偶數(shù)重連續(xù)覆蓋的Walker星座設(shè)計(jì)方法

龔宇鵬，張世杰

(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院衛(wèi)星技術(shù)研究所，哈爾濱 150080; 2. 鵬城實(shí)驗(yàn)室數(shù)學(xué)與理論部, 深圳 518055)

0 引 言

Walker星座是由軌道高度和傾角相同的圓軌道衛(wèi)星組成的規(guī)則同構(gòu)星座，星座中各軌道面沿赤道均勻分布，各軌道所含衛(wèi)星數(shù)量相同且沿軌道均勻分布，具有構(gòu)型穩(wěn)定性強(qiáng)、覆蓋性能分布均勻、可以靈活調(diào)整覆蓋緯度范圍等特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于Telesat, Starlink, Kuiper等低軌巨型星座系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。然而當(dāng)前Walker星座構(gòu)型設(shè)計(jì)仍主要依賴于參數(shù)枚舉、經(jīng)驗(yàn)公式或智能搜索方法，并未形成通用的設(shè)計(jì)流程和方法。鑒于偶數(shù)與奇數(shù)重覆蓋Walker星座的覆蓋特性存在差異，本文將首先解決偶數(shù)重覆蓋星座的構(gòu)型設(shè)計(jì)問題，并在未來補(bǔ)充研究奇數(shù)重覆蓋星座的設(shè)計(jì)方法。

如何使用最少的衛(wèi)星數(shù)量滿足星座對(duì)地連續(xù)覆蓋需求是構(gòu)型設(shè)計(jì)考慮的首要問題。當(dāng)衛(wèi)星數(shù)量較少時(shí)，可以通過枚舉構(gòu)型并分析覆蓋性能獲得最優(yōu)的構(gòu)型結(jié)果，但此類方法難以滿足未來衛(wèi)星數(shù)量日益增加的設(shè)計(jì)需求。覆蓋帶(Street of coverage, SoC)法是一種通過拼接衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域解析計(jì)算同構(gòu)星座中衛(wèi)星的球面距離，進(jìn)而求解星座構(gòu)型的設(shè)計(jì)方法。這種方法不需要預(yù)設(shè)衛(wèi)星數(shù)量，適用于任意數(shù)量規(guī)模的星座設(shè)計(jì)，但由于傳統(tǒng)覆蓋帶方法僅考慮帶內(nèi)衛(wèi)星位于同一軌道的情況，而Walker星座傾角選擇靈活，不同緯度存在多個(gè)軌道面交點(diǎn)，難以判定拼接關(guān)系，因此并未廣泛采用覆蓋帶方法設(shè)計(jì)。盡管如此，文獻(xiàn)[12]中已經(jīng)證明，覆蓋帶存在仍是星座連續(xù)覆蓋的必要條件。通過分析異軌道面衛(wèi)星組成覆蓋帶的特征寬度和拼接關(guān)系，就能將覆蓋帶方法應(yīng)用于Walker星座設(shè)計(jì)。

由于Walker星座中不同衛(wèi)星的升交點(diǎn)經(jīng)度和緯度幅角相位差不隨星座運(yùn)行而發(fā)生變化，因此在(,)相平面內(nèi)計(jì)算星地或星間距離關(guān)系可以降低距離求解和覆蓋判定的難度。Ulybyshev基于(,)相平面(也稱為二維圖)分別提出了連續(xù)和非連續(xù)覆蓋Walker星座的構(gòu)型設(shè)計(jì)方法。孟少飛等在其基礎(chǔ)上提出了一種四重覆蓋星座的構(gòu)型設(shè)計(jì)方法。然而這些方法并未采用合理的覆蓋判定準(zhǔn)則，因此所得構(gòu)型的衛(wèi)星數(shù)量將顯著高于實(shí)際需求。李翠蘭等在星座構(gòu)型設(shè)計(jì)時(shí)進(jìn)一步考慮了衛(wèi)星碰撞風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)不同(,)分布下的星座碰撞概率估計(jì)方法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[17]中針對(duì)相平面內(nèi)覆蓋的判定問題進(jìn)行了分析，指出當(dāng)任意緯度目標(biāo)的可視相位范圍在相平面內(nèi)無縫密鋪時(shí)，就表示星座可以連續(xù)覆蓋該目標(biāo)緯度;結(jié)合異軌覆蓋帶相平面映射的特征寬度，就能判定星座在不同緯度處的覆蓋重?cái)?shù)，從而計(jì)算滿足覆蓋需求所需的衛(wèi)星數(shù)量和星座構(gòu)型。

本文將基于覆蓋帶理論提出一種Walker星座的設(shè)計(jì)方法。參考Walker星座的構(gòu)型特點(diǎn)，在(,)相平面內(nèi)分析覆蓋帶拼接結(jié)果與構(gòu)型參數(shù)的關(guān)系，重點(diǎn)解決覆蓋重?cái)?shù)需求為偶數(shù)重時(shí)的構(gòu)型設(shè)計(jì)問題，旨在為低軌星座系統(tǒng)建設(shè)提供參考。

1 同軌覆蓋帶星座設(shè)計(jì)

1.1 問題描述

在設(shè)定軌道高度和傾角后，Walker星座的空間構(gòu)型可以由衛(wèi)星總數(shù)，軌道面?zhèn)€數(shù)以及相位參數(shù)三個(gè)特征參數(shù)表示，其中表征相鄰軌道上兩衛(wèi)星相位之差與2π/的倍數(shù)關(guān)系。記初始時(shí)刻基準(zhǔn)衛(wèi)星的升交點(diǎn)經(jīng)度和緯度幅角分別為(,)，則星座中任意衛(wèi)星的初始相位(,)可以表示為

