對(duì)一道?？碱}的多解探究與通法總結(jié)

安徽省蕪湖市第一中學(xué) (241000) 劉海濤

《高考評(píng)價(jià)體系》指出：高考要從“知識(shí)立意”轉(zhuǎn)向“能力立意”，考查學(xué)生的“關(guān)鍵能力”和“核心素養(yǎng)”.這就要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決問(wèn)題，達(dá)到從“解題”向“解決問(wèn)題”的轉(zhuǎn)變.在解析幾何問(wèn)題中，有一類(lèi)問(wèn)題結(jié)構(gòu)上為關(guān)于兩變量(x1,x2或y1,y2)的非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，無(wú)法直接利用韋達(dá)定理代入計(jì)算，如何處理呢？筆者從一道模考題出發(fā)，總結(jié)該類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)模型，并給出處理策略，以幫助讀者在高考備考中掌握該類(lèi)問(wèn)題的模式化解題策略，現(xiàn)與讀者交流.

1 問(wèn)題呈現(xiàn)與分析

題1 已知圓O：x2+y2=8，點(diǎn)M,M′的坐標(biāo)分別為(2,0),(-2,0)，以MN為直徑的圓內(nèi)切于圓O，記點(diǎn)N的軌跡為曲線(xiàn)C.

(1)求曲線(xiàn)C的方程；

2 解法探究

3 通性通法的總結(jié)

通過(guò)上述解答，我們初步了解了對(duì)于一類(lèi)非對(duì)稱(chēng)型結(jié)構(gòu)的處理方法，筆者通過(guò)閱讀文獻(xiàn)[1],發(fā)現(xiàn)其對(duì)該類(lèi)問(wèn)題的總結(jié)仍不夠全面，現(xiàn)筆者將圓錐曲線(xiàn)中常見(jiàn)的關(guān)于變量(x1,x2或y1,y2)的非對(duì)稱(chēng)型結(jié)構(gòu)，及其處理策略總結(jié)如下.

類(lèi)型2 對(duì)于px1+qx2+r=0(p≠q)的結(jié)構(gòu)，有以下五種處理策略：

①直接利用方程的求根公式得出x1,x2，代入計(jì)算；

②結(jié)合韋達(dá)定理的兩根和表達(dá)式，聯(lián)立方從解出x1,x2，再代入兩根積式計(jì)算；

③綜合方法①和②，將關(guān)于x1的兩個(gè)表達(dá)式聯(lián)立成等式；

4 變式遷移

(1)求橢圓C的方程；

5 反思總結(jié)

5.1 一題多解，提高解題能力

5.2 總結(jié)通法，形成模式化解題策略

通過(guò)分析、對(duì)比、歸納，概括出一類(lèi)問(wèn)題的共同特點(diǎn)，依此特點(diǎn)制定規(guī)范的解題步驟，形成模式化解題策略，這樣就可以教會(huì)學(xué)生處理同類(lèi)問(wèn)題的通解通法，避免題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)效率[3].筆者總結(jié)了解析幾何中常見(jiàn)的三類(lèi)非對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，對(duì)于類(lèi)型1，構(gòu)造倒數(shù)和加2的表達(dá)式，即可得到對(duì)稱(chēng)式；對(duì)于類(lèi)型2，總結(jié)了5種處理策略，前3種策略起點(diǎn)低但運(yùn)算量大，后兩種思維起點(diǎn)高，技巧性強(qiáng)，但運(yùn)算量小；對(duì)于類(lèi)型3，仔細(xì)觀察“x1+x2”與“x1x2”的結(jié)構(gòu)，配湊出兩者間的恒等式，代入即可得到結(jié)果.通過(guò)變式問(wèn)題的訓(xùn)練，將方法進(jìn)行遷移，強(qiáng)化一類(lèi)典型問(wèn)題的模式化解題思維，這樣，我們?cè)趯W(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，掌握基本技能的同時(shí)，可以有效鍛煉思維的深刻性、廣闊性、靈活性和創(chuàng)新性，達(dá)到舉一反三、融會(huì)貫通的解題水平和能力，提高自身的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[4].