一種基于α-β-γ濾波的距離方位跟蹤濾波算法

何永青，彭良福，林云松，權(quán) 雨

(1.西南民族大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，四川 成都 610041；2.四川省氣象服務(wù)中心，四川 成都 610072；3.電子科技大學(xué)自動化工程學(xué)院，四川 成都 611731)

在機(jī)載防撞系統(tǒng)(Traffic alert and Collision Avoid-ance System，TCAS)的防撞邏輯中，需要對目標(biāo)飛機(jī)進(jìn)行監(jiān)視和跟蹤[1].而對目標(biāo)飛機(jī)監(jiān)視和跟蹤的主要觀測量是本機(jī)與目標(biāo)飛機(jī)之間的相對距離和方位角(本機(jī)機(jī)頭的正前方與目標(biāo)飛機(jī)之間的夾角).通過對目標(biāo)飛機(jī)的相對距離和方位角的觀測值進(jìn)行處理，形成目標(biāo)飛機(jī)的航跡信息，從而實現(xiàn)對目標(biāo)飛機(jī)的跟蹤[2-3].由于觀測到的本機(jī)與目標(biāo)飛機(jī)之間的相對距離和方位角可能存在誤差，因此在工程上需要對相對距離和方位角的觀測值進(jìn)行濾波，常用的濾波器是卡爾曼濾波[4-5].由于卡爾曼濾波器中增益矩陣的計算量比較大，為了減少增益矩陣的計算量，對于勻加速運動(CA)模型，一般采用α-β-γ濾波[6-7].為了改善濾波效果，減小濾波誤差，本文給出了一種基于α-βγ濾波的距離方位跟蹤濾波算法.該算法適用于機(jī)載防撞系統(tǒng)中對勻加速運動目標(biāo)的距離方位進(jìn)行跟蹤.

對于量測在極坐標(biāo)系下的濾波系統(tǒng)來說，構(gòu)造濾波方程時，既可以將狀態(tài)向量取為直角坐標(biāo)向量，也可以取為極坐標(biāo)向量.前者將面對量測方程的非線性問題，后者將面對狀態(tài)方程的非線性問題.兩種方法進(jìn)行擴(kuò)展卡爾曼濾波后的估計精度幾乎相同[8-9].在直角坐標(biāo)系中，測量誤差之間是相互耦合的.如果在x、y方向采用解耦濾波器代替耦合濾波器將會導(dǎo)致跟蹤精度的降低.但是在工程實際應(yīng)用中，經(jīng)常將直角坐標(biāo)系解耦，其所產(chǎn)生的誤差可以忽略不計[10-11].因此，本文給出的距離方位跟蹤濾波算法采用直角坐標(biāo)系，先把極坐標(biāo)系下的測量值轉(zhuǎn)換到直角坐標(biāo)系中，直接將相對距離和方位角分別在x、y方向進(jìn)行投影，再利用卡爾曼濾波對坐標(biāo)轉(zhuǎn)換后的數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理.

1 α-β-γ濾波算法

α-β-γ濾波器是針對目標(biāo)勻加速運動模型(CA，Constant Acceleration)的卡爾曼濾波器的穩(wěn)態(tài)解形式.在一般情況下作以下假設(shè):目標(biāo)勻加速運動和平穩(wěn)觀測噪聲.描述目標(biāo)運動的狀態(tài)X是三維向量，即，其中x，和分別為運動目標(biāo)的位置向量、速度向量和加速度向量，則目標(biāo)的狀態(tài)方程為[12-13]:

式中:X(k＋1)代表第k＋1時刻α-β-γ濾波器對系統(tǒng)狀態(tài)X(k)的估計值；狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是，輸入關(guān)系矩陣，過程噪聲w(k)是均值為零，方差為Q＝E[w(k)w(k)T]的高斯白噪聲.

觀測方程的表達(dá)式為:

式中:y(k)代表系統(tǒng)第k時刻的位置觀測量；測量矩陣D＝[1 0 0]；測量噪聲v(k)為均值為零，方差的高斯白噪聲.濾波方程為[14]:

其中，H為增益矩陣，為k時刻的平滑向量，為對k時刻的預(yù)測向量.