(1)

式中：int(·)為向下取整函數(shù)；mod(·,·)為求余函數(shù)；=0,…,-1。

如何設(shè)計(jì)Walker星座的構(gòu)型參數(shù),,和軌道傾角，使得星座能在給定單星覆蓋范圍下，利用盡可能少的衛(wèi)星和軌道數(shù)量滿足期望的覆蓋需求，是Walker星座構(gòu)型設(shè)計(jì)所要解決的問題。對(duì)于偶數(shù)重連續(xù)覆蓋的Walker星座，由于軌道升降交點(diǎn)沿赤道均勻分布且每軌衛(wèi)星數(shù)量完全相同，因此處于軌道上行段(衛(wèi)星由南向北運(yùn)行)衛(wèi)星的分布情況與下行段(衛(wèi)星由北向南運(yùn)行)衛(wèi)星完全相同。當(dāng)軌道上行段衛(wèi)星可以滿足期望覆蓋重?cái)?shù)需求的一半時(shí)，另一半覆蓋需求將自然被處于軌道下行段的衛(wèi)星滿足。而奇數(shù)重覆蓋星座需要同時(shí)考慮上下行衛(wèi)星覆蓋性能的疊加，其設(shè)計(jì)思路與偶數(shù)重覆蓋星座存在差異，本文中暫不對(duì)其開展研究。在此可以將偶數(shù)重覆蓋構(gòu)型設(shè)計(jì)問題總結(jié)為，求解構(gòu)型參數(shù),,和傾角，使得星座在衛(wèi)星數(shù)量盡可能少的約束下，軌道上行段衛(wèi)星可以獨(dú)立滿足目標(biāo)區(qū)域一半的連續(xù)覆蓋重?cái)?shù)需求。

傳統(tǒng)覆蓋帶方法主要適用于覆蓋帶由同軌衛(wèi)星覆蓋區(qū)域拼接形成的情況，本節(jié)將首先在這一假設(shè)下研究偶數(shù)重連續(xù)覆蓋Walker星座的構(gòu)型設(shè)計(jì)方法，并在后續(xù)章節(jié)中將結(jié)論進(jìn)行推廣，分析覆蓋帶由不同軌道衛(wèi)星組成時(shí)的通用構(gòu)型設(shè)計(jì)方法。

1.2 覆蓋區(qū)域和覆蓋帶

為設(shè)計(jì)連續(xù)覆蓋星座，首先需要計(jì)算衛(wèi)星對(duì)地覆蓋范圍。假設(shè)地球是半徑為的理想球體，并記衛(wèi)星對(duì)地面可視的最小仰角為，則衛(wèi)星的覆蓋范圍可以視作以星下點(diǎn)為圓心，半球心角為半徑的球面圓形區(qū)域，可根據(jù)衛(wèi)星高度和仰角計(jì)算得到。

(2)

覆蓋帶是由衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域依次相連形成的條帶區(qū)域。文獻(xiàn)[12]中指出，星座連續(xù)覆蓋的必要條件是存在覆蓋帶，即任意衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域都必須與其它衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域存在交集。根據(jù)組成覆蓋帶衛(wèi)星運(yùn)行方向的不同，可以將覆蓋帶分為上行段和下行段。為保證連續(xù)覆蓋，相鄰覆蓋帶間不能存在覆蓋間隙，因此可以給出如圖1所示的覆蓋帶距離關(guān)系。

圖1 覆蓋帶的連續(xù)覆蓋條件Fig.1 Continuous coverage condition for streets of coverage

當(dāng)覆蓋帶由相同軌道衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域組成時(shí)，為避免出現(xiàn)覆蓋間隙，若同軌相鄰衛(wèi)星覆蓋重合區(qū)域半寬度為，則同向運(yùn)行覆蓋帶間的最大球面距離為+，反向運(yùn)行的覆蓋帶最大間距為2。更進(jìn)一步，當(dāng)要求重覆蓋時(shí)，同向覆蓋帶最大間距為+，反向覆蓋帶間最大間距為+。重合區(qū)域?qū)挾?span id="j5i0abt0b" class="subscript">與單軌衛(wèi)星數(shù)量的關(guān)系滿足

(3)

由于相鄰軌道間距隨緯度增加而逐漸減小，同向覆蓋帶在赤道附近距離最遠(yuǎn)。記星座期望覆蓋的緯度范圍為[,]，滿足0≤<≤π2，則當(dāng)兩相鄰?fù)蚋采w帶在和緯度不存在覆蓋間隙時(shí)，在任意緯度∈[,]范圍內(nèi)兩覆蓋帶間的區(qū)域就一定不存在覆蓋間隙。相鄰的反向覆蓋帶出現(xiàn)最大間距的緯度由兩軌道升交點(diǎn)經(jīng)度差所決定，由于本文主要考慮同向覆蓋帶拼接，在此不進(jìn)一步研究。

1.3 同軌覆蓋帶偶數(shù)重覆蓋星座設(shè)計(jì)

為使相鄰?fù)蚋采w帶在緯度不存在覆蓋間隙，需要使一側(cè)覆蓋帶最小寬度與另一側(cè)覆蓋帶最大寬度同時(shí)運(yùn)行到緯度處。以左側(cè)覆蓋帶最寬位置與其右側(cè)覆蓋帶最窄位置拼接為例。當(dāng)覆蓋帶最窄和最寬位置運(yùn)行到目標(biāo)緯度時(shí)，分別對(duì)應(yīng)于左右兩側(cè)軌道的緯度幅角和分別為

