舒爾幾何凸函數(shù)與一類條件不等式＊

石煥南，王東生

（1.北京聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院，北京 100011；2.北京電子科技職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，北京 100176）

0 引 言

20世紀(jì)70年代末，加拿大數(shù)學(xué)家Marshall和美國數(shù)學(xué)家Olkin合作出版了專著［1］，這標(biāo)志著受控理論（也稱控制不等式理論）成為數(shù)學(xué)的一門新的獨立學(xué)科.恰時，在美國加州大學(xué)做訪問學(xué)者的北京師范大學(xué)的王伯英教授學(xué)習(xí)了這一理論.回國后率先在國內(nèi)開設(shè)了相關(guān)的碩士研究生課程，并于1990年編著出版了《控制不等式基礎(chǔ)》［2］一書，該書精選了專著［1］中的經(jīng)典基礎(chǔ)理論，并補(bǔ)充了不少王伯英教授的創(chuàng)新內(nèi)容，在應(yīng)用部分，該書偏重討論了受控理論在矩陣方面的應(yīng)用.王伯英教授這本專著的出版極大地促進(jìn)了我國控制不等式理論研究的發(fā)展，我國學(xué)者在國內(nèi)外已發(fā)表了300多篇該領(lǐng)域的研究論文［3-22］，其中近百篇被SCI收錄，形成了一支在國際上令人矚目的研究隊伍［23-24］.2011年，文獻(xiàn)［25］引用了不少國內(nèi)學(xué)者的論文.

舒爾（Schur）凸函數(shù)是受控理論的核心概念，關(guān)于舒爾凸函數(shù)的推廣，國內(nèi)學(xué)者做了不少開拓性的工作.2003年，張小明首先提出并建立了舒爾幾何凸函數(shù)的定義及判定定理，并將其對舒爾幾何凸函數(shù)的研究成果寫入其專著［26］和［27］.本文將利用舒爾幾何凸函數(shù)證明變量乘積為定值的10個條件不等式.這是一類常見的不等式，其證明靈活多樣.古典的拉格朗日乘子算法是一種常用的方法，但這種方法涉及極值點的存在性和唯一性的判斷，往往操作起來很麻煩，而利用舒爾幾何凸函數(shù)的證明方法別樣、簡潔、有趣，常常還可以得到一些加強(qiáng)的結(jié)果.

1 預(yù)備知識

2 主要結(jié)果及其證明

3 結(jié)束語

滲入到眾多數(shù)學(xué)領(lǐng)域的控制不等式，處處扮演著精彩角色，原因是其常能深刻地描述諸多數(shù)學(xué)量之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而便于推導(dǎo)所需的結(jié)論；其還具有“成批”生產(chǎn)不等式的能力，即用一種統(tǒng)一的方法，把許多已有的從不同方法得來的不等式簡便地推導(dǎo)出來，是推廣和發(fā)現(xiàn)不等式的強(qiáng)有力手段，讀者通過此文可領(lǐng)略一二.