GeoGebra軟件在高中數學課堂中的應用
——以“圓錐曲線”教學為例

李琨

廣東省中山市小欖中學 528415

隨著時代的進步，信息技術逐漸走進了高中數學課堂，信息技術與數學的融合有效地打破了機械化、程序化、單一化的教學模式，為數學課堂注入了新的活力.GeoGebra（以下簡稱GGB）軟件可以生動化、過程化、形象化地呈現(xiàn)知識的形成過程，有助于調動學生學習的積極性，讓學生在一個更為廣闊的空間里去發(fā)現(xiàn)、去總結，進而拓展學生的知識面，拓寬學生的視野，提高教學效率.

為了突破圓錐曲線這一教學難點，教師不斷地做了各種嘗試，如結合實物模型讓學生觀察，通過動手實驗讓學生體驗運動過程，然因高中生的空間思維能力較弱，所以大多數學生并未形成這種空間意識.隨著多媒體技術的發(fā)展，幾何畫板走進了數學課堂，雖然應用幾何畫板可以動態(tài)地呈現(xiàn)圓錐曲線形成的過程，但是它不能讓學生更加直觀地感受圖像隨著曲線方程變化而變化的過程.另外，幾何畫板制作教學課件的過程較為煩瑣，而高三數學教學的時間緊、任務重，教師的時間和精力有限；同時，因其操作復雜，對于一些年紀大的教師來講也是一種壓力.可見，其并不是一種高質、高效的手段.而GGB軟件的操作簡單，它的出現(xiàn)為數學教學帶來了巨大便利［1］.基于此，筆者分析了圓錐曲線的地位、價值及教學現(xiàn)狀，并淺談如何借助GGB軟件高效完成圓錐曲線教學目標，以期共鑒！

圓錐曲線的地位及價值

圓錐曲線是高考中的核心考點，每年都有20分左右的題目與其直接相關，可見其在高考中的重要地位.圓錐曲線中的三種曲線形成了一個完整的知識體系，從定義、方程、性質及應用中都蘊含著豐富的數學思想，尤其數形結合思想在整個體系教學中有著重要的應用，方便學生將函數、向量等知識聯(lián)系在一起，進而幫助學生完成知識的內化及知識體系的建構，方便學生更加全面、更加系統(tǒng)地掌握數學的基本內容.同時，因三種曲線緊密相連，可引導學生利用橢圓的學習經驗自主完成其他兩種曲線（雙曲線和拋物線）的學習，通過對比、交流、探究，深入理解和掌握三者的區(qū)別和聯(lián)系，進而培養(yǎng)學生自主學習能力.

由此可見，學好圓錐曲線不僅有利于高考數學成績的提升，而且有助于數學思想和數學素養(yǎng)的提升，因此教學中必須采用更加高效和高質的教學手段幫助學生克服圓錐曲線學習過程中遇到的困難，以此提升學生的學習能力.

圓錐曲線教學現(xiàn)狀分析

高中教師知曉本章內容在整個高中數學教學中的地位，也非常重視本章內容的教學，然其教學方法依舊延續(xù)著傳統(tǒng)的“灌輸”教學模式，教師講解時并未結合學情進行教材和教法的鉆研，而是終而復始地重復著原有的教學方法，這樣的課堂是枯燥和乏味的，難以激發(fā)學生的學習熱情，自然不利于學生思維能力的培養(yǎng).同時，部分教師在教學中習慣照本宣科，不重視教學過程，未能將信息技術與數學課堂完美地融合起來，沒有激發(fā)學生學習的積極性，學生自然對知識的理解也無法深入.另外，按照大綱要求，本章內容規(guī)定的課時較少，部分教師認為若教學中過多地進行過程演示可能會浪費寶貴的課堂時間，也會占用練習的時間，若沒有足夠的練習學生更難以理解.可見，“題?！彼枷朐诮虒W領域中還占有統(tǒng)治地位.然若沒有過程的講解，學生對知識的理解將過于概念化，缺乏應變能力，這樣面對難度較大、計算較復雜的題目時容易產生心理負擔，影響學生學習的信心.

可見，圓錐曲線教學中存在著一些不足，教學中必須順應時代的發(fā)展，發(fā)揮好信息技術的巨大優(yōu)勢，讓學生在知識的動態(tài)生成中去感悟和探究，從而提高學生的學習興趣.

