基于數(shù)學(xué)史實(shí)施深度學(xué)習(xí)的意蘊(yùn)、困境與對(duì)策

崔海華

數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是指數(shù)學(xué)教學(xué)中，在教師精心引領(lǐng)下，學(xué)生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，積極參與、深度探究、體驗(yàn)成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程。其重點(diǎn)在于關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，達(dá)成深度理解，提升學(xué)生綜合素養(yǎng)。隨著教改不斷進(jìn)入深水區(qū)，適合的數(shù)學(xué)史進(jìn)入小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，讓數(shù)學(xué)史和學(xué)生深度學(xué)習(xí)相融，使學(xué)生通過自己的探索與思考，去經(jīng)歷、創(chuàng)造并獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的養(yǎng)成具有重要的意義。然而，由于種種原因，對(duì)于數(shù)學(xué)史的深度教學(xué)，許多教師往往只停留在“好是好，但不知道怎么做”的認(rèn)知層面。因此，進(jìn)一步厘析基于數(shù)學(xué)史實(shí)施小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的內(nèi)在意蘊(yùn)、直面現(xiàn)實(shí)困境并從實(shí)際出發(fā)提出相應(yīng)的對(duì)策，顯得尤為重要。

一、基于數(shù)學(xué)史實(shí)施小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的意蘊(yùn)

作為數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，基于數(shù)學(xué)史實(shí)施小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的價(jià)值意蘊(yùn)越來(lái)越受到廣大教師的重視。數(shù)學(xué)史作為學(xué)習(xí)內(nèi)容的補(bǔ)充和闡釋，能夠有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，幫助教師預(yù)測(cè)學(xué)生學(xué)習(xí)障礙，發(fā)展學(xué)生思維，培養(yǎng)核心素養(yǎng)。

（一）呈現(xiàn)知識(shí)創(chuàng)造本源，品悟數(shù)學(xué)本質(zhì)

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中絕大多數(shù)的概念和方法，都是為了解決實(shí)際問題而產(chǎn)生的，因此，只有深入到知識(shí)產(chǎn)生的源頭，才能真正理清人類當(dāng)初創(chuàng)造概念或方法的動(dòng)機(jī)與原因，才能在教學(xué)中有效預(yù)設(shè)真實(shí)情境，讓學(xué)生像當(dāng)時(shí)人們那樣嘗試著解決數(shù)學(xué)問題。例如，教材中通常把“比”定義為“兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比”，這樣的表述是將“比”視為運(yùn)算，似乎“比”的問題都可以用算術(shù)中的除法解決。按照這樣的認(rèn)識(shí)，自然會(huì)帶來(lái)教學(xué)上的疑惑：既然已經(jīng)有了除法，為什么還需要比？我們深入考察“比”的數(shù)學(xué)史，會(huì)發(fā)現(xiàn)“比”最初的意義并不是算術(shù)中的除法運(yùn)算，而是幾何中量之間的“關(guān)系”。之前人們發(fā)現(xiàn)，解決像人數(shù)、時(shí)間、長(zhǎng)度等可以直接用某種單位進(jìn)行度量的情況時(shí)，可以用算術(shù)中除法解決；而遇到像形狀、濃度、擁擠程度等不可以直接用某種單位度量的情況時(shí)，只能用幾何中量之間的“關(guān)系”進(jìn)行解決，這就是最初的“比”。只是后來(lái)隨著算術(shù)與幾何的融通，比的意義才逐漸從幾何進(jìn)入算術(shù)，出現(xiàn)算術(shù)運(yùn)算的意義。于是“比”的源頭及其數(shù)學(xué)本質(zhì)躍然而出。

