連點(diǎn)成線，滲透函數(shù)思想
——“正比例圖像”教學(xué)設(shè)計(jì)及評(píng)析

■ 顧文亞 許志君

在正比例教學(xué)中滲透函數(shù)思想，能有效銜接中小學(xué)教學(xué)內(nèi)容，為學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)圖像埋下伏筆。“正比例圖像”是蘇教版數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊的教學(xué)內(nèi)容，本節(jié)課主要通過正比例圖像的教學(xué)，立足生長點(diǎn)，關(guān)注細(xì)節(jié)點(diǎn)，發(fā)展延伸點(diǎn)，加深學(xué)生對(duì)正比例關(guān)系中數(shù)值變化規(guī)律的認(rèn)識(shí)，初步滲透函數(shù)思想。

一、復(fù)習(xí)舊知，錨定起點(diǎn)

師：上節(jié)課我們通過研究表格里兩種相關(guān)聯(lián)量的數(shù)據(jù)變化，認(rèn)識(shí)了正比例。誰來具體說說圖1 中的表格所呈現(xiàn)的路程和時(shí)間為什么成正比例關(guān)系？

生：因?yàn)槁烦毯蜁r(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量，時(shí)間變化，路程也隨著變化。通過計(jì)算，路程和相對(duì)應(yīng)時(shí)間的比值一定，也就是速度總是一定。所以表中汽車行駛的路程和時(shí)間成正比例關(guān)系。

師：誰還記得正比例關(guān)系可以用怎樣的式子表示？

生：y/x=k（一定）。

師：像圖1這樣的正比例關(guān)系，不僅可以用式子表示，還可以用圖像來表示。今天我們一起來學(xué)習(xí)正比例圖像。

圖1

【評(píng)析】正比例的學(xué)習(xí)，是學(xué)生第一次正式接觸“變量”關(guān)系，是函數(shù)思想在小學(xué)階段的初步滲透。本環(huán)節(jié)的復(fù)習(xí)，應(yīng)用正比例的意義判斷兩種量是不是成正比例，為正比例圖像的認(rèn)識(shí)、理解與繪制做鋪墊。

二、化靜為動(dòng)，理解圖像

師：我們將表格里的時(shí)間欄畫成橫軸，橫軸上一格表示多少小時(shí)？（課件演示：從0開始，把橫軸向右拉動(dòng)，動(dòng)態(tài)出示刻度線和相應(yīng)的數(shù)據(jù)，如圖2所示）

圖2

生：橫軸上的一格表示1小時(shí)。

師：隨著時(shí)間的變化，路程也隨著變化。這里的縱軸表示路程，縱軸上一格表示多少千米？

（課件演示：把縱軸向上拉動(dòng)，動(dòng)態(tài)出示刻度線和相應(yīng)的數(shù)據(jù)，如圖2所示）

生：縱軸上的一格表示80千米。

師：橫軸和縱軸就表示表中兩種相關(guān)聯(lián)的量。

師：如果要用1 個(gè)點(diǎn)表示1 小時(shí)行駛80 千米。這個(gè)點(diǎn)在哪里？你們是怎么找的？

師：如果要用1 個(gè)點(diǎn)表示2 小時(shí)行駛160 千米呢？5小時(shí)呢？

（學(xué)生在作業(yè)紙上找一找）

師（指著圖3 中的一個(gè)點(diǎn)）：老師在這張圖上也找了一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)表示什么意思？

生：這個(gè)點(diǎn)橫軸指向7，縱軸指向560，表示7 小時(shí)行駛了560千米。

師：是的，我們用一個(gè)點(diǎn)就能表示這輛汽車行駛某段時(shí)間所對(duì)應(yīng)的路程。你們還能找到像這樣的點(diǎn)嗎？

（學(xué)生同桌交流）

師（指著圖3 中的點(diǎn)）：其實(shí)像這樣的點(diǎn)還有很多，比如，這個(gè)點(diǎn)，表示汽車1.2小時(shí)行駛96千米；這個(gè)點(diǎn)，表示汽車1.5小時(shí)行駛120千米；這個(gè)點(diǎn)，表示汽車4.3小時(shí)行駛344千米；這個(gè)點(diǎn)，表示汽車4.7小時(shí)行駛376千米……

