MPCK視角下新教材“函數(shù)的概念”教學(xué)設(shè)計*

廣東省惠州市惠陽區(qū)第五中學(xué) (516200) 嚴(yán) 婷廣東省惠州市惠陽區(qū)崇雅實驗學(xué)校 (516213) 王瑞生

數(shù)學(xué)概念是人腦對現(xiàn)實對象的數(shù)量關(guān)系和空間形式本質(zhì)特征的一種反映，是一種數(shù)學(xué)思維形式.在實際教學(xué)中，正確理解且靈活運用概念，有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象等核心素養(yǎng)，真正落實“數(shù)學(xué)育人”.基于MPCK視角下的概念教學(xué)，解決了“教什么”“學(xué)什么”以及“怎么教”的問題，是深度學(xué)習(xí)下的有效教學(xué).

1.教材分析

1.1 MK是數(shù)學(xué)學(xué)科知識，是指教師應(yīng)具備的數(shù)學(xué)觀念、學(xué)科內(nèi)容知識、數(shù)學(xué)思想方法以及數(shù)學(xué)史等知識，就是“教什么”的問題.

追本溯源：了解概念的起源、背景及概念引入的必要性.“函數(shù)的概念”教學(xué)中展示生活中各種各樣的運動變化現(xiàn)象，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.讓學(xué)生利用初中的函數(shù)定義判斷“y=2是函數(shù)嗎？”，誘導(dǎo)學(xué)生不僅要關(guān)注對應(yīng)關(guān)系，還要關(guān)注自變量、函數(shù)值的取值范圍.另一方面讓學(xué)生明白之所以要學(xué)習(xí)函數(shù)，是因為函數(shù)是刻畫這些現(xiàn)象運動變化規(guī)律的模型.

由表及里：知曉概念的本質(zhì)、內(nèi)涵和外延，這是講透概念的前提.高中函數(shù)概念的本質(zhì)是非空數(shù)集間的對應(yīng)，而非對應(yīng)關(guān)系的表現(xiàn)形式，所以在選取問題情境時，涉及解析式、圖、表等多種對應(yīng)關(guān)系的呈現(xiàn)形式，讓學(xué)生在“變”中抓住“不變”的本質(zhì).

融會貫通：抓住數(shù)學(xué)概念間的聯(lián)系，掌握數(shù)學(xué)概念體系，幫助學(xué)生建立清晰、完整的知識結(jié)構(gòu).[1]“函數(shù)的概念”教學(xué)中讓學(xué)生利用初中的函數(shù)定義判斷兩個量之間是否為函數(shù)關(guān)系，再通過追問引導(dǎo)學(xué)生不僅要關(guān)注對應(yīng)關(guān)系，還要關(guān)注自變量、函數(shù)值的取值范圍，最后讓學(xué)生用集合與對應(yīng)的語言重新描述一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)的定義，通過這樣一個過程，讓學(xué)生理解初、高中函數(shù)定義的區(qū)別與聯(lián)系，從而完成知識的同化與順應(yīng).

1.2 CK是有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識，是指教師在教學(xué)時應(yīng)考慮到學(xué)生的心理特點、最近發(fā)展區(qū)、學(xué)習(xí)疑難點、學(xué)習(xí)動力、學(xué)習(xí)環(huán)境等多方面，就是“學(xué)什么”的問題.

函數(shù)的概念在初中已經(jīng)認識幾類簡單的初等函數(shù)，對函數(shù)的概念有一定的感性認識.此外，學(xué)生在必修1第一章已經(jīng)學(xué)了集合的知識，這也為本節(jié)課用集合和對應(yīng)的語言描述函數(shù)的概念奠定了基礎(chǔ).但是學(xué)生不明白為什么初中學(xué)了函數(shù)的概念，高中還要利用集合的語言重新定義，而且高一學(xué)生現(xiàn)有的思維水平還不能很好的從具體情境中歸納概括出函數(shù)的精確定義.針對上述學(xué)情分析，將本節(jié)課的教學(xué)難點確定為：從不同情境中提煉出函數(shù)要素，并由此抽象出函數(shù)的概念，理解函數(shù)符號“y=f(x)”的含義.