（二）預(yù)見學(xué)生學(xué)習(xí)障礙，優(yōu)化學(xué)習(xí)過程

德國(guó)生物學(xué)家海克爾認(rèn)為：個(gè)體的發(fā)育史將會(huì)重蹈其種族的發(fā)展史。具體到數(shù)學(xué)教育，就是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知過程與數(shù)學(xué)史發(fā)展的過程是相似的，這就是著名的“歷史相似性原理”。數(shù)學(xué)史家波利亞進(jìn)一步指出：“只有理解人類如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì)人類的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)做出更好地判斷”，即我們可以通過數(shù)學(xué)史，準(zhǔn)確甄別、預(yù)見學(xué)生學(xué)習(xí)某一知識(shí)時(shí)所遇到的障礙，進(jìn)而可以優(yōu)化學(xué)習(xí)過程，通過巧妙預(yù)設(shè)，給予學(xué)生恰當(dāng)?shù)囊I(lǐng)。例如，學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)”時(shí)，學(xué)生與數(shù)學(xué)家當(dāng)初面臨的困境是相似的，都是對(duì)相反意義的量用原有的數(shù)已經(jīng)不能正確表征；面臨的認(rèn)知沖突沒有變，都是在減法計(jì)算中較小數(shù)不能減去較大數(shù)；面臨的認(rèn)知拓展挑戰(zhàn)沒有變，都是沒有“存在比0 還要小的數(shù)”的認(rèn)知等等。教師如果提前作出正確預(yù)判，就可以更好地預(yù)設(shè)教學(xué)，有針對(duì)性地指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，達(dá)成學(xué)習(xí)過程的優(yōu)化。

（三）感悟數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展高階思維

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》對(duì)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)構(gòu)成“三會(huì)”的表述，一方面凸顯了數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的依賴，另一方面彰顯了核心素養(yǎng)發(fā)展中數(shù)學(xué)思維的引領(lǐng)價(jià)值。深度學(xué)習(xí)的課堂必然是基于數(shù)學(xué)思想方法引領(lǐng)、以促進(jìn)學(xué)生高階思維發(fā)展為主旨的課堂。例如，學(xué)習(xí)“圓的面積”時(shí)，教師通常都把轉(zhuǎn)化作為重要的數(shù)學(xué)思想和方法。但考察“圓的面積”的數(shù)學(xué)史，發(fā)現(xiàn)古人也曾經(jīng)采用在圓的內(nèi)部畫多邊形和在圓的外部畫多邊形，試圖通過不斷增加多邊形的邊數(shù)來(lái)求圓面積，都沒有成功。直到17 世紀(jì)，德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家開普勒受到切西瓜的啟發(fā)，把圓分割成無(wú)數(shù)個(gè)小扇形，利用無(wú)窮小扇形面積與它對(duì)應(yīng)無(wú)窮小三角形面積相等，采用無(wú)限分割、化曲為直的方法才得到了完美地解決。以此可知，重要的是要讓學(xué)生體悟無(wú)限分割、化曲為直的極限思想。要從數(shù)學(xué)思想方法的高度整體關(guān)注數(shù)學(xué)教學(xué)，居高望遠(yuǎn)，不斷發(fā)展學(xué)生高階思維，提升學(xué)科核心素養(yǎng)。

二、基于數(shù)學(xué)史實(shí)施小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的困境

盡管國(guó)內(nèi)外教育研究者對(duì)數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育都有較高的評(píng)價(jià)，但較高的評(píng)價(jià)卻并沒有引發(fā)行動(dòng)上的較高水平的應(yīng)用，基于數(shù)學(xué)史實(shí)施深度學(xué)習(xí)的教學(xué)現(xiàn)狀并不樂觀。

（一）教材內(nèi)容與課標(biāo)要求相脫節(jié)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》提出，教材編寫理應(yīng)適時(shí)介紹包括數(shù)學(xué)發(fā)展史在內(nèi)的有關(guān)背景知識(shí)，便于更好地開展數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。然而，現(xiàn)行的小學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)于數(shù)學(xué)史素材的滲透相對(duì)較少，像人教版和蘇教版的教材，只在部分單元習(xí)題之后以閱讀材料“你知道嗎”的形式給予呈現(xiàn)，很少在正文中安排數(shù)學(xué)史內(nèi)容，能夠高度體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)史內(nèi)容密切契合的內(nèi)容更是少見。