圖3

師：把這些點(diǎn)連起來，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)連起來是一條直線。

生：這些點(diǎn)連起來是一條線段。

師：對(duì)，這些點(diǎn)都在一條直線上，這條直線可以向兩端延長。瞧，這個(gè)“0”點(diǎn)，表示汽車處于什么狀態(tài)？

生：汽車還沒有啟動(dòng)，處于靜止?fàn)顟B(tài)。

師：是的，這條直線上的每一個(gè)點(diǎn)都可以表示一組對(duì)應(yīng)的量。瞧，汽車以同樣的速度繼續(xù)行駛，路程就隨著時(shí)間的變化而變化。這條直線上的每個(gè)點(diǎn)都可以看出汽車行駛的時(shí)間和所對(duì)應(yīng)的路程，這個(gè)圖像就表示了時(shí)間和路程的正比例關(guān)系（如圖4）。

圖4

師：根據(jù)圖4 中的圖像，你們知道這輛汽車2.5小時(shí)行駛多少千米？行駛440 千米需要多少小時(shí)？你們是怎么知道的？

生：我用直尺畫兩條虛線，就可以看出這輛汽車2.5小時(shí)行駛了200千米。

生：我用三角尺比一比，一條直角邊指向橫軸上的2.5，三角尺直角的頂點(diǎn)和這條直線相交，然后再看另一條直角邊指向幾就可以知道2.5 小時(shí)行駛了200千米。

師：是個(gè)好辦法。根據(jù)已知數(shù)值2.5，找到圖像上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再順著這個(gè)點(diǎn)找到相對(duì)應(yīng)的路程。

師：行駛440千米需要多少小時(shí)呢？

生：我用三角尺比一比，根據(jù)已知數(shù)值440，找到圖像上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，再順著這個(gè)點(diǎn)找到相對(duì)應(yīng)的時(shí)間。440千米需要5.5小時(shí)。

師：同學(xué)們巧用學(xué)具，根據(jù)圖像找到了相應(yīng)的數(shù)據(jù)。接下來，請大家算一算路程和時(shí)間的比值是多少。

生：200÷2.5=80，比值是80。生：400÷5=80，比值是80。

生：我覺得不管選哪個(gè)點(diǎn)，只要是在這條直線上，路程和時(shí)間的比值都是80。

師：在計(jì)算、觀察中同學(xué)們又有了新的發(fā)現(xiàn)和理解，這輛汽車行駛過程中隨著時(shí)間的變化，路程也隨之變化，但是速度不變?？粗鴪D4，我們還可以找到、聯(lián)想到更多這樣的點(diǎn)。所以，正比例圖像一般是從0開始畫一條射線。

師：點(diǎn)（4,160）在這條直線上嗎？為什么？

生：我從圖上看出，這個(gè)點(diǎn)不在這條直線上。

生：這輛汽車每小時(shí)行駛80千米，4小時(shí)應(yīng)該行駛320千米，所以這個(gè)點(diǎn)不在這條直線上。

生：我也是這樣計(jì)算的，如果用160除以4，速度只有40，所以這個(gè)點(diǎn)不在這條直線上。

師：看來，利用正比例圖像，可以幫助我們解決實(shí)際問題。

【評(píng)析】這一環(huán)節(jié)的教學(xué)既要讓學(xué)生“看到”這些點(diǎn)在一條直線上，同時(shí)讓學(xué)生通過“算一算”，感受這些數(shù)值是特殊的，并通過反例“點(diǎn)（4,160）為什么不在這條直線上”的追問，明確只有當(dāng)路程和時(shí)間的比值是80時(shí)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)才在這條直線上。在畫圖的過程中，清楚地感受到這條直線所包含的無數(shù)個(gè)點(diǎn)的共同特征，感知符合不變規(guī)律的“每組數(shù)”的無限性，即體會(huì)直線背后所蘊(yùn)含的知識(shí)內(nèi)核。

三、生活運(yùn)用，感受價(jià)值

師：第1題（如圖5），請同學(xué)們自己做一做。

圖5

生：根據(jù)圖像是一條直線，可以知道小玲打字的數(shù)量和時(shí)間成正比例。

生：我用三角尺幫助看圖，根據(jù)省略號(hào)所繪制的圖像可以看出，小玲5 分鐘可以打250 個(gè)字，打750個(gè)字要超過14分鐘。

師：同學(xué)們學(xué)會(huì)了根據(jù)圖像分析、解決問題，再仔細(xì)觀察，圖6中這兩個(gè)圖像有什么相同的地方？

圖6

生：兩種量都表示正比例關(guān)系，所呈現(xiàn)的圖像都是一條射線。

生：每個(gè)點(diǎn)所表示的對(duì)應(yīng)量的比值是一定的。

師:對(duì)，正比例關(guān)系的圖像就是像這樣的一條直線。上節(jié)課我們通過計(jì)算比值是否一定來判斷兩種量是否成正比例，現(xiàn)在我們還可以根據(jù)這樣的圖像直接判斷。