(4)

此時(shí)在緯度帶上，兩側(cè)覆蓋帶軌跡與軌道星下點(diǎn)的經(jīng)度差分別為

(5)

由此可以得到滿足連續(xù)覆蓋所需的軌道數(shù)量和衛(wèi)星相位間隔條件

(6)

(7)

式中：Δ=-為相鄰軌道的升交點(diǎn)經(jīng)度差；Δ=-+π為相鄰軌道面上衛(wèi)星的緯度幅角差；int(·)和int(·)分別為向上取整和四舍五入取整函數(shù)。

將同軌覆蓋帶Walker星座的設(shè)計(jì)步驟總結(jié)如下：首先根據(jù)期望覆蓋的緯度范圍[,]和覆蓋半徑估算初始軌道傾角(例如=-2)，隨后根據(jù)式(3)枚舉單軌衛(wèi)星數(shù)量，并計(jì)算不同對(duì)應(yīng)的覆蓋帶寬度。再根據(jù)式(6)～(7)計(jì)算構(gòu)型參數(shù),和總衛(wèi)星數(shù)量=。得到星座構(gòu)型參數(shù)后，根據(jù)星座在緯度和處的覆蓋特性，對(duì)軌道傾角進(jìn)行微調(diào)，使得星座在這兩個(gè)緯度均滿足連續(xù)覆蓋，就基于同軌覆蓋帶完成了偶數(shù)重覆蓋Walker星座的構(gòu)型設(shè)計(jì)。最后可以通過比較不同對(duì)應(yīng)的總衛(wèi)星數(shù)量和覆蓋性能，優(yōu)選出所需衛(wèi)星數(shù)量較少的構(gòu)型設(shè)計(jì)結(jié)果。

2 相平面理論基礎(chǔ)

盡管覆蓋帶與軌道重合的設(shè)計(jì)方法可以滿足一般Walker星座的設(shè)計(jì)需求，但仍存在進(jìn)一步優(yōu)化的可能。若令處于不同軌道面的衛(wèi)星組成覆蓋帶，可以極大地拓寬構(gòu)型設(shè)計(jì)空間，往往能取得更好的設(shè)計(jì)結(jié)果。然而不同軌道面上衛(wèi)星的星間距離將不斷變化，這也會(huì)導(dǎo)致覆蓋帶寬度隨衛(wèi)星運(yùn)行發(fā)生變化，使得相鄰覆蓋帶之間的拼接關(guān)系難以計(jì)算。

考慮到同構(gòu)星座中不同衛(wèi)星軌道參數(shù)的差值近似恒定，因此基于軌道參數(shù)建立相平面能簡(jiǎn)化星間距離和覆蓋區(qū)域幾何關(guān)系的分析。鑒于Walker星座衛(wèi)星分布可以由升交點(diǎn)經(jīng)度和緯度幅角確定，參考文獻(xiàn)[14]，定義本文中所采用相平面的橫軸為，縱軸為，并進(jìn)一步給出衛(wèi)星及其覆蓋區(qū)域空間分布在(,)相平面上的映射關(guān)系。

2.1 覆蓋區(qū)域的相平面映射

為計(jì)算覆蓋區(qū)域的相平面映射結(jié)果，首先給出(,)到經(jīng)緯坐標(biāo)(,)的轉(zhuǎn)換關(guān)系

(8)

式中：arctan(··)定義為值域在[-π,π)上的反正切函數(shù)，其取值由分子和分母的符號(hào)共同確定。

記衛(wèi)星的星下點(diǎn)經(jīng)緯度為(,)，任意地面目標(biāo)經(jīng)緯度為(,)。由球面幾何可知，衛(wèi)星與目標(biāo)所夾球心角滿足

cos=coscoscos(-)+sinsin

(9)

衛(wèi)星的覆蓋區(qū)域即到星下點(diǎn)(,)的球面距離小于衛(wèi)星覆蓋球面半徑的點(diǎn)集?？紤]到覆蓋區(qū)域隨衛(wèi)星運(yùn)行而不斷變化，在判定覆蓋時(shí)更關(guān)心星座對(duì)緯度的覆蓋情況。記可視相位范圍(,)為到(,)球面距離小于的相平面坐標(biāo)集，將式(8)代入式(9)并令=可得

(10)

式中：()=arcsin(sinsin)為星下點(diǎn)緯度。

考慮到三角函數(shù)的多值性，式(10)所得結(jié)果被分為和兩部分,分別對(duì)應(yīng)于可視相位范圍左右兩側(cè)邊界的計(jì)算結(jié)果。所得結(jié)果在(,)相平面內(nèi)圍成了封閉區(qū)域，當(dāng)衛(wèi)星(,)相位位于所圍成區(qū)域內(nèi)時(shí)，就可以覆蓋目標(biāo)(,)。圖2以=60°，=36°時(shí)的可視相位范圍為例，展示了不同緯度對(duì)應(yīng)可視相位范圍的形狀差異。由于同一星下點(diǎn)可能對(duì)應(yīng)于軌道上行和下行段的不同衛(wèi)星，因此可視相位范圍將分為關(guān)于(,)=(-π2,π2)中心對(duì)稱的兩部分區(qū)域。在分析同向覆蓋帶拼接時(shí)，可以僅考慮||≤π2范圍內(nèi)覆蓋區(qū)域的拼接關(guān)系。