（二）教師素養(yǎng)與深度教學(xué)不相稱

教師對(duì)于實(shí)施深度教學(xué)的主導(dǎo)性作用毋庸置疑，然而很多教師既沒有受過數(shù)學(xué)史的相關(guān)培訓(xùn)，也沒有對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)史的內(nèi)容進(jìn)行過較為深入地探究，即便在公開課上拿出來(lái)用一用，也只是對(duì)數(shù)學(xué)家的故事、概念產(chǎn)生發(fā)展的歷程、有趣的歷史名題等作簡(jiǎn)單、膚淺的介紹。數(shù)學(xué)教師自身數(shù)學(xué)史素養(yǎng)的不足，加上教學(xué)指導(dǎo)力的匱乏，數(shù)學(xué)史不根植于學(xué)生內(nèi)在，不能與數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)知識(shí)同生共長(zhǎng)，游離于數(shù)學(xué)教育之外就成了一件十分正常的事，更不用說教師會(huì)深度思考“為什么要滲透數(shù)學(xué)史”“什么環(huán)節(jié)使用數(shù)學(xué)史”“如何與教學(xué)內(nèi)容有機(jī)融合使用數(shù)學(xué)史”……可見，小學(xué)階段數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)的深度和廣度還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。

（三）素材資源與拓展延伸不匹配

與“高評(píng)價(jià)、低應(yīng)用”相對(duì)應(yīng)的是小學(xué)數(shù)學(xué)史料素材資源比較少。一方面，雖然每個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的背后都有極為豐富的數(shù)學(xué)發(fā)展史，但由于小學(xué)生所學(xué)的知識(shí)都是人類早期的成果，所能找到的相關(guān)記載并不多；另一方面，適用于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)的相關(guān)數(shù)學(xué)史的課程資源、教學(xué)材料較為少見，即便課標(biāo)中所提及的數(shù)學(xué)家的故事、數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展，在教材編寫過程中也很少涉及。雖然有很多數(shù)學(xué)史的科學(xué)研究，但缺少適用于小學(xué)數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)史教學(xué)素材，導(dǎo)致師生有無(wú)米之炊的無(wú)力之感，成為基于數(shù)學(xué)史實(shí)施深度學(xué)習(xí)的較為重大的阻礙。

三、基于數(shù)學(xué)史實(shí)施小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)的策略

如何充分發(fā)揮數(shù)學(xué)史教育價(jià)值，將數(shù)學(xué)知識(shí)的源流、數(shù)學(xué)思想方法的價(jià)值、數(shù)學(xué)文化的魅力以及師生的主觀能動(dòng)性融為一體，積極探索并實(shí)踐基于數(shù)學(xué)史實(shí)施深度學(xué)習(xí)的路徑與策略，成為當(dāng)下迫切需要解決的問題。