1.3 PK是一般教學(xué)法知識，它包含教育觀念、教育理論知識、課程知識以及教學(xué)知識這4個維度，主要是“怎么教”的問題.

函數(shù)概念教學(xué)中，首先由具體實例引入，提出問題，通過四個實例探究函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，再由學(xué)生嘗試語言敘述，抽象對應(yīng)關(guān)系、定義域、值域等三要素，類比發(fā)現(xiàn)其共同特征，自主定義函數(shù)的概念，教師用嚴(yán)謹?shù)臄?shù)學(xué)語言歸納出精確定義，形成概念.利用函數(shù)的概念表述一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，進一步掌握概念.在具體的教學(xué)過程中，按照“實例﹣共性一歸納﹣概念—應(yīng)用”的認知規(guī)律呈現(xiàn)概念的形成過程，讓學(xué)生形成新的概念圖式.

2.教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，溫故知新

師生活動：展示火箭升空、水池蓄水、摩天輪旋轉(zhuǎn)、氣溫變化等動態(tài)圖片.

問題1 用函數(shù)運動變化的觀點描述火箭升空.

追問y=2是函數(shù)嗎？

設(shè)計意圖：展示生活中學(xué)生熟悉的變化現(xiàn)象，一方面為了讓學(xué)生感受到函數(shù)在實際生活中的作用，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，并由此讓學(xué)生回顧函數(shù)概念是從運動變化的觀點來描述變量之間的依賴關(guān)系.初中的知識無法回答追問問題，從而激起學(xué)生的求知欲，同時讓學(xué)生感受到初中函數(shù)定義的局限性和高中進一步研究函數(shù)概念的必要性.

2.2 類比分析，建構(gòu)模型

展示教材中四個問題情境

問題2 請用函數(shù)定義的“變量說”描述問題情境1.

追問有人說：“根據(jù)對應(yīng)關(guān)系S=350t，這趟列車加速到350km/h后，運行1h就前進了350km.”你認為這種說法對嗎？

師生活動：教師用集合和對應(yīng)的語言進行示范性描述.

設(shè)計意圖：從MK的角度，高中的函數(shù)定義側(cè)重兩個非空數(shù)集間的對應(yīng)；從CK的角度，學(xué)生能用初中學(xué)過的知識判斷、描述S與t的函數(shù)關(guān)系，但初中更多是強調(diào)變量間的對應(yīng).而且，要讓學(xué)生自主探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)概念的內(nèi)涵及要素是十分困難的，因此這樣設(shè)計既可以讓學(xué)生體會到用集合語言和對應(yīng)關(guān)系重新定義函數(shù)的必要性，又給出了用更高層次的數(shù)學(xué)語言抽象具體問題中對應(yīng)關(guān)系的示范.

師生活動：教師用集合和對應(yīng)的語言進行示范性描述.

問題3 問題情境1和問題情境2中的函數(shù)有相同的函數(shù)關(guān)系，你認為它們是同一個函數(shù)嗎？

設(shè)計意圖：從MK的角度，如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系也完全一致，那么這兩個函數(shù)是同一個函數(shù).雖然兩個問題情境中的對應(yīng)關(guān)系一致，但問題情境1中定義域為{t|0≤t≤0.5}，而問題情境2中定義域為{1,2,3,4,5,6}，定義域不同，所以它們不是同一個函數(shù).從CK的角度，學(xué)生根據(jù)初中的函數(shù)定義可能會認為它們是同一個函數(shù)，所以設(shè)置此問題，一方面為了引導(dǎo)學(xué)生認識到自變量集合中的元素可以是連續(xù)的，也可以是離散的，另一方面，讓學(xué)生進一步體會到函數(shù)的本質(zhì)是兩個數(shù)集的元素之間的對應(yīng)，而用什么符號或形式表示是本質(zhì)的，為后續(xù)歸納概括函數(shù)的本質(zhì)特征奠定基礎(chǔ).

