品數(shù)學(xué)文化 探微課教學(xué)
——以“趙爽弦圖”為例

黃麗娟

(福建省莆田市城廂區(qū)霞林學(xué)校，福建 莆田 351100)

一、背景介紹

“趙爽弦圖”被譽(yù)為中國(guó)數(shù)學(xué)界的圖騰，2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，就以此為會(huì)徽，足以見得它的完美趙爽是三國(guó)時(shí)期非常有名的數(shù)學(xué)家，他大約在222年的時(shí)候深入研究了《周髀算經(jīng)》，書中的一段530余字的“勾股圓方圖”(后稱“趙爽弦圖”，其簡(jiǎn)圖如圖1)注文是數(shù)學(xué)史上極有價(jià)值的文獻(xiàn)，這個(gè)注文也讓趙爽對(duì)勾股定理產(chǎn)生新的證明方法

圖1

這個(gè)新的證明方法是這樣表述的：弦圖(如圖1)，又可以勾、股相乘為朱實(shí)二，倍之為朱實(shí)四；以勾、股之差自相乘為中黃實(shí)；加差實(shí)，亦成弦實(shí)趙爽的這個(gè)證明可謂別具匠心，他通過幾何的拼、補(bǔ)、割，證明代數(shù)之間的恒等關(guān)系，既具嚴(yán)密性又具直觀性，為中國(guó)古代以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一，讓代數(shù)和幾何緊密結(jié)合樹立了一個(gè)典范

二、中考鏈接

近年來，中考與“趙爽弦圖”有著千絲萬縷的聯(lián)系，各地市的考試也都能找到“趙爽弦圖”的影子

【典型例題A層】

(2018·莆田)如圖2，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間陰影部分是一個(gè)小正方形，這樣就組成一個(gè)“趙爽弦圖”，若=5，=4，則正方形的面積為________

圖2

小結(jié)：(如圖3)

圖3

勾股定理：=+,=-,

正方形==+,

正方形=(-)，

4△=正方形-正方形=-(-)=+-(-)=2

【A層變式】

1(2020·寧夏)2002年8月，在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》(如圖4所示)，其中大正方形的面積是15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊長(zhǎng)為，較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為如果將四個(gè)全等的直角三角形按如圖5所示的形式擺放，那么圖5中最大正方形的面積為________

圖4

圖5

2如圖6所示，2002年8月在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由4個(gè)直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形最小的銳角為，大正方形的面積為25，小正方形的面積為1，則cos=________

圖6

小結(jié)：變式的兩道題都可以通過前面的小結(jié)進(jìn)行解題，在講解這兩道題時(shí)可以從兩個(gè)不同角度進(jìn)行引導(dǎo)，其中第1題從已知條件出發(fā)，第2題則是從問題出發(fā)，讓學(xué)生體驗(yàn)“逆向思維”的美妙

【典型例題B層】

圖7

思路分析：

本道例題可以一題多解，結(jié)合本題的題型特征，方法一，可以采用選擇題中較為常用的賦值法，如設(shè)題目中涉及的線段為單位“1”，再結(jié)合相似求出它們的面積比；方法二，結(jié)合弦圖模型面積相等的關(guān)系，再結(jié)合三角形相似求得面積之比；方法三，可以直接通過正方形的性質(zhì)，全等三角形等幾何圖形的相關(guān)知識(shí)，求出面積比

【典型例題C層】

如圖8所示，正方形的邊長(zhǎng)為10，==8,==6,連接,則線段的長(zhǎng)為________

圖8

【C層變式】

圖9

小結(jié)：在解決正方形問題時(shí)，分析已知條件，再結(jié)合“趙爽弦圖”的結(jié)構(gòu)特征，通過補(bǔ)全“趙爽弦圖”進(jìn)行解題，能夠?yàn)槲覀兊慕忸}帶來便捷

三、實(shí)踐思考

(一)尊重學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，關(guān)注數(shù)學(xué)問題的變式

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過，“問題是數(shù)學(xué)的心臟”在本微課中，教師結(jié)合學(xué)生接受問題的難易程度，設(shè)置了A，B，C三個(gè)層面的問題，這三層的問題由淺入深、層層遞進(jìn)，設(shè)置問題時(shí)有意識(shí)地讓問題起點(diǎn)低，入口寬，同時(shí)在合適的時(shí)候?qū)栴}進(jìn)行相應(yīng)的變式，以求一題多變，提升學(xué)生的思維在設(shè)計(jì)本微課時(shí)，教師考慮到“趙爽弦圖”是在勾股定理的證明時(shí)引入的，由等積法作為鋪墊，學(xué)生在此前已有一定的邏輯基礎(chǔ).因此，在尊重學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的前提下，A層問題主要考查“趙爽弦圖”中的面積問題，在知識(shí)生成部分，教師可對(duì)例題進(jìn)行適當(dāng)?shù)膯栴}變式，幫助學(xué)生建立知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)散學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的思維品質(zhì).最后的C層題目中是在原有例題的基礎(chǔ)上進(jìn)行合理的變式，這樣處理的目的是打破學(xué)生思維的平衡，引起學(xué)生適當(dāng)?shù)慕箲]，刺激學(xué)生努力去思考問題，如果學(xué)生有障礙，就有了繼續(xù)觀看下去的內(nèi)驅(qū)力.

