借助錯(cuò)誤資源 優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)

王娟

江蘇省海門中學(xué) 226100

學(xué)習(xí)是一個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展、不斷變化的過程，難免會(huì)出現(xiàn)各種意想不到的錯(cuò)誤.化弊為利、變廢為寶，將錯(cuò)誤看成上好的教學(xué)資源，能有效地培養(yǎng)學(xué)生的歸因能力，課堂也會(huì)因錯(cuò)誤的參與而更具生命力［1］.這就要求教師要有過硬的業(yè)務(wù)水平與良好的應(yīng)變能力，將錯(cuò)就錯(cuò)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從錯(cuò)題中進(jìn)行歸納、總結(jié)、提煉，提高學(xué)習(xí)能力的同時(shí)提升核心素養(yǎng).

借助錯(cuò)題，引發(fā)探究

錯(cuò)誤與學(xué)習(xí)相伴相生，是具有教育意義的重要資源.作為教師，該如何緊扣錯(cuò)誤產(chǎn)生的契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生挖掘錯(cuò)誤產(chǎn)生的根源，產(chǎn)生探究行為？實(shí)踐證明，教師不僅要擁有一雙善于發(fā)現(xiàn)的慧眼，還要擁有靈活的應(yīng)變能力，能將錯(cuò)題開發(fā)成教學(xué)資源，引發(fā)學(xué)生自主探究，使得錯(cuò)誤成為促進(jìn)學(xué)生各項(xiàng)能力成長的一味良藥.

有些錯(cuò)誤是可以預(yù)見的.備課時(shí)，教師可以將能預(yù)見的錯(cuò)誤標(biāo)注出來，并重點(diǎn)講解，讓學(xué)生在思辨中進(jìn)行觀察、比較，從而產(chǎn)生感悟.教師也可以將能預(yù)見的錯(cuò)誤有意識(shí)地設(shè)計(jì)到教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生在思維陷阱的誘惑下，進(jìn)行比較、思考、探究與辨析，從而發(fā)現(xiàn)并修正錯(cuò)誤，牢固認(rèn)知［2］.

當(dāng)然，學(xué)生遇到更多的是考試過程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤.為了引發(fā)學(xué)生自主探究，教師可以展示學(xué)生不同的解題過程，讓學(xué)生在自主分析與比較中探索、修正解題思路，完善認(rèn)知.

例1已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=為一個(gè)奇函數(shù)，求a的值.

錯(cuò)誤預(yù)見：大部分學(xué)生看到本題時(shí)，基本會(huì)從這個(gè)角度進(jìn)行思考：因?yàn)閒（x）于R 上是奇函數(shù)，所以f（－x）=－f（x），即接下來就是化簡，不少學(xué)生到這一步就無法繼續(xù)往下，因而導(dǎo)致解題失敗.

為了避免此類問題的發(fā)生，教師可在學(xué)生嘗試失敗的基礎(chǔ)上，給予一定的點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生從特殊值求參數(shù)的方法著手進(jìn)行分析，具體解題過程如下：

因?yàn)閒（x）于R 上是奇函數(shù)，所以f（－1）=－f（1），得a=2.經(jīng)過檢驗(yàn)，當(dāng)a=2時(shí)，f（－x）=－f（x）與題意相符.

顯然，用特殊值求參數(shù)的方法不僅思路清晰，而且過程簡單，不容易出現(xiàn)失誤.從理論上來講，以上兩種解題思路均可行，但從解題技巧的角度來看，應(yīng)用特殊的數(shù)學(xué)思想解決本題，顯然更具優(yōu)勢(shì).由此可見，當(dāng)教師預(yù)見錯(cuò)誤時(shí)，或在錯(cuò)誤發(fā)生后，應(yīng)對(duì)錯(cuò)誤發(fā)生的原因引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行剖析，可為探究、優(yōu)化解題思路奠定基礎(chǔ).