由于Q、O的選取會影響濾波器的精度，而α、β、γ與Q、O直接相關(guān)，所以α、β、γ的選擇必須考慮Q、O，即噪聲特性與動態(tài)性能，同時根據(jù)多種的優(yōu)化規(guī)則，工程實踐中常用下式作為α、β、γ的參數(shù)[15].

2 距離方位跟蹤濾波算法

距離方位跟蹤濾波算法是在α-β-γ濾波的基礎(chǔ)上，在直角坐標(biāo)系中，根據(jù)方位角將相對距離R投影在x、y方向上，再分別對x、y方向進(jìn)行濾波，從而實現(xiàn)對運動目標(biāo)的跟蹤.

在TCAS中，兩架飛機(jī)之間最接近點的距離是兩機(jī)到達(dá)最接近點(CPA，Closest Point of Approach)時的相對斜距.如圖1所示，兩架飛機(jī)之間的相對距離R位于連接兩架飛機(jī)的一個斜面上.根據(jù)兩機(jī)之間的方位角可以把兩機(jī)之間的相對距離在這個斜面上的x、y方向進(jìn)行投影，這樣就把三維空間飛機(jī)的防撞問題變成了二維斜面上飛機(jī)的防撞問題[16].在這個斜面上建立的以本機(jī)為原點的直角坐標(biāo)系如圖2所示.

圖1 兩點間最接近點(CPA)的距離Fig.1 The closest distance between two points(CPA)

圖2 目標(biāo)跟蹤距離方位投影示意圖Fig.2 Projection diagram of distance azimuth target tracking

在圖2中，將本機(jī)作為觀測點，目標(biāo)飛機(jī)作為目標(biāo)，R為觀測點與目標(biāo)之間的相對距離，B為觀測方位角，根據(jù)目標(biāo)運動的回波數(shù)據(jù)(目標(biāo)與觀測點之間的相對距離R和方位角度B)判斷目標(biāo)做勻加速運動來建立系統(tǒng)模型.

首先，通過系統(tǒng)模型對k時刻目標(biāo)進(jìn)行預(yù)測，進(jìn)行坐標(biāo)變換，將目標(biāo)的位置投影到直角坐標(biāo)系中的x、y方向上.k時刻預(yù)測的距離為

其中，Xk和Yk分別代表投影到x和y方向的k時刻的測量距離，且將(9)式化解得:

將上式求導(dǎo)，可得笛卡爾坐標(biāo)系下的誤差為:

公式(12)、(13)表明，x、y方向的誤差包括距離方向的誤差和距離正交方向的誤差兩部分.

在k-1時刻，通過系統(tǒng)模型對k時刻目標(biāo)進(jìn)行預(yù)測.x、y方向的一步預(yù)測值:

所得到的狀態(tài)方程為:

預(yù)測協(xié)方差矩陣與α/β/γ的關(guān)系[17]，及與距離正交方向位置、速度的平滑參數(shù)(W1/W2/W3)的關(guān)系如下，式中VAR＝R2×7.569×10-3是距離正交方向的測量方差.

計算x、y方向的距離方向的殘差，以及距離正交方向的殘差，如下:

將距離方向的殘差RESIDR以及距離正交方向的殘差RESIDCR投影到x、y方向，得狀態(tài)估計值:

x、y方向濾波器是卡爾曼濾波器，將相對距離R和方位角度B投影到x、y方向后，采用卡爾曼濾波器進(jìn)行濾波.濾波后將x、y方向的數(shù)據(jù)重新合成距離和方位角度，從而完成了距離和方位角度的濾波.

3 仿真結(jié)果及分析

為了驗證距離方位跟蹤濾波算法的性能，將其與傳統(tǒng)的α-β-γ濾波算法進(jìn)行比較，并對這兩種濾波算法進(jìn)行200次蒙特卡羅仿真[18].計算機(jī)仿真的參數(shù)選取如下:

假設(shè)兩架飛機(jī)在同向飛行，目標(biāo)飛機(jī)在做勻加速運動，初始速度Vb0＝700 km/h，加速度a＝0.8m/s2，本機(jī)做勻速運動，初始速度Va0＝900 km/h，目標(biāo)飛機(jī)相對于本機(jī)的初始方位角B＝30°，觀測周期T＝1s，仿真時間t＝500 s，兩機(jī)之間的相對距離R＝280 km，過程噪聲的方差Q＝2.56，相對距離的測量方差Navr_r＝10 m，相對方位角的測量方差Navr_az＝2°.