(二)構(gòu)建邏輯連貫，走出思維迷宮

著名數(shù)學(xué)家龐加萊這樣說道：“邏輯用于證明，直覺用于發(fā)明”趙爽為了證明勾股定理，進(jìn)行了一系列的變換他的證明之巧，心思之細(xì)膩無與倫比本微課在勾股定理的論證方面不予累贅，在微課中通過一系列的習(xí)題展示數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S微課中三個(gè)層面的習(xí)題先由最簡(jiǎn)單的直接套用公式，再到有弦圖的模型，結(jié)合相似等知識(shí)進(jìn)行鞏固，最后撤掉弦圖的模型，需要自己添加輔助線構(gòu)造模型，以此來達(dá)到由淺入深、深入淺出的效果在這幾個(gè)層面的習(xí)題設(shè)置時(shí)始終貫串“趙爽弦圖”這根主線

微課中的B層習(xí)題有意識(shí)地引入前年的一道中考真題，本道真題采用一題多解，目的就是培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性.本題乍看圖形不簡(jiǎn)單，沒有已知相關(guān)的數(shù)據(jù)，后面要求的是兩個(gè)正方形的面積之比.同學(xué)們的常規(guī)思維會(huì)去求相應(yīng)的邊長(zhǎng)，再結(jié)合面積公式求解，朝著這個(gè)方向走下去會(huì)走進(jìn)“思維迷宮”.為了有效避免這種情況，微課中結(jié)合題型特征，以及前面“趙爽弦圖”圖形結(jié)構(gòu)特征的鋪墊，講解時(shí)先由學(xué)生慣性思維“想知道邊長(zhǎng)又不懂得”，借勢(shì)引入了賦值法，再結(jié)合三角形相似求出相應(yīng)邊長(zhǎng)間的比例，最后結(jié)合“趙爽弦圖”中面積的特征順利解出二者的面積之比.

C層的例題是在前面兩個(gè)層面例題的基礎(chǔ)上在思維層面有所提升.在解決部分正方形問題時(shí)，學(xué)生需要在深刻理解“趙爽弦圖”的模型下，利用“趙爽弦圖”結(jié)構(gòu)本身的特殊性，通過補(bǔ)全弦圖進(jìn)行解答，從而使問題得以快速解決.當(dāng)然，在錄制完本微課時(shí)，筆者自認(rèn)為在講解C層例題時(shí)思維的引導(dǎo)還是不夠，對(duì)于怎樣想到添加輔助線，構(gòu)造“趙爽弦圖”解題，為什么要這么操作的講解還是不夠細(xì)致，若在這方面思維引導(dǎo)得更加到位，效果應(yīng)該會(huì)更好.

(三)微課教學(xué)與數(shù)學(xué)文化齊飛

數(shù)學(xué)，顯性的是知識(shí)、模型和邏輯，隱性的是思想與方法，其背后蘊(yùn)含的是豐富多彩的數(shù)學(xué)文化本微課最大的亮點(diǎn)是對(duì)數(shù)學(xué)文化的滲透，開始時(shí)教師先介紹高考考試大綱對(duì)數(shù)學(xué)文化的重視，由此讓學(xué)生對(duì)考綱有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)同時(shí)，為了讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵，引領(lǐng)學(xué)生走上數(shù)學(xué)大道，微課中詳細(xì)介紹了趙爽相關(guān)信息正如張奠宙先生所說過的，“當(dāng)我們真正地把數(shù)學(xué)文化的魅力滲入教材、到達(dá)課堂、融入教學(xué)時(shí)，數(shù)學(xué)就會(huì)更加平易近人，讓大家通過文化層面易于理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)”美中不足的是本微課除了直觀呈現(xiàn)“趙爽弦圖”之外，在現(xiàn)代信息技術(shù)方面的應(yīng)用應(yīng)該繼續(xù)深挖

四、結(jié)束語(yǔ)

“趙爽弦圖”作為中國(guó)數(shù)學(xué)界的圖騰，經(jīng)典且久遠(yuǎn)本節(jié)微課通過一題多變，一題多解，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、從特殊到一般等常見的數(shù)學(xué)思想，感受到邏輯思維、圖形幾何直觀、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)這些都是課程改革中強(qiáng)調(diào)需要具備的素養(yǎng)，因此，我們要好好欣賞“趙爽弦圖”，提升數(shù)學(xué)文化底蘊(yùn)