圖2 不同φT的可視相位范圍形狀類型Fig.2 Types of access area mapping with different φT

由前述分析可知，通過在相平面內(nèi)拼接緯度=和=處的(,)形狀，就能判定相鄰?fù)蚋采w帶在[,]范圍內(nèi)能否密鋪。因此可以將衛(wèi)星實(shí)際覆蓋區(qū)域的拼接關(guān)系，轉(zhuǎn)化為相平面內(nèi)可視相位范圍的拼接關(guān)系進(jìn)行求解。

2.2 Walker星座覆蓋帶構(gòu)型參數(shù)

基于軌道數(shù)和單軌衛(wèi)星數(shù)=的構(gòu)型參數(shù)只反映了衛(wèi)星數(shù)量沿軌道面的分布，而與星座覆蓋性能無關(guān)。本節(jié)將改進(jìn)傳統(tǒng)構(gòu)型參數(shù)，提出一種描述星座的覆蓋特征的衛(wèi)星分布表征方式。

對(duì)于同構(gòu)星座中相位為(,)和(,)的兩顆衛(wèi)星和，兩星球面距離可以表示為

(11)

(12)

式(12)可進(jìn)一步整理為

(13)

圖3以構(gòu)型(,,)=(36,12,6)，傾角=60°，覆蓋球心角=28.6°的Walker星座為例，給出了到每顆衛(wèi)星最大球心距小于的相位鄰域。將這些區(qū)域依次相連形成覆蓋帶后，記覆蓋帶在(-π,π]區(qū)間內(nèi)跨過縱軸和橫軸的次數(shù)分別為||和，的正負(fù)符號(hào)取決于覆蓋帶斜率，若覆蓋帶與縱軸平行則取=0。定義與的最大質(zhì)因數(shù)為(若=0,則取=)。由此可以將衛(wèi)星的相位分布表示為：

圖3 覆蓋帶構(gòu)型特征參數(shù)示意圖Fig.3 SoC configuration characteristic parameters

(14)

式中：=1,2,…,，=1,2,…,,分別為覆蓋帶組數(shù)和每組覆蓋帶上衛(wèi)星的編號(hào)；Δ=2π, Δ=2π,分別為同組覆蓋帶上相鄰衛(wèi)星的升交點(diǎn)經(jīng)度和緯度幅角差；Δ, Δ為同組覆蓋帶相鄰軌跡上兩顆衛(wèi)星的相位差。

如圖3所示，當(dāng)=1時(shí)，星座中所有衛(wèi)星分布在唯一一組覆蓋帶上。這條覆蓋帶將在穿越(,)相平面橫軸次，縱軸次后回到該組起始衛(wèi)星相位，并留下條橫軸間隔為2π的“軌跡”。定義間隔為2π的兩條軌跡為同組覆蓋帶的相鄰軌跡。假設(shè)覆蓋帶穿越相平面橫軸次后，所得軌跡左側(cè)相鄰于起始覆蓋帶，則滿足：

(15)

為描述≥2時(shí)衛(wèi)星的分布情況，需要在基準(zhǔn)衛(wèi)星:(,)同組覆蓋帶的相鄰軌跡上，額外定義一顆參考衛(wèi)星。記基準(zhǔn)衛(wèi)星右側(cè)相鄰軌跡上第一顆緯度幅角不小于的衛(wèi)星為:(,)。

(16)

當(dāng)≥2時(shí)，在每組覆蓋帶相鄰軌跡間還有-1條其他組覆蓋帶的軌跡。定義其余各組覆蓋帶起始衛(wèi)星相位位于與之間時(shí)，對(duì)應(yīng)構(gòu)型參數(shù)=0。當(dāng)>0時(shí)，其余-1組軌跡的起始衛(wèi)星相位將均勻分布在(,)和(+·Δ,+·Δ)之間。因此可得Δ和Δ為

(17)

與傳統(tǒng)構(gòu)型參數(shù)(,,)相同，在設(shè)定覆蓋帶構(gòu)型參數(shù)(,,,)后，就可以表征Walker星座中所有衛(wèi)星的相位分布。例如在圖3中覆蓋帶共穿越橫軸6次，穿越縱軸3次，覆蓋帶斜率為負(fù)，且各組覆蓋帶的起始衛(wèi)星的相位都分布在相鄰?fù)M覆蓋帶上、兩顆緯度幅角相同的衛(wèi)星和之間。因此該構(gòu)型同時(shí)對(duì)應(yīng)于(,,,)=(36,6,-3,0)的覆蓋帶構(gòu)型參數(shù)。需要注意由于(Δ,Δ)與(Δ,Δ)的選取并不唯一，同一個(gè)Walker星座可能對(duì)應(yīng)于多組不同的覆蓋帶特征參數(shù)。盡管如此，Walker星座仍可以根據(jù)期望的覆蓋帶特性，采用覆蓋帶構(gòu)型參數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

3 異軌覆蓋帶的相平面映射

與同軌衛(wèi)星組成覆蓋帶時(shí)設(shè)計(jì)思路相同，異軌覆蓋帶的理想拼接情況仍是以覆蓋帶最寬處與其相鄰?fù)蚋采w帶最窄處相接，使得兩覆蓋帶的間距最大，從而減少衛(wèi)星數(shù)量。根據(jù)文獻(xiàn)[17]，可以利用特定緯度地面目標(biāo)的可視相位范圍，代替衛(wèi)星覆蓋范圍相連形成覆蓋帶。當(dāng)所得覆蓋帶能在相平面內(nèi)無縫拼接時(shí)，就表示星座能實(shí)現(xiàn)對(duì)該緯度的連續(xù)覆蓋。(,)相平面上覆蓋帶的最大寬度,和最小寬度,，以及理想的拼接情況如圖4所示。

