能解釋其數(shù)學(xué)含義.”[23，24]“各實(shí)的計算步驟，沒有規(guī)則可言，整個計算也看不出有什么道理.”[5，24]古人所用的方法，就是在湊數(shù)，正如有學(xué)者指出:“古人在設(shè)計這個問題的時候，可能就是先有答案和題設(shè)，然后擬合術(shù)文的.”[5，24]

與“盈不足”相關(guān)的湊數(shù)法還見于北京大學(xué)藏秦簡《算書》“方田術(shù)”:

簡文“即幷贏、不足以為法”后省略了被除數(shù)的計算方法(即:16×15＋15×16)；簡文“有(又)耤丗一分十五，令韋(維)乘上十五”(意即:×15)后有省略，所省略的簡文表達(dá)的是再做一次“×15”運(yùn)算.整條術(shù)文的大意是，首先運(yùn)用“盈不足術(shù)”求得正方形田塊(240平方步)的邊長(15步)，然后用所得邊長(15步)驗(yàn)算如何算得正方形田塊面積(240平方步).其中驗(yàn)算的思路據(jù)術(shù)文可示意如圖2.現(xiàn)將上引“方田術(shù)”解析如表5.

圖2 “方田術(shù)”驗(yàn)算思路Fig.2 Reverse engineering the computation in the method for square fields

表5 《算書》“方田術(shù)”Table 5 The method for square fields in the Suanshu

3 結(jié)語

簡牘算書中的湊數(shù)法，應(yīng)該是古人在設(shè)計術(shù)文之前就已知答案的情況下對術(shù)文數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合的結(jié)果，這種特殊算法不具算理，也不具普適性.簡牘算書中存在湊數(shù)法，表明中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在戰(zhàn)國秦漢時期還處于發(fā)展的早期階段，這一特殊算法隨著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的發(fā)展而消亡，不見于《九章算術(shù)》等傳世數(shù)學(xué)文獻(xiàn).對這種湊數(shù)法進(jìn)行研究，有助于正確解讀簡牘算書某些算題，有利于簡牘算書文獻(xiàn)整理研究，有助于呈現(xiàn)并認(rèn)識中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在戰(zhàn)國秦漢時期發(fā)展的原貌，這說明簡牘算書文獻(xiàn)在研究中國數(shù)學(xué)史方面具有重要意義和巨大價值.

致謝:本文寫作得到美國紐約市立大學(xué)(City University of New York)道本周(Joseph Warren Dauben)教授幫助，謹(jǐn)致謝忱.