布朗運動理論中的反常問題及原因分析

高 宏

(北京市清華大學(xué)，北京 100084)

一、引 言

布朗運動是一種具有連續(xù)時間參數(shù)和連續(xù)狀態(tài)空間的隨機(jī)過程，是刻畫布朗粒子不規(guī)則運動、光纖陀螺隨機(jī)游走誤差和股票價格隨機(jī)波動的重要數(shù)學(xué)工具，在自然科學(xué)、工程技術(shù)和社會科學(xué)領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用1905年，愛因斯坦認(rèn)為布朗粒子的不規(guī)則運動是由于受到大量液體分子的高速碰撞而引起的，并推導(dǎo)出了描述布朗粒子濃度分布規(guī)律的擴(kuò)散微分方程，從理論上證明了布朗粒子濃度分布函數(shù)(,)在時刻服從(0，)正態(tài)分布1923年，維納(Wiener)發(fā)表了關(guān)于布朗運動的研究論文，假設(shè)一個布朗粒子在時刻的位移()也服從與濃度分布函數(shù)(,)相同的正態(tài)分布，并給出了反映布朗運動基本數(shù)量關(guān)系的布朗運動定義，為《隨機(jī)過程》布朗運動理論的建立和發(fā)展奠定了研究方法和基本假設(shè)基礎(chǔ)，因此布朗運動也被稱為維納過程隨著布朗運動理論的廣泛應(yīng)用和現(xiàn)代物理學(xué)實驗手段的不斷進(jìn)步，人們發(fā)現(xiàn)《隨機(jī)過程》布朗運動理論出現(xiàn)了一系列與經(jīng)驗事實不符和邏輯上不能自洽等反常問題本文介紹了布朗運動理論中出現(xiàn)的反常問題，分析了產(chǎn)生反常問題的原因

二、布朗運動定義及性質(zhì)

設(shè)()為一個布朗粒子在時刻的位移(圖1)，(0)=0，定義

(1)()為平穩(wěn)獨立增量過程；

(2)()～(0，)，其中>0為常數(shù)；

(3)()是的連續(xù)函數(shù)

則稱()是參數(shù)為的布朗運動，或維納過程

圖1 布朗粒子位移曲線

《隨機(jī)過程》教科書根據(jù)布朗運動定義，推導(dǎo)出了布朗運動的兩個重要性質(zhì)：

(1)布朗粒子在時刻的位移()服從均值為零、方差為的正態(tài)分布；

(2)布朗粒子瞬時速度無窮大(不存在)，或布朗運動路徑處處不可導(dǎo)

三、反常問題

庫恩在《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》一書中給出了反常問題的定義：反常問題是指能威脅到科學(xué)理論基礎(chǔ)，使科學(xué)理論的客觀真理性和邏輯完備性受到懷疑或被證偽，并引起科學(xué)危機(jī)和導(dǎo)致科學(xué)理論范式轉(zhuǎn)換的科學(xué)問題反常問題主要包括以下三個方面

(一)理論內(nèi)部邏輯上不能自洽

科學(xué)理論是具有一定邏輯結(jié)構(gòu)的理論系統(tǒng)，是由一系列概念、判斷和推理組成的邏輯演繹體系，必然要求理論內(nèi)部在邏輯上自洽一旦科學(xué)理論內(nèi)部出現(xiàn)自相矛盾的邏輯悖論，則表明該理論的邏輯完備性遭到破壞，在邏輯上被證偽數(shù)學(xué)史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)都是由于邏輯悖論的發(fā)現(xiàn)而直接導(dǎo)致的

設(shè)為布朗運動首中時(布朗粒子首次到達(dá)圖1中位置的時間)，則首中位置()=為常數(shù)

根據(jù)布朗運動定義()～(0，)的性質(zhì)，()的數(shù)學(xué)期望和方差分別為

[()]=0

(1)

[()]=

(2)

但是，根據(jù)()=，可分別計算出()的數(shù)學(xué)期望和方差為

[()]=[]=

(3)

[()]=[]=0

(4)

顯然，根據(jù)首中位置()=計算出的數(shù)學(xué)期望和方差與布朗運動定義給出的數(shù)學(xué)期望和方差相互矛盾

(二)理論與經(jīng)驗事實不符

科學(xué)理論是反映人類對自然界本質(zhì)特征及規(guī)律的系統(tǒng)化知識體系，科學(xué)理論最本質(zhì)的特征是其客觀真理性，它要求科學(xué)理論必須要正確地反映客觀事物的本質(zhì)及其規(guī)律性如果科學(xué)理論中的可檢驗結(jié)論與實驗檢驗結(jié)果不符，則表明該理論被實驗檢驗證偽