圖4 覆蓋帶寬度和理想拼接情況示意圖Fig.4 SoC width and ideal stitching condition on the phase plane

3.1 異軌覆蓋帶的最大寬度

記=為(,)相平面內(nèi)覆蓋帶的斜率。則當(dāng)目標(biāo)緯度為時(shí)，覆蓋帶的最大寬度可以定義為(,)的軌道上行段映射相位(+,+)，到與(,)上行段可視相位范圍相切且斜率為切線的距離。(+,+)可以根據(jù)式(8)求得。

(18)

(19)

式中：sgn(·)為符號(hào)函數(shù)，并假設(shè)≤90°。

為避免=0時(shí)無法計(jì)算，取覆蓋帶斜率的倒數(shù)1=d/u計(jì)算覆蓋帶的最大寬度。式(10)對(duì)求導(dǎo)可得

(20)

在圖4中，可視相位范圍左右兩側(cè)分別存在斜率等于的切線。記左側(cè)切點(diǎn)為(,)，右側(cè)為(,)，和為滿足：

(21)

通過數(shù)值方法尋找滿足切點(diǎn)斜率為的和，再將所得結(jié)果代入式(10)求出切點(diǎn)的升交點(diǎn)經(jīng)度和，就能計(jì)算出對(duì)應(yīng)于緯度的覆蓋帶左右兩側(cè)的最大寬度和。

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3.2 異軌覆蓋帶的最小寬度

(23)

當(dāng)兩星覆蓋區(qū)域存在交集時(shí)，在星下點(diǎn)連線的左右兩側(cè)均存在一個(gè)交點(diǎn)。記兩側(cè)交點(diǎn)空間矢量為和，則有

(24)

(25)

式中：為到的球面距離，可由式(11)計(jì)算。

(26)

(27)

式中：

(28)

(29)

(30)

同理可得另一側(cè)交點(diǎn)經(jīng)度，在得到交點(diǎn)經(jīng)度和后，就能根據(jù)式(18)和式(19)求解交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的相平面映射坐標(biāo)(,)和(,)。

(31)

如圖4所示，覆蓋帶的最小寬度和分別為兩星覆蓋區(qū)域交點(diǎn)(,)和(,)到相平面內(nèi)兩星(,)與(,)所在覆蓋帶的直線距離，因此有

(32)

鑒于覆蓋重合區(qū)域的交點(diǎn)和寬度求解較為繁瑣，在枚舉構(gòu)型時(shí)可以將覆蓋帶間距和最大寬度和相減計(jì)算出和的最小值，再利用數(shù)值方法計(jì)算最小寬度對(duì)應(yīng)的帶上相鄰衛(wèi)星相位差和衛(wèi)星數(shù)量，進(jìn)而提高構(gòu)型枚舉效率。

4 軌道傾角優(yōu)化

由圖2所示可視相位范圍類型可知，=π2目標(biāo)的可視相位范圍位于=arcsin(cossin)和=π-arcsin(cossin)之間的條帶區(qū)域，為使條帶區(qū)域內(nèi)的衛(wèi)星數(shù)量恒大于期望覆蓋重?cái)?shù)，需要求解Walker星座中緯度幅角=的衛(wèi)星數(shù)量，以及星座中任意兩星緯度幅角的非零最小差值Δ，由構(gòu)型參數(shù)(,,)計(jì)算可得

=gcd(,)

(33)

Δ=·2π

(34)

式中：gcd(·,·)表示和的最大公約數(shù)，則使可視相位范圍條帶內(nèi)衛(wèi)星數(shù)量大于的傾角滿足

(35)

當(dāng)<π2時(shí)需要保證緯度帶上不同經(jīng)度位置均達(dá)到期望的覆蓋重?cái)?shù)，因此軌道傾角很難解析求解。文獻(xiàn)[13]和[15]中均基于二分法給出了傾角的優(yōu)化步驟，但其覆蓋判據(jù)過于嚴(yán)苛，因此本文將根據(jù)覆蓋帶的拼接關(guān)系優(yōu)化傾角的求解。

文獻(xiàn)[18]中給出了星座連續(xù)覆蓋的充分必要條件，若任意兩星覆蓋區(qū)域的交點(diǎn)落在時(shí)，該交點(diǎn)均至少被其它顆衛(wèi)星所覆蓋，則星座連續(xù)重覆蓋緯度。由此判據(jù)可知，的可視相位范圍必須在特定情況下包含+2顆衛(wèi)星，否則無法實(shí)現(xiàn)在緯度的重連續(xù)覆蓋。

考慮到<π2時(shí)可視相位范圍是圖2中的中心對(duì)稱單連通凸區(qū)域，而Walker星座也存在衛(wèi)星(,)相位分布關(guān)于相平面內(nèi)某點(diǎn)中心對(duì)稱的情況。當(dāng)兩者對(duì)稱中心重合時(shí)，的可視相位范圍內(nèi)必須包含+2顆衛(wèi)星才能保證重覆蓋。不失一般性，選取(,)=(0,π2)作為可視相位范圍的對(duì)稱中心，對(duì)應(yīng)于經(jīng)度=π2的地面目標(biāo)。由Walker星座構(gòu)型規(guī)則性可知，將(,)設(shè)置為以下4種情況時(shí)，衛(wèi)星相位分布將關(guān)于(0,π2)中心對(duì)稱:

(36)

