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    拓展的(2+1)-維淺水波方程共振解

    2022-10-19 03:52:34張尚雷費(fèi)金喜
    麗水學(xué)院學(xué)報 2022年5期
    關(guān)鍵詞:孤子團(tuán)塊將式

    張尚雷,費(fèi)金喜

    (1.麗水市實(shí)驗(yàn)學(xué)校,浙江 麗水 323000;2.麗水學(xué)院工學(xué)院,浙江 麗水 323000)

    在海洋學(xué)和大氣科學(xué)中,利用(2+1)-維淺水波方程式

    研究水波傳播的動力學(xué)行為[1]。式(1)由Wazwaz[2]首次引入,根據(jù)Hereman簡化方法和Cole-Hopf變換,附加項αuxy不會破壞可積性。Roshid和Ma[3]研究了式(1)的團(tuán)塊解。從已有文獻(xiàn)中我們可獲得式(1)的Wronskian、Pfaffian和周期波解。若α=0,則式(1)可約化為(2+1)-維Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程[4]。

    拓展的(2+1)-維淺水波方程式為

    其中α和β為任意常數(shù)。在非線性水波中,式(2)更能反映出豐富的物理意義。設(shè)v=uy,w=ux,式(2)可寫為

    1 方程(3)的雙線性形式和多孤子解

    通過因變量變換

    得到方程(3)的雙線性形式

    式(5)中:f=f(x,y,t);D為Hirota微分算子,定義

    由式(5)可知,多孤子的表達(dá)式為

    其中對μ的求和取μj=0,1(j=1,2,…,n)的所有可能的組合,且

    其中ki、pi、ηi(i=1,2,…,n)為任意常數(shù)。將式(6)代入式(4)得到方程(3)的多孤子解為

    2 N=2時方程(3)的典型解

    2.1 二孤子的共振解

    當(dāng)N=2時,令a12=0,則式(6)變?yōu)?/p>

    色散關(guān)系滿足

    由式(8~10)得到方程(3)的二孤子共振解,稱為Y-型孤子解[5],它的傳播速度在x和y方向上的分量分別為

    Y-型孤子隨時間變化的傳播情形,如圖1所示。圖1中的參數(shù)為

    從圖1中我們可以看出:Y-型孤子的波形不隨時間變化而改變,在x和y方向上的速度分量分別為vx=3.92,vy=0.92。

    圖1 Y-型孤子隨時間變化傳播情形的密度圖

    2.2 團(tuán)塊解

    為了獲得方程(3)的團(tuán)塊解,利用長波極限的方法,設(shè)

    將式(6)在ε1→0,ε2→0處用Taylor級數(shù)展開,得

    為了尋求團(tuán)塊解,須消除式(13)中的奇異點(diǎn),設(shè)

    則式(14)變?yōu)?/p>

    式(16)中:

    其中a1、a2、a4、a5、a6、a8為任意常數(shù)。將式(16)代入式(8)得到方程(3)的團(tuán)塊解。式(3)的傳播速度在x和y方向上的分量分別為

    2.3 呼吸子解

    為尋求方程(3)的呼吸子解,設(shè)

    則式(6)可寫為

    其中k、κ、ρ、σ、、分別為任意實(shí)常數(shù)。將式(18)代入式(8)獲得方程(3)的呼吸子解。

    3 當(dāng)N=3時,方程(3)的共振解

    3.1 Y-型孤子與孤子的共振解

    令a12=0,則式(6)變?yōu)?/p>

    若Y-型孤子和單孤子滿足速度共振條件:

    式中的vx、vy由(11)式確定,將式(22)代入式(8),則得到方程(3)的三孤子解。這三孤子解存在著特殊的結(jié)構(gòu)。它由Y-型孤子和單孤子組成,且Y-型孤子和單孤子具有相同的運(yùn)動速度,因而它們的相對位置不隨時間的變化而改變。圖2顯示了Y-型孤子和單孤子疊加的共振解隨時間變化傳播情形的密度圖。

