中考數(shù)學(xué)與“圓”相關(guān)問題的解題思路探究

文/林宇杰

引 言

初中數(shù)學(xué)“圓”部分涉及很多的概念與定理，既需要學(xué)生牢固記憶與掌握，又需要學(xué)生做好解題總結(jié)，掌握不同題型的破題技巧和注意事項[1]。在教學(xué)實踐中，為使學(xué)生掌握豐富的解題經(jīng)驗，避免在解題中走彎路，促進(jìn)其解題水平與能力的有效提升，教師既要做好解題理論知識的講解，又要做好解題示范。

一、與“圓”相關(guān)的角度類問題

與“圓”相關(guān)的角度類問題主要包括求解某一角度的具體值、求解兩個角度的大小比值、求解某一角度的三角函數(shù)值三種類型[2]。中考中對該類問題的考查常與其他幾何知識結(jié)合起來，主要有四邊形、三角形等。解答這三種類型問題時，學(xué)生需要在明確解題思路的基礎(chǔ)上，靈活運用“圓”與其他幾何圖形的性質(zhì)，構(gòu)建已知條件與要求解角度之間的內(nèi)在聯(lián)系。該問題的解題思路為：認(rèn)真審題，明確哪些角度、線段已經(jīng)給出；結(jié)合給出的已知條件，思考蘊(yùn)含在背后的等量關(guān)系，如知道某一角度、線段后，結(jié)合圓、幾何圖形的性質(zhì)，還可以推理出哪一角度大小、線段長度；然后，通過相關(guān)計算以及角度、線段的等量代換，得出最終結(jié)果。

例題：如圖1，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊AB過圓心O，過點C圓的切線和AD的延長線交于點E，若點D是弧AC的中點，∠ABC=70°，則∠AEC的值為（ ）。

圖1

A.80° B.75° C.70° D.65°

該題考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即四邊形的對角互補(bǔ)、“圓”等弧所對的圓周角相等以及“圓”的弦切角定理等。在解題時，為方便找到角度間的等量關(guān)系，可將給出的角度標(biāo)注在圖形中，而后結(jié)合圖形性質(zhì)逐一進(jìn)行分析、推理，直到將要求解的角度大小計算出來[3]。

由題意可知，ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，且∠ABC=70°，則∠ADC=180°-∠ABC=180°-70°=110°。點D是弧AC的中點，即AD=DC，則∠EDC=2 ∠EAC，由∠ADC+∠EDC=180°，可得∠EDC=180°-∠ADC=180°-110°=70°，則∠EAC=35°，由CE為圓的切線可知，∠ECA=∠ABC=70°，則在△AEC中∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=180°-35°-70°=75°，選擇B 項。

二、與“圓”相關(guān)的線段類問題

與“圓”相關(guān)線段類問題是中考的?？紗栴}。縱觀整個初中數(shù)學(xué)可知，求解線段長度需要用到的知識點主要有勾股定理、三角形全等、三角形相似等。從這一點來看，解題時需要充分利用已知條件向這三個方面靠攏[4]。為迅速地突破該類問題，應(yīng)運用以下思路進(jìn)行分析：首先分析要求解的問題，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行逆向推理，思考要想求出最終的結(jié)果，需要先求解出哪些參數(shù)；確定已知條件中給出的線段長度、角度關(guān)系，看給出已知條件是否能夠集中到一個圖形中，若不能則需要考慮是否滿足三角形相似、三角形全等的判定條件，其中三角形相似可借助對應(yīng)邊的比例相等，三角形全等可借助對應(yīng)邊相等，求出相關(guān)參數(shù)。

例題：如圖2，在直角三角形ABC中AC⊥BC，E為AB上一點，以AE為直徑的圓O和BC相切于點D，且AE=5，AC=4，則BE的長為（ ）。

圖2

C.3 D.1

該題要求BE的長，而題干中已經(jīng)給出圓O的直徑，便間接地告知EO、AO的長。思考BE和已知的線段之間存在哪些關(guān)系呢？根據(jù)已知條件可知△ABC為直角三角形，而且連接OD不難得出△OBD也為直角三角形。通過設(shè)出BE的長運用三角形相似，構(gòu)建對應(yīng)線段的比例關(guān)系，便可順利求解出BE的長。

連接OD，因點D是圓的切點，因此，∠ODC=90°。而AC⊥BC，則∠ACB=90°。則△ODB∽△ACB。OB/AB=OD/AC，由AE=5，AC=4，可知圓O的半徑為，即OD=OE=2.5，OB=BE+OE，AB=AE+BE，即，解得，選擇A 項。

三、與“圓”相關(guān)的坐標(biāo)類問題

在中考中，與“圓”相關(guān)坐標(biāo)類問題常結(jié)合平面直角坐標(biāo)系設(shè)問[5]。解答該類問題的關(guān)鍵在于能夠靈活運用轉(zhuǎn)化思想，將要求解點的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長度，然后運用相關(guān)幾何知識進(jìn)行作答。解答該類問題的思路多種多樣，特別是解答與動點最值相關(guān)的坐標(biāo)類問題時需要找到動點運動過程中變與不變的量，通過做出輔助線路線對應(yīng)的圖形，運用圖形性質(zhì)確定最大值或最小值時動點的具體位置，再結(jié)合圖形性質(zhì)、角度關(guān)系計算出坐標(biāo)。該類問題技巧性較強(qiáng)，因此，教學(xué)實踐中教師應(yīng)注重與學(xué)生積極互動，給予其有針對性的啟發(fā)，使其逐漸找到解題思路。

例題：如圖3，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中點P為直線y=2 上的一個動點，圓P的半徑為1，直線OQ和圓P切于點Q，當(dāng)線段OQ為最小值時，Q點的坐標(biāo)為_____。