以上4種情況分別對(duì)應(yīng)于衛(wèi)星相位、同軌相鄰衛(wèi)星中點(diǎn)相位以及兩類相鄰軌道衛(wèi)星中點(diǎn)相位與(,)重合的情況。由于Walker星座的相平面映射可以視為多個(gè)平行四邊形網(wǎng)格的密鋪，因此以上4種類型包括了所有衛(wèi)星相位關(guān)于可視相位范圍中心中心對(duì)稱的情況。通過判定此情況下到對(duì)稱中心距離最遠(yuǎn)的兩顆衛(wèi)星覆蓋區(qū)域交點(diǎn)處的重合重?cái)?shù)，就能判定出星座在緯度是否滿足重覆蓋。由此可以給出圖5所示基于二分搜索的Walker星座軌道傾角優(yōu)化步驟。

圖5 φmax<π/2時(shí)的軌道傾角優(yōu)化步驟Fig.5 Inclination optimization process when φmax<π/2

5 偶數(shù)重覆蓋Walker星座設(shè)計(jì)步驟

對(duì)于偶數(shù)重覆蓋Walker星座，只需保證同向相鄰覆蓋帶拼接后達(dá)到期望覆蓋重?cái)?shù)的一半，即可滿足設(shè)計(jì)要求。由于最差覆蓋情況僅在期望覆蓋的最低緯度和最高緯度處出現(xiàn)。首先根據(jù)處的可視相位范圍計(jì)算同向覆蓋帶的拼接情況，再根據(jù)星座對(duì)處的覆蓋調(diào)整軌道傾角，就能獲得理想的星座構(gòu)型。如圖6所示，將基于覆蓋帶法的偶數(shù)重連續(xù)覆蓋Walker星座的設(shè)計(jì)步驟總結(jié)如下。

圖6 偶數(shù)重覆蓋Walker星座設(shè)計(jì)步驟Fig.6 Procedure of even-fold coverage Walker constellation design

1)參數(shù)初始化

臨床生化檢驗(yàn)屬于醫(yī)院重要工作內(nèi)容,生化檢測(cè)結(jié)果的準(zhǔn)確性對(duì)診斷和治療疾病產(chǎn)生直接影響[1]。血液樣本溶血是指血液樣本在臨床檢驗(yàn)過程中由各種因素影響導(dǎo)致紅細(xì)胞被破壞,而細(xì)胞內(nèi)物質(zhì)進(jìn)入血清,使得血清呈現(xiàn)出紅色,進(jìn)而影響生化檢驗(yàn)結(jié)果準(zhǔn)確性的醫(yī)學(xué)現(xiàn)象。在當(dāng)下臨床檢驗(yàn)實(shí)踐過程中,若因血液標(biāo)本溶血導(dǎo)致結(jié)果不準(zhǔn)確而引發(fā)的醫(yī)療糾紛,醫(yī)院往往處于被動(dòng)地位,并可能需要承擔(dān)全部責(zé)任,所以臨床上如何避免或預(yù)防血液溶血對(duì)生化檢測(cè)結(jié)果帶來的影響依然是臨床檢驗(yàn)科室面對(duì)的焦點(diǎn)問題[1]。此外臨床對(duì)糾正溶血所產(chǎn)生影響的措施缺少關(guān)注。本研究對(duì)溶血對(duì)生化檢驗(yàn)準(zhǔn)確性影響進(jìn)行分析并總結(jié)相關(guān)應(yīng)對(duì)措施,現(xiàn)將相關(guān)內(nèi)容總結(jié)如下:

首先根據(jù)單星覆蓋范圍和覆蓋需求，粗略估計(jì)軌道傾角，并確定覆蓋帶與相平面橫軸相交次數(shù)，即特征參數(shù)的取值范圍。由式(13)可知，相平面上到衛(wèi)星的最大距離為的相位范圍可以等效為一個(gè)橢圓。因此同向覆蓋帶間的最寬距離不能大于橢圓的長軸，否則相鄰覆蓋帶間的覆蓋區(qū)域不可能存在交集。同時(shí)覆蓋帶間距也不宜太窄，因此令覆蓋帶的最小間距大于橢圓的半短軸，即令覆蓋帶只與相鄰?fù)蚋采w帶的覆蓋區(qū)域存在交集。在輸入單星覆蓋半徑，期望覆蓋重?cái)?shù)以及期望覆蓋的緯度范圍[,]后，可以將初始軌道傾角和構(gòu)型參數(shù)∈[,]的范圍選定如下

=-(2+1)

(37)

(38)

2)設(shè)定覆蓋帶長度和斜率(設(shè)定,,)

由于同向軌道間距隨緯度升高而逐漸減小，因此可以根據(jù)緯度目標(biāo)的可視相位范圍映射形狀，確定覆蓋帶構(gòu)型參數(shù)和的取值范圍。依次枚舉構(gòu)型參數(shù)和，并根據(jù)式(22)計(jì)算出對(duì)應(yīng)不同斜率的覆蓋帶左右兩側(cè)最大寬度和。當(dāng)相鄰?fù)蚋采w帶間距小于+時(shí)，可以通過增加覆蓋帶上衛(wèi)星使相鄰覆蓋帶實(shí)現(xiàn)密接; 反之則表明無論如何增加覆蓋帶上的衛(wèi)星，相鄰覆蓋帶間均會(huì)存在覆蓋間隙。相鄰?fù)蚋采w帶間距需滿足：

(39)

3)計(jì)算覆蓋帶上的衛(wèi)星數(shù)量(計(jì)算)