1位移正態(tài)分布性質(zhì)與客觀事實不符

《隨機(jī)過程》布朗運動理論假設(shè)布朗粒子在時刻的位移()服從(0，)正態(tài)分布，則圖1所示的布朗粒子位移曲線應(yīng)具有如下兩個正態(tài)分布的重要特征：

對稱性：絕對值相等的正、負(fù)位移值出現(xiàn)的次數(shù)大致相等

集中性：絕大多數(shù)位移值聚集在均值(原點)附近

但是，圖1所示的布朗粒子位移曲線既不存在正態(tài)分布的對稱性，也不滿足正態(tài)分布的集中性，因此，《隨機(jī)過程》布朗粒子位移服從正態(tài)分布的假設(shè)與客觀事實完全不符

2瞬時速度無窮大(處處不可導(dǎo))與物理學(xué)實驗不符

《隨機(jī)過程》教科書根據(jù)“布朗粒子位移服從正態(tài)分布”的假設(shè)，推導(dǎo)出了布朗粒子瞬時速度無窮大(不存在)或布朗運動路徑處處不可導(dǎo)的結(jié)論

2010年，美國得克薩斯大學(xué)的李統(tǒng)藏地利用激光光鑷技術(shù)首次實驗測量到了布朗粒子的瞬時速度，實驗結(jié)果表明，布朗粒子的瞬時速度是均值為零的不相關(guān)白噪聲，布朗粒子的瞬時速度(導(dǎo)數(shù))不僅存在，而且可觀測，直接顛覆了《隨機(jī)過程》教科書布朗粒子瞬時速度無窮大(不存在)和布朗運動路徑處處不可導(dǎo)的錯誤結(jié)論，同時也證明了“布朗粒子位移服從正態(tài)分布”的假設(shè)不能成立

事實上，根據(jù)愛因斯坦布朗運動理論中的“同一個布朗粒子在不同微小時間間隔中的運動相互獨立”假設(shè)，直接就可得出“布朗粒子瞬時速度為零均值不相關(guān)白噪聲”的結(jié)論

(三)應(yīng)用導(dǎo)致金融危機(jī)

1965年，美國第一位獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎的著名經(jīng)濟(jì)學(xué)家薩繆爾森(Samuelson)，根據(jù)《隨機(jī)過程》布朗粒子位移服從正態(tài)分布的錯誤假設(shè)，建立了描述股票價格隨機(jī)波動現(xiàn)象的幾何布朗運動模型

1970年，布萊克(Black)和斯科爾斯(Scholes)基于薩繆爾森的幾何布朗運動模型，推導(dǎo)出了著名的B-S期權(quán)定價公式.由于B-S期權(quán)定價公式為股票、債券、貨幣、商品等金融衍生產(chǎn)品的定價提供了數(shù)學(xué)工具，B-S期權(quán)定價公式迅速被廣泛應(yīng)用于金融市場，直接導(dǎo)致了“第二次華爾街?jǐn)?shù)學(xué)革命”，使金融市場獲得了空前規(guī)模的發(fā)展.1997年，斯科爾斯因此獲得了第二十九屆諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎，布萊克不幸英年早逝，沒有與斯科爾斯一起領(lǐng)獎.

由于幾何布朗運動模型與實際股票價格波動現(xiàn)象和運行趨勢嚴(yán)重不符，導(dǎo)致-期權(quán)定價公式成為造成 1987、1997 和 2007 年三次重大金融危機(jī)的罪魁禍?zhǔn)?/p>

被譽(yù)為“中國金融數(shù)學(xué)開創(chuàng)者”、獲得2020未來科學(xué)大獎“數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)獎”的彭實戈院士，在《中國基礎(chǔ)研究發(fā)展報告(2019年)》第二章中國數(shù)學(xué)前沿進(jìn)展中明確指出：B-S 期權(quán)定價理論是造成以前歷次重大金融危機(jī)的關(guān)鍵性原因.

