關注思維發(fā)展梯度 促進學習能力提升
——以“函數(shù)概念”教學為例

李泳霖

廣西壯族自治區(qū)玉林市北流中學 537499

眾所周知，學生現(xiàn)有知識水平往往是下一個階段即將要到達的認知水平發(fā)展的基礎，學生現(xiàn)有知識水平與潛在的發(fā)展水平會存在著一定的差異，這個差異往往就需要學生站在“已有認知”水平上“跳一跳”才能到達，然因學生“已有認知”水平不同，加上“跳一跳”的高度不同，因此學生的認知發(fā)展水平也會存在一定的差異.教學中要客觀地認識潛在的發(fā)展水平，科學地引導學生“跳一跳”，進而使學生的認知結構和思維發(fā)展水平得以逐漸完善和發(fā)展.

為了探究最近發(fā)展區(qū)的價值，筆者以“函數(shù)概念”教學為例，通過探究最近發(fā)展區(qū)在教學中的具體作用，逐漸培養(yǎng)和完善學生的已有認知，促進學生學習能力不斷提升.

學情分析

對于函數(shù)學生并不陌生，在初中階段學生已經(jīng)學習并掌握了一次函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)的圖像及性質，重點掌握了變量之間的變化規(guī)律.雖然初中與高中定義函數(shù)的角度不同，然初中對函數(shù)的定義和數(shù)形結合思想為學生在高中理解函數(shù)定義中的一一對應的關系奠定了基礎.之所以分為兩個階段進行定義，依據(jù)的就是學生的最近發(fā)展區(qū)：初中階段，學生的邏輯思維能力較弱，對于抽象概念的理解還處于初期的經(jīng)驗型；高中階段，學生的認知水平、概括能力、思維能力都有大幅度提升，更能掌握抽象概念的本質.可見，教材的編排設計遵循著最近發(fā)展區(qū)理論.值得注意的是，剛步入高中，受初中學習模式和思維方式的影響，學生思考問題時依然習慣從具體運算或具體問題出發(fā).比如，學生看待函數(shù)時還是會從函數(shù)的特點出發(fā)，將其看成具體的函數(shù)，而沒有將其看成一般函數(shù)y=f（x）.同時，大部分學生不習慣用抽象的數(shù)學符號來理解問題，因此他們常將抽象字母賦予特殊值，將問題向特殊轉化，在特殊中推測出一般規(guī)律.

鑒于學生的認知水平和思維特點，教師在概念教學中可以創(chuàng)設一些問題或制造一些認知沖突，讓學生發(fā)現(xiàn)很多問題不能用特殊化的方法來解決，也不能用初中對函數(shù)的定義進行解釋，以此引導學生“跳一跳”，重新解讀函數(shù)的概念.

確定目標

通過舊知回顧喚醒原有認知，借助認知沖突引發(fā)學生對新概念探究的熱情，引導學生在互動交流中不斷完善認知，通過解決最近發(fā)展區(qū)問題發(fā)展學生的數(shù)學思維.同時，教學中從概念產(chǎn)生的背景出發(fā)，讓學生體驗概念形成的過程，進而學會用抽象的語言或符號進行歸納和總結，讓學生在不斷探究和完善的過程中感受數(shù)學的抽象美.

教學過程

1.舊知回顧

師：請同學們回憶一下，初中階段我們學習了哪幾個函數(shù)？是如何定義函數(shù)的？

函數(shù)的相關知識是初中學習的重點內容，學生印象深刻，問題回答毫不費力.教師以舊知為引線，喚醒學生的已有認知，掌握學生現(xiàn)有認識水平以便確定下一個發(fā)展目標.

師：大家都說得很好，初中的基礎都很扎實.大家分析一下表1中的幾個變化過程是不是函數(shù).

學生根據(jù)函數(shù)定義首先判斷變化過程中的變量個數(shù)，尋找變量在變化時，y與x的對應關系.表1中的變化過程學生并不陌生，此階段教師讓學生先獨立思考，然后進行組內交流，最終得出前面3個是函數(shù)，后面2個不是函數(shù).

教師通過預設以上問題不僅讓學生回顧了舊知，也為接下來創(chuàng)設認知沖突做好了鋪墊，以便學生在現(xiàn)有認知上可以“跳一跳”，深入了解函數(shù)的概念.

2.引發(fā)沖突

師：本節(jié)課要學習的重點內容是函數(shù)的概念.（很多學生投來了疑惑的眼神）

師：確實，初中已經(jīng)學過，也能熟練應用，為什么高中還要學呢？（教師以設問的方式激發(fā)學生想一探究竟的熱情）

師：現(xiàn)在大家分析一下下面幾個式子，看看他們是不是函數(shù).

（1）y=2；

（2）y=2x+3，x∈｛1，2，4，8，16｝.

