探究一道以拋物線為背景的角度問(wèn)題

重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 (400039) 李小燕

一、試題與分析

已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線l交x軸于點(diǎn)K，過(guò)F作傾斜角為α的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若∠AKB=60°，求sinα的值.(佛山市2021屆高三一模15題)

分析：本題有一個(gè)隱藏考點(diǎn)，射線Kx為∠AKB的角平分線(即kKA+kKB=0).其次則是研究sinα與∠AKB的關(guān)系.其中關(guān)于隱藏考點(diǎn)，在2015年全國(guó)Ⅰ卷的第20題中便考過(guò)類似的性質(zhì)，該題目為：

對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)模擬題中的結(jié)論更加特殊化，而2015年的試題更具一般性.

二、解法呈現(xiàn)

現(xiàn)將原問(wèn)題分解成兩個(gè)步驟完成，一是隱含的考點(diǎn)，即kKA+kKB=0；二是sinα與∠AKB的關(guān)系.關(guān)于第1個(gè)考點(diǎn)，解法如下：

圖1

如何利用該方式進(jìn)行一般化證明呢？上述問(wèn)題的一般化形式為：已知拋物線C:y2=2px(p>0)，直線l:x=-a交x軸于點(diǎn)K，過(guò)P(a,0)作傾斜角為α的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，則有射線Kx軸為∠AKB的角平分線(該問(wèn)題即為2015年試題，僅拋物線的開口方向不同).

為了解決該問(wèn)題，本文先介紹一下極點(diǎn)極線[1]的相關(guān)定義及性質(zhì).

極點(diǎn)極線的幾何定義[2]點(diǎn)P是不在圓錐曲線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn)E,F,G,H，連接EH，F(xiàn)G交于N，連接EG，F(xiàn)H交于M，則直線MN為點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的極線.

圖2

圖3

該方法可直接遷移至其他圓錐曲線，例如2018年全國(guó)Ⅰ卷第19題[4]便是該性質(zhì)在橢圓中的應(yīng)用.

圖4

三、變式拓展

根據(jù)上述的分析，對(duì)于一般的極點(diǎn)與極線都有相關(guān)的結(jié)論.為此，現(xiàn)將原問(wèn)題作如下變形：

圖5