巧用錯(cuò)題，深化理解

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的不在于會(huì)解題，而在于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握.教學(xué)過程并非一個(gè)遵照指令實(shí)施程序化工作的流程，而是不斷建構(gòu)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的過程.這要求學(xué)生摒棄模仿與復(fù)制的學(xué)習(xí)行為，而是在接納、創(chuàng)新中不斷自主建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu).數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)在于引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)并“創(chuàng)造”知識(shí)，而非注入式灌輸知識(shí).面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)題，教師可巧妙地化錯(cuò)題為再創(chuàng)造的資源，讓學(xué)生再次回顧并理解相關(guān)的知識(shí).

例2已知點(diǎn)A（－1，1），點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，如果點(diǎn)M（x，y）是平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.

本題是剛授完線性規(guī)劃后做的一道練習(xí)，對(duì)于這種新的目標(biāo)函數(shù)，學(xué)生還處于較陌生的狀態(tài)，因此本題的錯(cuò)誤率較高.筆者在講評(píng)此題時(shí)，先與學(xué)生共同探討了本題的求解方法，此時(shí)學(xué)生恍然大悟——其實(shí)只是目標(biāo)函數(shù)的形式稍微復(fù)雜了一些，化簡后發(fā)現(xiàn)，其即求“-x+y”的取值范圍.

為了深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，訓(xùn)練學(xué)生舉一反三的能力，筆者鼓勵(lì)學(xué)生在本題的基礎(chǔ)上，以小組為單位改編本題，看看哪組學(xué)生改編得最好，能難倒其他小組的同學(xué).這個(gè)建議立即激起了學(xué)生的好勝心，各個(gè)小組成員自發(fā)地進(jìn)行合作學(xué)習(xí)，都希望自己小組能改編出好的問題，獲得勝利.

此時(shí)，課堂教學(xué)氛圍尤為和諧，學(xué)生一個(gè)個(gè)絞盡腦汁地提出有新意的問題，以難倒其他同學(xué).此過程也是學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、深化理解知識(shí)的過程，真可謂是一舉兩得.若教師能巧妙地應(yīng)用學(xué)生的錯(cuò)誤，不僅能激活課堂，還能實(shí)現(xiàn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的再創(chuàng)造，課堂在學(xué)生自主糾錯(cuò)、探索與創(chuàng)新中獲得新生.

隨著編題與解題活動(dòng)的開展，每個(gè)學(xué)生都收獲滿滿.這種教學(xué)方式，既沒有全盤否定學(xué)生的錯(cuò)誤，保全了他們的自尊心，又有效地利用了錯(cuò)誤資源，深化了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，同時(shí)還鍛煉了學(xué)生的表達(dá)能力、溝通能力以及思維能力等，有效地實(shí)現(xiàn)了“在做中學(xué)”的教育理念.

利用錯(cuò)題，引發(fā)感悟

心理學(xué)家蓋耶曾經(jīng)說過：“不允許學(xué)生犯錯(cuò)，會(huì)讓學(xué)生錯(cuò)過重要的學(xué)習(xí)時(shí)刻.”錯(cuò)誤與學(xué)習(xí)相伴相生，可以利用錯(cuò)題來引發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)的感悟，讓錯(cuò)題成為教育的契機(jī)，課堂也會(huì)因?yàn)殄e(cuò)題的利用而更加豐富.當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，教師不用焦慮，更不需要急于求成，萬萬不可將正確答案直接灌輸給學(xué)生，而應(yīng)想盡一切辦法，開發(fā)錯(cuò)題的教學(xué)功能，引導(dǎo)學(xué)生在錯(cuò)題的探索與思考中，獲得新的學(xué)習(xí)感悟.

例3在△ABC中，已知∠B=2∠A，.（1）求cosA的值；（2）求c的值.

為了暴露學(xué)生的解題思路，求解本題時(shí)，筆者讓兩位學(xué)生到黑板上書寫解題過程.兩位學(xué)生解答問題（2）時(shí)，呈現(xiàn)出了不一樣的結(jié)果.

生1：根據(jù)余弦定理a2=b2-2bccosA+c2，可得c2-8c+15=0，解得c=3或5.

生2：根據(jù)余弦定理b2=a2-2accosB+c2，cosB=cos2A=，所以c2-2c-15=0，解得c=-3或5（舍掉c=-3）.