（一）改變教學(xué)觀念，挖掘資源建構(gòu)范式

教師應(yīng)基于學(xué)生發(fā)展可能，切實(shí)結(jié)合課標(biāo)要求，立足已有資源基礎(chǔ)，從基于數(shù)學(xué)史實(shí)施深度學(xué)習(xí)的高度出發(fā)，多閱讀、多研究、多掌握與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)相關(guān)的數(shù)學(xué)史資料，積點(diǎn)成線、連線成面，特別是能夠?qū)⑾嚓P(guān)的數(shù)學(xué)史料融入現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的思想與框架。一方面，主動(dòng)補(bǔ)充、挖掘數(shù)學(xué)史素材，提升閱讀材料的深度與廣度，真正理清知識(shí)的來(lái)龍去脈，據(jù)史尋找學(xué)生思維突破點(diǎn)、生長(zhǎng)點(diǎn)。另一方面，合理建構(gòu)相關(guān)研究范式，化繁為簡(jiǎn)，真正使數(shù)學(xué)史成為課堂深度學(xué)習(xí)不可或缺的一部分。例如，從數(shù)學(xué)史料出發(fā)，開展基于數(shù)學(xué)史料深度課堂的備課，形成“三備”范式，即備內(nèi)容、備學(xué)生和備方法。要求教師綜合思考數(shù)學(xué)史、學(xué)生學(xué)習(xí)障礙與學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，不斷追問古人為什么要?jiǎng)?chuàng)造這個(gè)知識(shí)。在整理清楚知識(shí)來(lái)龍去脈的基礎(chǔ)上，提煉出知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)而思考如何將數(shù)學(xué)史知識(shí)、學(xué)生的現(xiàn)實(shí)融入深度課堂的過程?！叭齻洹笨此凭€性，實(shí)則相互滲透，根據(jù)備課需要隨時(shí)切換，達(dá)成基于數(shù)學(xué)史精華的教學(xué)設(shè)計(jì)。具體如下：

圖1

（二）實(shí)施單元構(gòu)建，突出主線建構(gòu)關(guān)聯(lián)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》從一致性、發(fā)展性出發(fā)，將單元整體設(shè)計(jì)作為撬動(dòng)課堂轉(zhuǎn)型的一個(gè)重要支點(diǎn)?；跀?shù)學(xué)史的課堂，可以有效關(guān)聯(lián)歷史，探究知識(shí)源流，呈現(xiàn)知識(shí)脈絡(luò)。因此，以單元作為數(shù)學(xué)史融入的基本單位，不僅有時(shí)間和空間上的持續(xù)保證，內(nèi)容上的上承下達(dá)，還能將現(xiàn)時(shí)的學(xué)習(xí)與歷史脈絡(luò)相印證、相融合，促進(jìn)學(xué)生深度體驗(yàn)、深刻感受數(shù)學(xué)的意義與價(jià)值。例如，將單位1 融入“因數(shù)和倍數(shù)”單元，學(xué)生在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，已經(jīng)理解掌握了一個(gè)長(zhǎng)度單位，如1 厘米、1 分米、1 米或任意的長(zhǎng)度可以分別看作單位1。當(dāng)長(zhǎng)度單位與“因數(shù)和倍數(shù)”進(jìn)行單元統(tǒng)整時(shí)，可以從“分”與“聚”兩種數(shù)學(xué)史發(fā)展的常見角度設(shè)計(jì)探究過程。“分”指向因數(shù)的學(xué)習(xí)，如給定一條整數(shù)長(zhǎng)度的線段，可以被哪些整數(shù)長(zhǎng)度的線段（單位1）量盡；“聚”指向倍數(shù)的學(xué)習(xí)，如把一整數(shù)長(zhǎng)度的線段作為標(biāo)準(zhǔn)（單位1），若干段可以量盡哪些長(zhǎng)度的線段。同樣地，也可以將面積單位分別看作單位1，與“因數(shù)與倍數(shù)”進(jìn)行統(tǒng)整，作為研究主線，實(shí)施深度教學(xué)。