從學生現(xiàn)有發(fā)展水平來看，學生對函數(shù)的理解為“變量x按照一定的規(guī)律變化而得到變量y”，學生認為y=x，y=，y=ax2+bx+c這樣的，y隨x變化而變化的才是函數(shù).對于以上式子用已有認知中的“變量說”來判斷它們顯然不是函數(shù)，那么新概念中的函數(shù)是否有變化呢？是否可以將以上式子歸結為函數(shù)呢？這樣通過創(chuàng)設認知沖突和心理沖突，引導學生積極思考，進而沖破已有認知的束縛，從一個新的角度重新認識函數(shù)，在學生的最近發(fā)展區(qū)完成新知的建構.

3.形成新知

在初中學習函數(shù)概念時，單純從變化的觀點去描述，強調的是變量和變域，并未揭示函數(shù)的實質，因此，高中階段需變“特殊”為“一般”，從新的角度出發(fā)，準確地刻畫函數(shù)的實質.

師：請大家從集合的角度去思考表1中的①、②、③，看看它們有什么共同的特征.（從集合的角度去思考會使部分學生產(chǎn)生一定的困擾，因此教師讓學生進行合作探究，通過合作交流、集思廣益從新角度重新出發(fā)）

生1：此過程中形成了兩個非空數(shù)集A，B.

師：很好，還有什么其他發(fā)現(xiàn)？

生2：集合A中的每一個元素x，在集合B中都可以找到唯一對應的元素y.

師：若將變化過程看成對應法則f，請大家從集合的角度重新定義一下函數(shù).（因概念較為抽象，需要在教師的引導下，通過積極討論，抽象概括出新概念）

生3：一般地，設集合A，B為非空集合，若集合A中的每一個元素x，按照某種對應法則f進行變化，在集合B中都有唯一的元素y與之對應，這樣的對應叫做從A到B的一個函數(shù).

師：總結得非常好.那么這種對應關系記為y=f（x），x∈A，所有輸入的值x組成的集合叫做y=f（x）的定義域；所有輸出的值y組成的集合C（C?B）叫做函數(shù)y=f（x）的值域.（教師進行及時補充）

在生3的基礎上教師及時進行了補充，從而使概念更加完整.此過程雖然有教師的引導，然教師提出問題及后期學生的探究活動都是在學生現(xiàn)有發(fā)現(xiàn)水平上推進的，因此新知的探究顯得自然流暢，學生參與的積極性較高，很快由“變量說”轉化為“集合說”，使學生對函數(shù)的認知更加全面、具體.

4.深化理解

雖然學生全程參與了新概念概括和抽象過程，然教師若對概念的關鍵要素不進行提取，學生對概念的理解可能依然無法深入.

師：請根據(jù)函數(shù)的定義思考一下，構成函數(shù)需要哪幾個必備的條件呢？（教師用PPT展示概念，讓學生更加清晰完整地重新認識概念）

生4：兩個集合必須“非空”.

生5：還有兩個關鍵詞——“每一個”“唯一”.

學生對“每一個”和“唯一”的理解是形成概念的基礎，教師在此環(huán)節(jié)應仔細講解，進而讓學生深入理解“定義域”和“值域”.

師：現(xiàn)在大家再來判斷之前給出的y=2和y=2x+3是不是函數(shù).

應用新概念，學生可以輕松地判斷出兩個式子都是函數(shù)，可見，新知已經(jīng)得到了內化.為了探究函數(shù)的核心，教師又做了如下引導：

師：根據(jù)新概念，函數(shù)由哪幾部分構成？

在問題的引導下，學生根據(jù)概念總結出了構成函數(shù)的三要素.為了讓學生深入理解函數(shù)的三要素，教師可以設計一些具體實例，如將函數(shù)y=30x（x≥0）和y=x2（x∈R）相對比，讓學生體會對應法則；讓學生思考f（x）=x與g（x）=（）2是否為同一函數(shù)，引導學生知曉定義域的價值，對于值域主要取決于定義域和對應法則，故兩者相同其值域必然相同；為了消除字母的干擾，可引導學生分析f（x）=x與g（t）=是否為同一函數(shù)，顯然兩個函數(shù)的定義域和對應法則相同，故可直接判斷其為同一函數(shù)，由此讓學生跳出函數(shù)變量為x，y的固定思維模式的束縛，以便更加全面地理解函數(shù)概念.

5.練習及反思

練習是鞏固、檢測知識的必經(jīng)之路，教師可設計一些分層練習，同時在練習時預設一些“陷阱”，進而幫助學生進一步完成知識的內化.同時，學習中要關注反思，例如函數(shù)概念教學中，讓學生進行初中、高中函數(shù)概念的對比反思，總結和歸納出兩者的區(qū)別與聯(lián)系；讓學生反思函數(shù)概念的三要素，理清三要素的關系，進而使學生可以更加深入地理解函數(shù)概念，便于完成最近發(fā)展區(qū)知識體系的建構.

總之，教學中不要急于求成，要堅持以學生為主體，從學生的現(xiàn)有認知水平出發(fā)，通過“沖突”“抽象”“反思”等思維活動，引導學生在最近發(fā)展區(qū)“跳一跳”，進而不斷提升學生的學習能力.