師：接下來，你們會(huì)根據(jù)圖7中的圖像直接判斷嗎？

生：圖7中的圖像是一條射線，所以路程和時(shí)間成正比例。

圖7

生：用三角尺比畫，從圖上可以看出，20分鐘所行的路程在4 千米到8 千米之間，更接近4 千米，我估計(jì)比5千米多一些。

生：行10 千米，10 正好在8 和12 的中間，所以，我的三角尺這樣擺，順著另一條直角邊看下來，在30分和40分之間，我估計(jì)要行35分鐘。

師：同學(xué)們會(huì)使用工具，而且也做出了比較精準(zhǔn)的比照和預(yù)估，真不錯(cuò)。接下來根據(jù)這里的數(shù)據(jù)，你們能畫出圖像嗎？請同學(xué)們自己動(dòng)手畫一畫。

【評(píng)析】在練習(xí)環(huán)節(jié)，教師安排了三個(gè)層次的練習(xí)。第1題，以形變數(shù)，根據(jù)圖像直接判斷兩種量之間的關(guān)系；第2 題，以數(shù)化形，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫圖，理解關(guān)系，拓展優(yōu)化畫圖方法，進(jìn)一步凸顯圖像的本質(zhì)，滲透函數(shù)思想；第3題，形數(shù)互變，讓學(xué)生在解決問題的過程中感受圖像的價(jià)值，更直觀、更清楚，有助于學(xué)生分析與推理問題，滲透函數(shù)思想。

四、歸納整理，拓展延伸

師：今天我們認(rèn)識(shí)了正比例圖像，誰來說說你的收獲？

師：如果橫軸上的量用x表示，縱軸上的量用y表示，在這樣的圖像上，可以找到任意一個(gè)x所對(duì)應(yīng)的y。同學(xué)們，隨著以后的學(xué)習(xí)，這條直線還可以向其他方向延伸，你們覺得會(huì)形成怎樣的圖像呢？課后大家可以繼續(xù)研究。

【評(píng)析】正比例圖像是一種特殊的一次函數(shù)圖像，函數(shù)圖像既是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念，又是研究函數(shù)的重要工具，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)觀念和數(shù)形結(jié)合思想具有重要作用。

【總析】

1.立足生長點(diǎn)，讓正比例關(guān)系“看得見”。在正比例圖像的形成過程中，“一個(gè)點(diǎn)能表示這輛汽車行駛某段時(shí)間及相應(yīng)路程這樣一組對(duì)應(yīng)的數(shù)值”，這是學(xué)生上節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在此基礎(chǔ)上教師提問“你們還能找到像這樣的點(diǎn)嗎”？預(yù)估學(xué)生找到的都是格點(diǎn)上的點(diǎn)，及時(shí)補(bǔ)充“其實(shí)像這樣的點(diǎn)還有很多”，隨機(jī)出示格點(diǎn)之間的點(diǎn)，不斷增加點(diǎn)的密度，讓學(xué)生初步感受這些點(diǎn)可能在一條直線上，清晰地看見這條直線上有很多個(gè)這樣的點(diǎn)，從而感受正比例圖像的連續(xù)性，滲透函數(shù)的連續(xù)性。

2.關(guān)注細(xì)節(jié)點(diǎn)，讓正比例關(guān)系“看得清”。正比例圖像是用一條直線把一些特殊的點(diǎn)連接起來。在連點(diǎn)成線的過程中，學(xué)生最容易忽視兩點(diǎn)：一是對(duì)圖像起點(diǎn)的認(rèn)識(shí)，二是對(duì)圖像終點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。因此，本節(jié)課教學(xué)從“橫軸和縱軸的出示”“各點(diǎn)位置的確定”到“圖像的形成”，都以動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)?；o為動(dòng)，在教學(xué)中關(guān)注橫軸與縱軸所表示的意思，關(guān)注點(diǎn)的位置的確定過程，在逐步呈現(xiàn)的過程中幫助學(xué)生經(jīng)歷圖像的形成過程，促進(jìn)學(xué)生對(duì)點(diǎn)所表示意思的理解，滲透函數(shù)思想。

3.發(fā)展延伸點(diǎn)，讓正比例關(guān)系“看得遠(yuǎn)”。本節(jié)課教學(xué)從例題到習(xí)題的設(shè)計(jì)，數(shù)形結(jié)合，動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)。連點(diǎn)成線是繪制正比例圖像的方法和步驟，體現(xiàn)了正比例圖像的工具性。從有數(shù)個(gè)點(diǎn)走向無數(shù)個(gè)點(diǎn)，體現(xiàn)了正比例圖像的意義。