問題4 問題情境3中，當(dāng)t∈{t|0≤t≤24}時，I的取值范圍是B,試用精確的語言描述I與t的對應(yīng)關(guān)系.

追問1 如果I的取值范圍改為B1={I|0

追問2 如果I的取值范圍改為B2={I|0

設(shè)計意圖：從MK的角度，根據(jù)函數(shù)定義，只要對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)即可，其中集合B可以大于或等于函數(shù)值的取值范圍.從CK的角度，學(xué)生在尋找I的范圍時會遇到障礙，導(dǎo)致無法精確描述函數(shù)的定義，故設(shè)置上述問題串幫助學(xué)生突破難點.通過放大或縮小函數(shù)值的取值范圍，引導(dǎo)學(xué)生思考是否符合函數(shù)的定義，旨在讓學(xué)生進一步理解函數(shù)概念的本質(zhì)是對應(yīng)關(guān)系，同時，為后續(xù)讓學(xué)生辨別函數(shù)值所在的集合和值域奠定基礎(chǔ).

問題5 根據(jù)表格給出的對應(yīng)關(guān)系，恩格爾系數(shù)r是年份y的函數(shù)嗎？如果是，請仿照前面的方法給出精確的刻畫.

追問如果B3={r|0

設(shè)計意圖：從CK的角度，通過前面三個問題情境的分析，學(xué)生知道要給出函數(shù)的精確定義，需先找到自變量、函數(shù)值的取值范圍以及對應(yīng)關(guān)系，然后仿造著用集合的語言進行刻畫，但對于用表格表示的對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)關(guān)系的判斷，學(xué)生會存在疑惑.所以設(shè)置上述問題引導(dǎo)學(xué)生思考，教師再適當(dāng)講解，使學(xué)生接受.另外，對于函數(shù)值所在的集合B3合理性的判斷，可再次加深學(xué)生對函數(shù)本質(zhì)特征的理解.

2.3 理解本質(zhì)， 形成概念

問題6 上述4個問題情境中的函數(shù)有哪些共同特征？由此你能概括出函數(shù)的本質(zhì)特征嗎？

設(shè)計意圖：從MK的角度，函數(shù)的共同特征有以下幾點：都包含兩個非空數(shù)集，用A,B表示；都有一個確定的對應(yīng)關(guān)系；盡管對應(yīng)關(guān)系的表示方法不同，但對于數(shù)集A中的任意一個數(shù)x，按照對應(yīng)關(guān)系，在數(shù)集B中都有唯一確定的y與之對應(yīng).從CK的角度，學(xué)生能從這四個具體實例中歸納出函數(shù)的共同特征，但要形成函數(shù)的一般概念還存在一定困難，也難以理解符號f的含義，所以在教學(xué)中，教師可指出除解析式、圖象、表格外，還有其他表示對應(yīng)關(guān)系的方法，為了表示方便，統(tǒng)一用f表示對應(yīng)關(guān)系，從而讓學(xué)生明白引入抽象符號“f:A→B,y=f(x)”的必要性.讓學(xué)生經(jīng)歷從具體實例中歸納、概括出函數(shù)的基本特征，從而用集合與對應(yīng)的語言建立函數(shù)概念的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2.4 前后呼應(yīng)，鞏固概念

問題7y=2是函數(shù)嗎？指出定義域，值域？

設(shè)計意圖：從CK的角度，學(xué)生經(jīng)歷了概念的形成過程后，可判斷出y=2是函數(shù)，它的定義域是R，值域是{2}.用剛學(xué)的知識解決課前提出的問題，首尾呼應(yīng)，可讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.同時，幫助學(xué)生鞏固函數(shù)的定義及三要素.