（三）注重形態(tài)轉(zhuǎn)化，探索創(chuàng)造超越結(jié)論

最原始的數(shù)學(xué)史料通常難以理解，需要教師對(duì)其進(jìn)行符合學(xué)生閱讀學(xué)習(xí)的加工處理，轉(zhuǎn)化為學(xué)生喜聞樂見的形式呈現(xiàn)。華東師范大學(xué)汪曉勤教授總結(jié)提煉出“附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式”等四種運(yùn)用數(shù)學(xué)史的方式。尤其是重構(gòu)式，要求教師站在歷史的高度，明晰數(shù)學(xué)知識(shí)源流、數(shù)學(xué)思想演進(jìn)，把握知識(shí)本質(zhì)、創(chuàng)設(shè)有效情境，在人類認(rèn)知提升的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)上，給予學(xué)生充分的時(shí)空，運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)歷再創(chuàng)造過程，達(dá)成深度理解。例如，學(xué)習(xí)“小數(shù)的意義”，教科書上通常將“元”和“角”之間的十進(jìn)關(guān)系，結(jié)合分?jǐn)?shù)的意義作為例題開展教學(xué)，但從教學(xué)效果看很不理想，原因在于：一是隨著微信、支付寶等網(wǎng)絡(luò)付費(fèi)的普及，學(xué)生使用實(shí)物人民幣買東西的機(jī)會(huì)很少，對(duì)于“元”和“角”之間的關(guān)系不太熟悉；二是通過“1/10 元也可以用0.1 元來(lái)表示”，從分?jǐn)?shù)的意義引入小數(shù)的意義，學(xué)生難于理解。通過數(shù)學(xué)史料研究發(fā)現(xiàn)，小數(shù)的出現(xiàn)始于長(zhǎng)度單位的度量。劉徽在《九章算術(shù)注》中提出：最小的長(zhǎng)度單位是“忽”，當(dāng)“忽”還嫌大時(shí)，需要把它再平均分成10 份、100 份……，得到更小的數(shù)“微數(shù)”，即小數(shù)。因此，在教學(xué)中，從學(xué)生已知的最小計(jì)數(shù)單位“個(gè)（一）”出發(fā)，把它作為標(biāo)準(zhǔn)，往右退一作十，以此得到比“個(gè)（一）”更小的計(jì)數(shù)單位。由此，學(xué)生完成思維突圍，創(chuàng)造了小數(shù)，溝通了十進(jìn)計(jì)數(shù)法、小數(shù)意義和分?jǐn)?shù)意義之間的聯(lián)系，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)基于數(shù)學(xué)本質(zhì)實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一。

（四）融入信息技術(shù)，再現(xiàn)情境凸顯人文

信息技術(shù)的發(fā)展日新月異，有可能的條件下組織學(xué)生觀看一些數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生、發(fā)展的模擬過程，甚至可以讓學(xué)生借助網(wǎng)絡(luò)多媒體模擬一些易于操作的數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)展過程，直觀形象地通過情境再現(xiàn)歷史，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史的共鳴、人文情懷的關(guān)照，賦予數(shù)學(xué)教科書知識(shí)以溫度，有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，減少學(xué)生理解難度，彰顯數(shù)學(xué)史的人文魅力。例如，教學(xué)“三角形的面積”時(shí)，可以回溯到“三角形面積”產(chǎn)生的歷史源頭，通過屏幕聲像打開穿越通道，創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生重回古老的埃及的情境：在這里，人們靠著尼羅河沖刷出的土地種植莊稼，但尼羅河每年都會(huì)泛濫，河水退后，兩岸人民每年都面臨重新丈量土地和公平劃分土地的問題。由此激發(fā)學(xué)生計(jì)算三角形土地面積的興趣。這樣的引入，既讓學(xué)生明白三角形的面積計(jì)算的必要性，同時(shí)也感受到其數(shù)學(xué)史之源。也可以根據(jù)劉徽《九章算術(shù)注》中對(duì)三角形的面積采用“半廣以乘正從”的方法，創(chuàng)設(shè)探究情境，引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

物理學(xué)家、哲學(xué)家恩斯特·馬赫認(rèn)為：沒有任何科學(xué)教育可以不重視科學(xué)的歷史與哲學(xué)。數(shù)學(xué)史不只是歷史人物、歷史事件和歷史概念串成的故事，更是故事背后的數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和人文精神。基于數(shù)學(xué)史的小學(xué)數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)課堂可以使師生溝通歷史與現(xiàn)實(shí)、數(shù)學(xué)與人文，師生在課堂中穿越時(shí)空，在數(shù)學(xué)理解中不斷深入數(shù)學(xué)本質(zhì)，樹立文化自信，獲得素養(yǎng)提升。