英國著名數(shù)學(xué)家斯圖爾特(Stewart)在《改變世界的17個方程》書中寫道：B-S期權(quán)定價公式改變了世界，它不僅創(chuàng)造了一個金額難以估計的產(chǎn)業(yè)，而且也造成了人類歷史上最大的金融體系崩潰.

暢銷書《黑天鵝》作者塔勒布(Taleb)在《金融時報》上發(fā)表了題為“破壞市場的偽科學(xué)”專欄文章，對金融數(shù)學(xué)進(jìn)行了嚴(yán)厲的批判：人們從一次又一次的金融危機(jī)中得出了“金融數(shù)學(xué)的有效性與占星術(shù)一樣不靠譜”和“金融數(shù)學(xué)通過創(chuàng)造風(fēng)險來危害金融系統(tǒng)”的結(jié)論.塔勒布痛斥金融數(shù)學(xué)理論獲得諾貝爾獎不僅是對科學(xué)的侮辱，而且一直使金融體系面臨崩潰的風(fēng)險.

四、原因分析

(一)物理概念錯誤

愛因斯坦認(rèn)為布朗粒子的不規(guī)則運動是由于受到大量液體分子的連續(xù)隨機(jī)碰撞造成的，并假設(shè)“同一布朗粒子在不同時間間隔中的運動相互獨立”和“不同布朗粒子之間的運動互不相關(guān)”，推導(dǎo)出了布朗運動擴(kuò)散微分方程

式中(,)為布朗粒子的濃度分布函數(shù)，為擴(kuò)散系數(shù)

布朗運動擴(kuò)散方程的歸一化解析解為：

(6)

顯然，布朗粒子在擴(kuò)散過程中的濃度分布函數(shù)(,)服從正態(tài)分布，有

(,)～(0，)

(7)

式中=2

維納在研究單個布朗粒子的運動規(guī)律時，將描述大量布朗粒子濃度分布規(guī)律的正態(tài)分布抽象為一個布朗粒子的位移變化規(guī)律，并定義布朗粒子在時刻的位移

()～(0，)

(8)

布朗運動定義是對現(xiàn)實世界布朗運動基本數(shù)量關(guān)系的反映，也是建立布朗運動理論的邏輯起點(基本假設(shè)、基本原理或基本公理)維納將大量布朗粒子的濃度分布規(guī)律等同于單個布朗粒子的位移變化規(guī)律，導(dǎo)致建立布朗運動理論的邏輯基礎(chǔ)與客觀事實不符，因此從布朗運動定義出發(fā)推演出的布朗運動理論必然無法正確描述布朗運動現(xiàn)象及規(guī)律

(二)數(shù)學(xué)抽象錯誤

數(shù)學(xué)抽象是指從現(xiàn)實世界中提取出研究對象的數(shù)量關(guān)系、空間形式及變化規(guī)律，并用數(shù)學(xué)符號表示為數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)模型，從而可用數(shù)學(xué)語言來刻畫客觀世界的本質(zhì)屬性與內(nèi)在規(guī)律在特定的語境中，數(shù)學(xué)抽象有時是指“抽象的結(jié)果”，有時是指“抽象的過程”或“抽象的方法”

《牛頓力學(xué)》和《隨機(jī)過程》均以質(zhì)點作為研究對象《牛頓力學(xué)》將質(zhì)點位移與時間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為時間函數(shù)()，而《隨機(jī)過程》卻將質(zhì)點位移與時間之間的數(shù)量關(guān)系抽象為隨機(jī)變量()

雖然《隨機(jī)過程》使用時間函數(shù)符號()來表示隨機(jī)變量，但隨機(jī)變量()并不是時間的函數(shù)，它實質(zhì)上是定義在樣本空間上的單值函數(shù)，是樣本點的函數(shù)

樣本空間映射的是隨機(jī)試驗所有可能結(jié)果構(gòu)成的集合，因此隨機(jī)變量()在時刻有多個或無窮多個取值，而時間函數(shù)()在時刻只有唯一一個取值時間函數(shù)()和隨機(jī)變量()的區(qū)別及所描述的物理對象見表1

表1 時間函數(shù)和隨機(jī)變量的區(qū)別

從表1可以看出，時間函數(shù)和隨機(jī)變量是兩種內(nèi)涵與外延完全不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，對應(yīng)于完全不同的物理對象時間函數(shù)用來描述單個質(zhì)點的位移隨時間變化過程，隨機(jī)變量用來描述所有質(zhì)點在時刻的空間位置分布狀態(tài)