計算機(jī)仿真采用MATLAB編程，仿真結(jié)果如圖3至圖8所示.其中，圖3是相對距離的真實值與觀測值的比較；圖4是相對距離的觀測誤差；圖5是相對方位的觀測誤差.圖6是相對距離的真實值與經(jīng)過αβ-γ濾波后的估計值比較；圖7是相對距離的真實值與經(jīng)過距離方位跟蹤濾波后的估計值比較；圖8是αβ-γ濾波與距離方位跟蹤濾波估計誤差的比較.

圖3 相對距離的真實值與觀測值的比較Fig.3 Comparison of the true value and the observed value for relative distance

圖4 相對距離的觀測誤差Fig.4 The observation error of relative distance

圖5 相對方位的觀測誤差Fig.5 The observation error of relative azimuth

圖6 真實值與α-β-γ濾波比較Fig.6 Comparison of the true value and alpha-beta-gamma filtering for the relative distance

圖7 真實值與距離方位跟蹤濾波比較Fig.7 Comparison of the true value and range azimuth tracking filtering for the relative distance

圖8 α-β-γ濾波與距離方位跟蹤濾波估計誤差比較Fig.8 Comparison of the estimation errors between alpha-beta-gamma filtering and range azimuth tracking filtering

由圖3到圖5的仿真結(jié)果，可以明顯看出，在整個觀測過程中存在過程噪聲，相對距離和相對方位觀測誤差不規(guī)律且始終存在；在MATLAB運行后，計算得到的測量方位角下的相對距離的測量方差為100.971 6，誤差較大，需要對觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理.

由圖6與圖7的仿真結(jié)果，可以明顯看出，觀測值經(jīng)過距離方位跟蹤濾波后比經(jīng)過α-β-γ濾波后，更接近真實值.由圖8可以看出，雖然觀測誤差一直存在，但經(jīng)過濾波后的估計誤差逐漸趨于零，濾波的效果明顯；且距離方位跟蹤濾波產(chǎn)生的估計誤差比α-βγ濾波的更快趨于零，波動更小.在MATLAB運行后，計算得到距離方位跟蹤濾波后相對距離的均方根誤差為0.348 5，而α-β-γ濾波后相對距離的均方根誤差為23.454 6，明顯看出距離方位跟蹤濾波的均方根誤差更小，濾波效果更好.

由上述計算機(jī)仿真結(jié)果可以看出，對勻加速運動的目標(biāo)進(jìn)行跟蹤時，本文給出的距離方位跟蹤濾波算法的估計誤差與均方根誤差都小于常規(guī)的α-β-γ濾波算法.這說明距離方位跟蹤濾波算法在跟蹤效果上優(yōu)于常規(guī)的α-β-γ濾波算法，這種改進(jìn)的濾波算法適合于對勻加速運動的(CA模型)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，跟蹤效果較好.

4 結(jié)束語

本文在傳統(tǒng)的α-β-γ濾波算法的基礎(chǔ)上，給出了一種改進(jìn)的距離方位濾波算法.該算法引入了坐標(biāo)投影的思想，通過在兩機(jī)間相對距離的斜面上根據(jù)方位角把相對距離在x、y方向進(jìn)行投影，把三維空間飛機(jī)的防撞問題變成了二維斜面上飛機(jī)的防撞問題，并利用距離方向和距離正交方向的殘差對預(yù)測結(jié)果進(jìn)行修正，改善了算法的濾波精度.通過蒙特卡羅仿真實驗，驗證了這種算法對勻加速運動目標(biāo)的濾波效果優(yōu)于常規(guī)的α-β-γ濾波算法.本文給出的距離方位濾波算法適用于機(jī)載防撞系統(tǒng)中勻加速運動目標(biāo)的跟蹤.