在確定構(gòu)型特征參數(shù)和后，相平面上的覆蓋帶就被唯一確定，隨后需要計(jì)算使處達(dá)到重覆蓋的衛(wèi)星數(shù)量。在圖4中，當(dāng)?shù)目梢曄辔环秶谝粋?cè)與一條覆蓋帶相切時(shí)，另一側(cè)區(qū)域與相鄰覆蓋帶兩個(gè)交點(diǎn)之間的相位差即為覆蓋帶上相鄰衛(wèi)星的最大相位間隔。隨后根據(jù)這一相位差和覆蓋帶總長度計(jì)算出所需的最少衛(wèi)星數(shù)量。最后，繼續(xù)增加衛(wèi)星數(shù)量，直至覆蓋帶最窄位置被其相鄰覆蓋帶上至少2顆衛(wèi)星覆蓋。

4)傾角優(yōu)化及數(shù)據(jù)更新(優(yōu)化)

以上步驟保證了星座對(duì)于[,]緯度區(qū)間的重連續(xù)覆蓋。由于最高星下點(diǎn)緯度等于軌道傾角，因此對(duì)于緯度高于軌道傾角的區(qū)域，星座覆蓋能力將隨緯度升高而迅速下降。根據(jù)星座對(duì)于緯度的覆蓋性能優(yōu)化軌道傾角,并在優(yōu)化后重新執(zhí)行步驟(3)更新衛(wèi)星數(shù)量，保證緯度處的覆蓋性能不受影響。保存每組構(gòu)型及對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星數(shù)量和軌道傾角，直至所有可行構(gòu)型參數(shù)計(jì)算完成。

6 仿真校驗(yàn)

為驗(yàn)證覆蓋帶方法的可行性，本節(jié)將首先以文獻(xiàn)[4-5]中，由構(gòu)型枚舉法得到的最優(yōu)(相同衛(wèi)星數(shù)量下單星覆蓋半徑最小)Walker星座的單星覆蓋半徑作為覆蓋帶法的設(shè)計(jì)輸入，設(shè)計(jì)并對(duì)比給定覆蓋范圍下的偶數(shù)重連續(xù)覆蓋Walker星座的構(gòu)型結(jié)果。隨后結(jié)合低軌巨型通信星座系統(tǒng)實(shí)例，進(jìn)一步驗(yàn)證所提出方法在星座設(shè)計(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值。

6.1 偶數(shù)重覆蓋星座設(shè)計(jì)結(jié)果

圖7以全球二重覆蓋Walker星座構(gòu)型設(shè)計(jì)為例，對(duì)比了地面仰角=5°約束下三種設(shè)計(jì)方法的耗時(shí)。同軌覆蓋帶星座由于約束了構(gòu)型而不需要進(jìn)行枚舉，因此基本能在10s內(nèi)獲得構(gòu)型設(shè)計(jì)結(jié)果。本文方法需要枚舉覆蓋帶構(gòu)型參數(shù)，因此仿真耗時(shí)略有增加，但仍能在2～4 s內(nèi)完成構(gòu)型計(jì)算。

圖7 各構(gòu)型設(shè)計(jì)方法耗時(shí)對(duì)比Fig.7 Time consuming of the three configuration design methods

參數(shù)枚舉法需要枚舉不同衛(wèi)星數(shù)量下所有可能的軌道和衛(wèi)星相位分布組合，因此方法耗時(shí)將隨衛(wèi)星數(shù)量增加而顯著增加。在衛(wèi)星數(shù)量規(guī)模約為200顆時(shí)，本文方法耗時(shí)僅為構(gòu)型枚舉法的1%，且計(jì)算時(shí)間減少比例會(huì)隨單星覆蓋范圍的減小而進(jìn)一步提高，因此更適用于巨型星座的構(gòu)型設(shè)計(jì)問題。

記枚舉法給定衛(wèi)星數(shù)量為，相同覆蓋范圍約束下采用本文方法和同軌覆蓋帶方法設(shè)計(jì)所得衛(wèi)星數(shù)量結(jié)果分別為和，并分別定義和為枚舉法和同軌覆蓋帶法，與本文方法所得衛(wèi)星數(shù)量誤差的百分比。

=100×(-1)

(40)

=100×(-1)

(41)

圖8和圖9分別給出了不同單星覆蓋范圍下，Walker星座實(shí)現(xiàn)全球二重和四重連續(xù)覆蓋所需的最少衛(wèi)星數(shù)量。由圖可知本文方法所計(jì)算得到的星座構(gòu)型，與枚舉所得最優(yōu)構(gòu)型結(jié)果的衛(wèi)星數(shù)量誤差一般不超過10%。而對(duì)于傳統(tǒng)同軌道覆蓋帶星座，由于其衛(wèi)星總數(shù)必須能被分解為軌道數(shù)及每軌衛(wèi)星數(shù)量的乘積且需要合理分配軌道和衛(wèi)星數(shù)量，因此達(dá)成覆蓋所需的衛(wèi)星數(shù)量將增加約10%到20%。

圖8 全球二重覆蓋星座衛(wèi)星數(shù)量Fig.8 Number of satellites for 2-fold global coverage

圖9 全球四重覆蓋星座衛(wèi)星數(shù)量Fig.9 Number of satellites for 4-fold global coverage

在少部分情況下，覆蓋帶方法所得結(jié)果將優(yōu)于枚舉出的給定衛(wèi)星數(shù)量下最優(yōu)構(gòu)型。這是由于當(dāng)衛(wèi)星總數(shù)為質(zhì)數(shù)時(shí)，只能采用每條軌道一顆衛(wèi)星的構(gòu)型。這種構(gòu)型限制使得衛(wèi)星數(shù)量增加反而可能造成星座覆蓋能力的下降。而采用覆蓋帶法設(shè)計(jì)不需要預(yù)設(shè)衛(wèi)星數(shù)量，因此將直接取得衛(wèi)星數(shù)量更少且衛(wèi)星覆蓋范圍更小的構(gòu)型結(jié)果。