事實上，根據(jù)隨機(jī)過程定義，一個隨機(jī)運動的質(zhì)點在時刻的位移()是固定時的隨機(jī)過程(,),亦即樣本函數(shù)()或樣本軌道()，而樣本函數(shù)本身就是時間函數(shù)《隨機(jī)過程》教科書將質(zhì)點在時刻的位移()錯誤地抽象為隨機(jī)變量，導(dǎo)致《隨機(jī)過程》研究對象無形中從單個質(zhì)點改變?yōu)橘|(zhì)點集合，建立的理論必然與客觀事實不符，無法正確描述單個布朗粒子運動現(xiàn)象及規(guī)律

(三)邏輯錯誤

數(shù)學(xué)以邏輯推理的嚴(yán)密性著稱為了保證數(shù)學(xué)理論的確定性、無矛盾性和明確性，在運用概念、做出判斷、進(jìn)行推理的數(shù)學(xué)思維過程中，必須要遵循同一律、矛盾律、排中律和充足理由律這四個邏輯思維基本規(guī)律但是，《隨機(jī)過程》教科書中卻出現(xiàn)了一系列違反同一律和矛盾律的邏輯錯誤

同一律是指在同一數(shù)學(xué)思維過程中，所使用數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延必須要與其自身始終保持同一如果在同一數(shù)學(xué)思維過程中，把兩個完全不同的數(shù)學(xué)概念混為一個概念，就會違反同一律，犯“混淆概念”或“偷換概念”的邏輯錯誤，必然會導(dǎo)致推導(dǎo)出的結(jié)論在邏輯上不能自洽

矛盾律是指在同一數(shù)學(xué)思維過程中，兩個不同的數(shù)學(xué)概念不能反映同一對象如果用兩個不同的數(shù)學(xué)概念描述同一對象，就會出現(xiàn)違反矛盾律的邏輯錯誤，必然會導(dǎo)致邏輯矛盾或邏輯悖論的產(chǎn)生

以布朗運動定義為例，分析《隨機(jī)過程》教科書中的邏輯錯誤(表2)定義是通過簡明陳述來揭示概念內(nèi)涵或解釋命題的邏輯方法，布朗運動定義中的被定義項()為時間函數(shù)，但是布朗運動定義中的定義項卻用隨機(jī)變量和時間函數(shù)這兩個定義域和值域完全不同的數(shù)學(xué)概念來描述同一個布朗粒子在同一時刻的位移，從而出現(xiàn)了違反同一律和矛盾律的邏輯錯誤由于隨機(jī)變量和時間函數(shù)在同一時刻的數(shù)學(xué)期望和方差完全不同，因此必然會導(dǎo)致《隨機(jī)過程》布朗運動理論產(chǎn)生邏輯悖論，在邏輯上不能自洽

表2 布朗運動定義中邏輯錯誤分析

《隨機(jī)過程》布朗運動理論是以布朗運動定義作為其邏輯出發(fā)點(基本原理、基本公理或基本定律)，按照一定的邏輯規(guī)則推演出來的一系列邏輯結(jié)論布朗運動定義中的邏輯錯誤，導(dǎo)致《隨機(jī)過程》布朗運動理論的邏輯完備性在邏輯出發(fā)點就遭到顛覆式破壞

五、結(jié)論

本文對《隨機(jī)過程》布朗運動理論中出現(xiàn)的“理論與經(jīng)驗事實不符”“邏輯上不能自洽”“應(yīng)用導(dǎo)致金融危機(jī)”等反常問題進(jìn)行了介紹，詳細(xì)分析了導(dǎo)致《隨機(jī)過程》布朗運動理論產(chǎn)生反常問題的物理概念錯誤、數(shù)學(xué)抽象錯誤和邏輯錯誤《隨機(jī)過程》布朗運動理論出現(xiàn)一系列的反常問題，表明布朗運動理論的客觀真理性和邏輯完備性被證偽，預(yù)示著布朗運動理論將面臨庫恩在《科學(xué)革命的結(jié)構(gòu)》書中所描寫的重大范式轉(zhuǎn)換，《隨機(jī)過程》教科書中原有的錯誤方法和錯誤理論將會被新方法和新理論所取代，為中國的隨機(jī)過程學(xué)科進(jìn)入世界一流前列提供了千載難逢的歷史性發(fā)展機(jī)遇