圖3

為了幫助學(xué)生更好地找到解題思路，提高其解題的自信，在實踐中可設(shè)計如下問題，要求其思考、作答：（1）連接PQ，思考點P運動過程中PQ的長度以及和OQ直線的關(guān)系是否發(fā)生變化，為什么？（2）如何使用勾股定理表示出OQ的長度？（3）OQ最小時對應(yīng)OP的長度是怎樣的？當(dāng)學(xué)生正確地回答上述問題時，也就不難找到解題思路。

連接OP，由Q點為OQ和圓P的切點可知，∠PQO=90°，則由勾股定理得到：PQ為圓P的半徑1，且長度保持不變。因此，當(dāng)OQ最小時，OP應(yīng)最短。顯然到點P在y軸上時OP最短，此時OP=2，則設(shè)點Q的橫坐標(biāo)為x，則在△POQ中，由面積相等可知代入數(shù)據(jù)解得，則Q點的縱坐標(biāo)為因此，點Q的坐標(biāo)為

四、與“圓”相關(guān)的證明類問題

在中考中，與“圓”相關(guān)的證明類問題，主要包括證明角度與角度的相等關(guān)系、證明線段與線段的相等關(guān)系、證明三角形相似和全等、證明線段之間的乘積或比例相等等情境。其中不同的情形有著有針對性的解題思路，證明時可運用逆向思維進(jìn)行推理[6]。其中，證明三角形相似或全等時，有時需要應(yīng)用其他三角形的相似或全等進(jìn)行過渡，以確定角度、線段的關(guān)系。另外，證明線段乘積相等關(guān)系時應(yīng)注重將其轉(zhuǎn)化為線段之間的比例關(guān)系，借助三角形相似得出最終結(jié)論。

例題：如圖4，AB為圓O的直徑，BC為圓O的切線，弦AD∥OC，直線CD交BA的延長線于點E，連接BD。

圖4

求證：（1）△EDA∽△EBD；（2）ED·BC=AO·BE。

對于問題（1） 根據(jù)經(jīng)驗只需要證明∠ADE=∠DBA即可，而聯(lián)系圓的弦切角定理可知，只需要證明CD是圓O的切線，連接OD后，證明∠CDO=90°，因此只需證△CDO≌△CBO；問題（2）可將線段乘積轉(zhuǎn)化成線段比例，通過等量代換將其轉(zhuǎn)化到兩個三角形中，證明三角形相似即可。

（1）連接OD，由弦AD//OC可知∠DAO=∠COB，由AO=OD，可得∠DAO=∠ADO，而∠ADO=∠DOC，則∠DOC=∠COB，由DO=OB，CO=CO，則△CDO≌△CBO，∠CDO=∠CBO，因BC為圓O的切線，則∠CBO=90°，因此，∠CDO=90°，則直線CD也是圓O的切線，則∠ADE=∠DBA，而∠E=∠E，則△EDA∽△EBD。

（2）由（1）可知∠EDO=∠EBC=90°，∠E=∠E，△EDO∽△EBC，則ED/BE=DO/BC，而AO=DO，則ED/BE=AO/BC，即ED·BC=AO·BE。

五、與“圓”相關(guān)的最值類問題

與“圓”相關(guān)的最值類問題難度較大，在中考中屬于拉分題型[7]。該類問題之所以拉分在于部分學(xué)生不會運用轉(zhuǎn)化思想化動為靜。在教學(xué)實踐中，為使學(xué)生更好地找到該類問題的解題思路，教師應(yīng)注重為學(xué)生講解轉(zhuǎn)化思想的重要性，引導(dǎo)其在心理上不能有畏懼感，應(yīng)樹立必勝的信心。

例題：已知圓O是一個半徑為2 的圓，P是圓O上一頂點。A、B為圓O上的兩個動點，且∠APB=30°，C為PB的中點（如圖5），則A、B兩點運動的過程中，線段AC的最大長度為（ ）。

圖5

該題涉及圓上的兩個動點，難度較大。解題時應(yīng)注重及時做出輔助線，充分利用點C是PB的中點這一關(guān)系構(gòu)建對應(yīng)的三角形，確定AB運動過程中不變的量。同時，分析要求解的線段與其他線段構(gòu)成什么樣的圖形，聯(lián)系圖形性質(zhì)找到其最大值。如該題中需要應(yīng)用到三角形的三邊關(guān)系。

根據(jù)題意連接OA、OB、OP，取OB的中點為點M，連接CM，AM。由∠APB=30°可知，∠AOB=60°，△AOB為等邊三角形。圓O的半徑為2，因此由勾股定理可得由C為PB的中點，可知在△POB中，CM為其中位線。由中位線的性質(zhì)可知，OP=1。在△AMC中，結(jié)合三角形三邊關(guān)系可知，，因此AC的最大值為，此時A、M、C三點共線，選擇B 項。

結(jié) 語

能否取得理想的中考成績、升入理想的高中，中考數(shù)學(xué)成績起著決定性作用。中考數(shù)學(xué)中“圓”是必考知識點，相關(guān)習(xí)題占有較高分值。在教學(xué)實踐中，為提高學(xué)生解答“圓”問題的能力，提高學(xué)生數(shù)學(xué)考試成績，教師應(yīng)做好“圓”基礎(chǔ)知識的講解，使學(xué)生真正地理解與掌握。同時，結(jié)合教學(xué)進(jìn)度做好經(jīng)典例題的講解，并積極組織學(xué)生開展有針對性的訓(xùn)練活動，使其及時將學(xué)到的解題思路應(yīng)用到具體的解題過程中，提高應(yīng)用的靈活性，真正做到學(xué)以致用、舉一反三。