問題8 請用函數(shù)的定義重新認識一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)，如何表述這些函數(shù)？

設(shè)計意圖：從CK的角度，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一次函數(shù)、二次函數(shù)，知道自變量和函數(shù)值的取值范圍，有利于用集合的語言重新描述函數(shù)定義，但在確定反比例函數(shù)的值域時，還存在一定困難，所以教師可先用一次函數(shù)作示范，再引導(dǎo)學(xué)生重新描述二次函數(shù)和反比例函數(shù)，以此來檢驗學(xué)生是否學(xué)會用集合和對應(yīng)的語言描述函數(shù)關(guān)系，從而讓學(xué)生在用新知識解釋舊問題的過程中，明確概念的內(nèi)涵，進一步體會初高中函數(shù)定義的異同，建立新舊知識的聯(lián)系.

問題9 試構(gòu)建一個問題情境，使其中的變量關(guān)系可以用解析式y(tǒng)=x(10-x)來描述.

設(shè)計意圖：從MK的角度，構(gòu)建問題情境，解釋函數(shù)y=x(10-x)的對應(yīng)關(guān)系，這是從抽象到具體的過程，也可以看成不同表示方式之間的相互轉(zhuǎn)換.從CK的角度，學(xué)生可能不太明白題目意思，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生分析這個函數(shù)的三要素，讓學(xué)生進一步體會函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用性，加深對函數(shù)概念的理解.

3 教學(xué)反思

3.1 三綱定本

深度學(xué)習(xí)《課程標(biāo)準(zhǔn)》、《教材》、《教師用書》，解決“教什么”的困惑.高中階段，不僅把函數(shù)看成變量之間的依賴關(guān)系，還要從具體問題出發(fā)，抽象概括出函數(shù)的一般概念，學(xué)會用集合與對應(yīng)的語言刻畫函數(shù).本節(jié)課是學(xué)生進一步認識數(shù)學(xué)模型的重要過程，也是學(xué)生學(xué)會運用數(shù)學(xué)模型表述、思考和認識現(xiàn)實世界中蘊含的規(guī)律，學(xué)會數(shù)學(xué)表達和交流，發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識的過程.

教材選取的四個問題情境包含了解析法、圖像法、列表法等多種表示方法，讓學(xué)生豐富對函數(shù)的認識，加深理解對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)，更好的體會數(shù)形結(jié)合的思想.采用“歸納式”呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，目的是落實以數(shù)學(xué)知識發(fā)生過程為載體進行“思維的教學(xué)”這一數(shù)學(xué)課程的核心任務(wù).

3.2 學(xué)情生本

以學(xué)定教依據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展規(guī)律、知識認知、學(xué)習(xí)狀態(tài)等做出教的內(nèi)容和方法，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)潛質(zhì)，解決“學(xué)什么”的困惑.

學(xué)生不僅學(xué)會知識，又要訓(xùn)練研究數(shù)學(xué)問題的方法，培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維能力，逐步發(fā)展獨立解決問題的能力.本節(jié)課在教師引導(dǎo)下，由學(xué)生體會“具體事例—觀察、試驗—比較、分類—分析、綜合—抽象、概括”的學(xué)習(xí)過程，通過自己的類比分析，歸納得出一般規(guī)律，獲得函數(shù)的概念.

3.3 素養(yǎng)固本

學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價值的集中體現(xiàn)，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和應(yīng)用的過程中逐步形成和發(fā)展的.數(shù)學(xué)教學(xué)就是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，解決“怎么教”的困惑.

形成函數(shù)概念的過程是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)的思維過程，本節(jié)課通過創(chuàng)設(shè)問題情境，精心設(shè)置問題串，層層遞進、環(huán)環(huán)相扣，讓學(xué)生通過對具體問題的觀察與分析，歸納函數(shù)的要素，并由此抽象出函數(shù)概念，并通過正反例辨析，生動形象的比喻，加深學(xué)生對函數(shù)符號f(x)以及函數(shù)三要素的理解.這樣做可以加強學(xué)生對函數(shù)概念的理解，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的能力，使數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處.讓學(xué)生掌握了研究概念的一般方法，為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).