    圖2 Y-型孤子和單孤子疊加的共振解隨時間變化傳播情形的密度圖

    3.2 團(tuán)塊與孤子疊加的共振解

    將式(13)代入式(6),并在ε1→0,ε2→0處,用Taylor級數(shù)展開,式(6)變?yōu)?/p>

    式中的θ1、θ2、b12由式(14)確定,C13、C23滿足

    若團(tuán)塊和孤子滿足速度共振條件:

    式中的vx、vy由式(18)確定,將式(24)代入式(8),則得到方程(3)的由團(tuán)塊和孤子疊加的共振解。這一共振解結(jié)構(gòu)穩(wěn)定,團(tuán)塊和孤子的相對位置不隨時間變化而改變。圖3顯示了由團(tuán)塊和孤子疊加的共振解隨時間變化的傳播情形,圖3中的參數(shù)為

    圖3 由團(tuán)塊和孤子疊加的共振解隨時間變化傳播的密度圖

    3.3 呼吸子和孤子的共振解

    將式(19)代入式(6),得到

    若呼吸子和孤子滿足速度共振條件:

    則得到由呼吸子和孤子疊加的共振解。圖4顯示了由呼吸子和孤子疊加的共振解隨時間變化的傳播情形,圖4中的參數(shù)為

    圖4 由呼吸子和孤子疊加的共振解隨時間變化傳播的密度圖

    4 當(dāng)N=4時,方程(3)的共振解

    4.1 團(tuán)塊和雙孤子的共振解

    當(dāng)N=4時,在式(13)的條件下,把式(6)在ε1→0,ε2→0處Taylor級數(shù)展開,得到

    式(30)為一個團(tuán)塊和雙孤子的相互作用解,其中θ1、θ2、b12和C13、C23分別由式(14)和(25)確定,C14、C24滿足:

    若團(tuán)塊和雙孤子的運(yùn)動速度相同,即

    將式(30)代入式(4),則可獲得團(tuán)塊和雙孤子的共振解。圖5展示了團(tuán)塊和雙孤子的共振解隨時間演化的密度圖。圖5中的參數(shù)為:

    圖5 由團(tuán)塊和雙孤子疊加的共振解隨時間變化傳播的密度圖

    4.2 團(tuán)塊和呼吸子的共振解

    對于式(30),進(jìn)一步假設(shè)

    則其中的雙孤子轉(zhuǎn)化為呼吸子。若團(tuán)塊和呼吸子的運(yùn)動速度相等,即滿足速度共振條件:

    其中

    將式(30)代入式(8),則可獲得團(tuán)塊和呼吸子的共振解。圖6展示了團(tuán)塊和呼吸子的共振解隨時間演化的密度圖。圖6中的參數(shù)為

    圖6 由團(tuán)塊和呼吸子疊加的共振解隨時間變化傳播的密度圖

    4.3 兩呼吸子的共振解

    為尋求方程(3)的兩呼吸子的混合解,在式(19,33)的假設(shè)下,式(6)可寫為

    若兩呼吸子的運(yùn)動速度相等,即滿足速度共振條件:

    將式(37)代入式(8),則可獲得兩呼吸子的共振解。圖7展示了兩呼吸子的共振解隨時間演化的密度圖。圖中的參數(shù)為

    圖7 由兩呼吸子疊加的共振解隨時間變化傳播的密度圖

    5 結(jié)語

    共振現(xiàn)象在自然界中普遍存在。筆者基于雙線性形式,得到多孤子解,并在此基礎(chǔ)上討論了Y-型孤子及Y-型孤子與孤子、團(tuán)塊與孤子、呼吸子與孤子、團(tuán)塊與雙孤子、團(tuán)塊與呼吸子、呼吸子與呼吸子的共振解,希望這些解對非線性科學(xué)和物理學(xué)有所應(yīng)用和幫助。

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