本題是一道基礎(chǔ)題，兩種相似的解題方法，卻呈現(xiàn)出了不一樣的結(jié)論，這讓所有的學(xué)生都感到很奇怪.當(dāng)所有的學(xué)生都為這兩個(gè)答案感到困惑時(shí)，筆者并沒有著急呈現(xiàn)出正確答案，而是鼓勵(lì)學(xué)生來做評(píng)委，評(píng)判一下到底哪種結(jié)論是正確的.對(duì)于這個(gè)提議，燃起了所有學(xué)生探究的興趣，學(xué)生以各種方式進(jìn)行了驗(yàn)證，具體有：

驗(yàn)證1：當(dāng)c=3時(shí)，a=c=3，所以∠B=2∠A=2∠C，所以∠A=∠C=45°，由此可確定∠B=90°，此時(shí)b2=a2+c2=18，這與b2=24是矛盾的，因此c=3是錯(cuò)誤的.

驗(yàn)證3：與驗(yàn)證2 同理可得cosC=-cos（A+B）=，根據(jù)余弦定理c2=a2-2abcosC+b2，可得c2=25，所以c=5或-5（舍掉c=-5）.

無須教師過多講解與引導(dǎo)，學(xué)生通過自己演示、討論與驗(yàn)證，就能領(lǐng)悟正弦、余弦定理的內(nèi)涵及運(yùn)用，雖然此過程耗時(shí)不少，但達(dá)到的教學(xué)成效也是有目共睹的.

在與學(xué)生的溝通中，筆者作了以下引導(dǎo)與點(diǎn)撥：一是明確指出問題（2）絕不可能出現(xiàn)兩個(gè)解，原因在于解得cosA=后，確定∠A是唯一的，由此也可以確定∠B，∠C是唯一的，根據(jù)a=3，b=可以確定該三角形的唯一性；二是在解三角形的問題中，檢驗(yàn)是必不可少的環(huán)節(jié)之一；三是本題出現(xiàn)了增根，是因?yàn)榍蠼鈫栴}（1）時(shí)，用到的條件sinB=sin2A與題設(shè)條件并非充要關(guān)系，該式包含了兩種可能，即∠B+2∠A=π或∠B=2∠A，這變相地?cái)U(kuò)大了問題范圍，導(dǎo)致求解時(shí)出現(xiàn)了與題意不相符的結(jié)論.

通過以上點(diǎn)撥，學(xué)生不僅對(duì)本題產(chǎn)生了深刻理解，還達(dá)到了知其然并知其所以然的境界，這為知識(shí)的遷移、融會(huì)貫通以及舉一反三奠定了基礎(chǔ).學(xué)生通過本題的解答，深刻感悟到：不論試題多么簡單，解題時(shí)都不能掉以輕心，所有的解題步驟、檢驗(yàn)環(huán)節(jié)缺一不可.

作為教師，面對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤，不需要焦慮或急于將結(jié)果呈現(xiàn)給學(xué)生，而應(yīng)給予學(xué)生充足的時(shí)間與空間，鼓勵(lì)學(xué)生自主地從問題的不同角度去審視、分析，讓學(xué)生在爭論、辯駁中明白錯(cuò)誤的根源，從而完善原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu).當(dāng)然，此過程少不了教師適時(shí)的點(diǎn)撥，在弄清錯(cuò)誤的來龍去脈后，關(guān)鍵性的提煉與總結(jié)會(huì)起到畫龍點(diǎn)睛的作用.

總之，錯(cuò)誤的產(chǎn)生本身就是一個(gè)大膽猜想與嘗試的過程，其背后常隱藏著一定的數(shù)學(xué)思維與教學(xué)價(jià)值.因此，面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤，教師應(yīng)放平心態(tài)，因勢(shì)利導(dǎo)地處理各種錯(cuò)誤，以激活并完善學(xué)生的認(rèn)知.讓錯(cuò)誤成為教學(xué)的再生資源，使得學(xué)生的思維、情感態(tài)度與價(jià)值觀等在“糾錯(cuò)”中得以發(fā)展，由此彰顯出高中數(shù)學(xué)課堂的靈活性與生命力.