圖10和圖11分別給出了中低緯度及中緯度條帶的構(gòu)型設(shè)計(jì)結(jié)果。當(dāng)覆蓋區(qū)域不包括赤道時(shí)，上下行覆蓋帶的覆蓋性能將相互耦合，因此兩者獨(dú)立滿足一半覆蓋重?cái)?shù)需求的假設(shè)相對(duì)保守。但本文方法與最少衛(wèi)星數(shù)量結(jié)果誤差仍不會(huì)超過10%。

圖10 南北緯65°二重覆蓋星座構(gòu)型結(jié)果Fig.10 Number of satellites for 2-fold 65° S～65° N coverage

圖11 20°N～65°N二重覆蓋星座構(gòu)型結(jié)果Fig.11 Number of satellites for 2-fold 20° N～65° N coverage

6.2 巨型星座系統(tǒng)構(gòu)型設(shè)計(jì)實(shí)例

本節(jié)以亞馬遜公司提出的Kuiper互聯(lián)網(wǎng)星座系統(tǒng)為例，進(jìn)一步驗(yàn)證所提出方法在星座構(gòu)型設(shè)計(jì)領(lǐng)域的應(yīng)用價(jià)值。Kuiper系統(tǒng)規(guī)劃最低工作仰角設(shè)置為35°，由3層高度及傾角不同的Walker星座組成，旨在為全球95%人口所在的南北緯56°之間區(qū)域提供低時(shí)延的入網(wǎng)服務(wù)。經(jīng)過分析，可以確定該系統(tǒng)采用的是以軌道作為覆蓋帶的雙重覆蓋星座構(gòu)型，其構(gòu)型參數(shù)及預(yù)期覆蓋范圍如表1所示。

表1 Kuiper星座系統(tǒng)構(gòu)型及軌道參數(shù)Table 1 Configuration and orbit parameters of the Kuiper constellation

將各批次Kuiper星座系統(tǒng)的軌道和構(gòu)型參數(shù)作為星座構(gòu)型設(shè)計(jì)的輸入，計(jì)算單星覆蓋范圍與各批次條件相同時(shí)，達(dá)成覆蓋需求所需的衛(wèi)星數(shù)量和星座構(gòu)型。表2給出了基于所提出覆蓋帶方法的部分星座構(gòu)型設(shè)計(jì)結(jié)果。

表2 參考Kuiper星座構(gòu)型設(shè)計(jì)結(jié)果示例Table 2 Configuration results referring to the Kuiper constellation

圖12對(duì)比了相同單星覆蓋范圍約束下，所得構(gòu)型與現(xiàn)有Kuiper系統(tǒng)構(gòu)型的最低覆蓋重?cái)?shù)在各緯度的分布。相比于現(xiàn)有構(gòu)型，本文方法可以在最低覆蓋重?cái)?shù)不變的情況下，將覆蓋所需的衛(wèi)星數(shù)量減少約10%?？紤]到衛(wèi)星數(shù)最少的構(gòu)型結(jié)果可能需要過多的軌道數(shù)量，大大增加星座部署和構(gòu)型維持難度。通過在覆蓋帶上增加少量衛(wèi)星，或是選擇次優(yōu)的構(gòu)型可行解，均能在覆蓋特性基本不變的前提下，減少軌道數(shù)量并獲得可行的構(gòu)型設(shè)計(jì)結(jié)果。

圖12 Kuiper與優(yōu)化構(gòu)型的最小覆蓋重?cái)?shù)對(duì)比Fig.12 Minimum coverage folds of Kuiper and modified constellation configuration

值得一提的是，衛(wèi)星數(shù)量和覆蓋性能并非是星座構(gòu)型設(shè)計(jì)所需考慮的唯一因素。星座系統(tǒng)往往為了保證性能余量和抗毀能力，而采用衛(wèi)星數(shù)量稍多，但魯棒性和綜合性能更強(qiáng)的構(gòu)型。在星座構(gòu)型設(shè)計(jì)時(shí)，可以首先采用本文方法計(jì)算滿足覆蓋需求的最少衛(wèi)星數(shù)量，再沿覆蓋帶增加衛(wèi)星，進(jìn)一步提升星座的構(gòu)型魯棒性和降階運(yùn)行能力。

7 結(jié) 論

本文針對(duì)偶數(shù)重連續(xù)覆蓋Walker星座的構(gòu)型設(shè)計(jì)問題，基于覆蓋帶方法改進(jìn)了傳統(tǒng)星座構(gòu)型的表征方式，分析了異軌覆蓋帶相平面映射的寬度特征，并提出了軌道傾角優(yōu)化和構(gòu)型設(shè)計(jì)方法。所提出方法適用于任意衛(wèi)星數(shù)量規(guī)模和緯度覆蓋需求，能有效解決Walker星座的構(gòu)型設(shè)計(jì)問題。仿真實(shí)例表明，該方法所得構(gòu)型與傳統(tǒng)同軌覆蓋帶構(gòu)型相比能減少約10%覆蓋所需的衛(wèi)星數(shù)量，且與滿足覆蓋所需的最少衛(wèi)星數(shù)量相近，并能通過調(diào)整覆蓋帶構(gòu)型參數(shù)進(jìn)一步優(yōu)化構(gòu)型包含的軌道數(shù)量。