GGB軟件引入的價值

基于圓錐曲線在高中數學中的地位及教學中存在的不足，教學中應作出一些改變.經教學實踐發(fā)現(xiàn)，借助GGB軟件來制作圓錐曲線教學案例可以實現(xiàn)化抽象為具體的效果，不僅可以節(jié)省時間，而且通過動靜結合可以打破學生對定義、性質的理解只能靠死記硬背來完成的尷尬局面，學生可以借助動畫去觀察、分析、總結，讓學生在動態(tài)變化中尋找規(guī)律，找到解決問題的方法，這樣對學生理解和應用相關知識具有不可估量的作用［2］.同時，GGB軟件的操作簡單，只要拖動構圖的元素，圖像就會隨著元素位置的變化而發(fā)生形變，有助于學生通過直觀觀察來體會從特殊到一般的過程.借助GGB軟件引導學生通過觀察、對比、分析、總結幾何圖形的性質，不僅能加深學生對相關知識的理解，而且使學習變得更有畫面感，更能激發(fā)學生的學習興趣，有助于師生突破圓錐曲線這一教學難關.

GGB在圓錐曲線教學中的應用

限于篇幅，筆者以橢圓教學為例，展示了GGB軟件的應用價值，以期改變教學現(xiàn)狀，讓學生學得更加輕松和愉悅.

1.教學目標

（1）知識與技能：①橢圓定義；②推導橢圓的標準方程.

（2）過程與方法：①借助GGB軟件展示模型，讓學生自己完成定義的總結和歸納；②利用GGB的運算功能，讓學生借助數形結合推導出橢圓的標準方程.

（3）情感與價值觀：①通過直觀觀察和數學語言抽象，培養(yǎng)學生的直觀思維和數學語言應用能力；②在過程中滲透數形結合思想和坐標法，以培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)，提升學習能力.

2.教學重難點

教學重點：橢圓的定義及標準方程.

教學難點：推導橢圓的標準方程.

3.教學過程

師：在生活中經常會看到如圖1所示的橢圓形建筑，請大家想一想，在生活中你還看到了哪些橢圓呢？（教師用PPT展示圖1）

圖1

通過PPT的展示和生活中實物的聯(lián)想創(chuàng)建一個和諧的教學環(huán)境，為接下來的探究做好鋪墊.

師：請觀察圖2，你發(fā)現(xiàn)了什么？（教師運用GGB軟件進行圓錐曲線形成展示，引導學生通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律）

圖2

生1：若用一個平面來切割圓錐，平面的角度不同，切割出的曲線也不同.

師：很好！這三種曲線就是本章學習重點.（教師借助GGB軟件的直觀性，讓學生對圓錐曲線章節(jié)內容有一個整體認識，從而培養(yǎng)學生的整體意識，為后期的對比研究做好鋪墊）

師：在圓錐中放2個球（如圖3所示），一平面與兩球相切，猜想一下平面截圓錐面所得曲線會是什么圖形呢.

圖3

教師利用GGB軟件將雙球模型重新展現(xiàn)，學生仔細觀察圖形并結合圖2容易得出該截曲線為橢圓.通過動態(tài)觀察，激發(fā)學生的好奇心，高效引導學生進入橢圓定義的探究.

為了進一步探究橢圓的定義，在截曲線上任取一點P，過點P作圓錐的母線交小球于點A，連接PA，引導學生猜測PF1與PA的長度關系.學生大膽地猜測兩者的長度相等，教師并未急于給出答案，繼續(xù)利用GGB軟件讓學生過球外一點G作球的切線.如圖4所示，任取四條切線，切點分別為C，D，E，F(xiàn)，根據與圓的切線相類比，利用GGB軟件的測量功能容易得出GC=GE=GD=GF，于是學生順利地得出PF1=PA.同理，學生過點P作圓錐的母線，其與大球相交于點B，可得PB=PF2.當引導學生探究的和為定值時，教師又利用GGB軟件引導學生觀察動點P的運動過程，隨著動點P的變化，PF1，PF2的長度也隨之發(fā)生了變化，然的值卻未改變，進而借助GGB軟件動態(tài)呈現(xiàn)了橢圓的定義生成過程.

圖4

學生掌握了橢圓的幾何定義，教師可以引導學生從“數”的角度繼續(xù)探究，進而得出橢圓的標準方程.以F1F2所在的直線為x軸，以F1F2的中垂線為y軸，建立直角坐標系，設點P（x，y），F(xiàn)1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），利用兩點的距離公式可得=2a.顯然，若對該方程進行化簡需要較長的時間，雖然教學中鼓勵學生多觀察、多動手，然其并不違背直接應用前人的已有經驗，因此化簡時可以利用GGB的運算功能來完成，這樣求解過程清晰可見，有利于課堂效率提升［3］.

這樣，在教學中應用GGB軟件不僅可以讓學生在動態(tài)變化中理解概念定義的生成過程，而且可以借助其運算功能使學生從復雜的運算中脫離出來，避免學生僅重視標準方程的推導而忽視對橢圓定義的理解.可見，利用GGB軟件能有效化解教學的重難點，能減輕學生的運算負擔，提高課堂效率.