基于特征值高階矩的頻譜感知增強(qiáng)技術(shù)

李 賀，趙文靜，金明錄，*

（1.大連理工大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，遼寧 大連 116024；2.電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，四川 成都 611731）

0 引 言

隨著物聯(lián)網(wǎng)等技術(shù)的快速發(fā)展，大量無(wú)線設(shè)備接入導(dǎo)致對(duì)頻譜資源的需求呈爆炸性增長(zhǎng)。固定頻譜分配策略對(duì)頻譜資源使用效率低，難以滿足日益增加的頻譜需求［1-4］。因此，未來(lái)無(wú)線通信需通過(guò)擴(kuò)展通信頻譜范圍（至毫米波頻段）及動(dòng)態(tài)頻譜共享技術(shù)（認(rèn)知無(wú)線電技術(shù)）解決頻譜資源匱乏及頻譜利用率低的問(wèn)題［5-9］。

認(rèn)知無(wú)線電技術(shù)通過(guò)頻譜復(fù)用或頻譜共享提高頻譜利用率。在認(rèn)知無(wú)線電網(wǎng)絡(luò)中，當(dāng)主用戶沒(méi)有利用其授權(quán)頻譜時(shí)，認(rèn)知用戶可以通過(guò)該頻譜進(jìn)行通信。為了實(shí)現(xiàn)該目的，認(rèn)知用戶需要對(duì)主用戶的授權(quán)頻段的占用狀態(tài)進(jìn)行確認(rèn)，即檢測(cè)主用戶信號(hào)存在與否，該過(guò)程稱為頻譜感知。當(dāng)主用戶正在使用當(dāng)前授權(quán)頻段時(shí)，為了不對(duì)主用戶產(chǎn)生干擾，認(rèn)知用戶需要以較高的檢測(cè)概率判斷主用戶的激活狀態(tài)，并在一定的時(shí)間內(nèi)清空信道或降低傳輸功率。因此，設(shè)計(jì)高效可靠的頻譜感知技術(shù)一直是實(shí)現(xiàn)認(rèn)知無(wú)線電技術(shù)的重中之重［10-14］。

目前，頻譜感知方法主要分為最優(yōu)檢測(cè)、半盲檢測(cè)及盲檢測(cè)方法3類。這些方法在不同的實(shí)現(xiàn)條件及要求下具有不同的性能。眾所周知，匹配濾波方法是最優(yōu)檢測(cè)的代表。然而，其最優(yōu)性能是以每一個(gè)認(rèn)知用戶滿足同步，且已知主用戶和噪聲的先驗(yàn)信息為先決條件，這些因素限制了該方法在實(shí)際場(chǎng)景中的應(yīng)用［15-17］。

與最優(yōu)檢測(cè)算法相比，半盲檢測(cè)算法只需已知噪聲功率。能量檢測(cè)（energy detection，ED）算法是典型的半盲檢測(cè)算法［18-21］。ED算法不需要主用戶的先驗(yàn)信息且易于實(shí)現(xiàn)。ED算法對(duì)于獨(dú)立同分布信號(hào)具有最優(yōu)的檢測(cè)性能，但對(duì)于相關(guān)信號(hào)的檢測(cè)性能下降。在實(shí)際場(chǎng)景中，信號(hào)功率由于多徑衰落及遮蔽現(xiàn)象產(chǎn)生波動(dòng)，造成信噪比低，進(jìn)而導(dǎo)致ED算法的性能嚴(yán)重退化。此外，實(shí)際噪聲隨時(shí)間不斷變化，產(chǎn)生噪聲不確定性問(wèn)題，使得ED算法的虛警概率大幅提高。

為了解決這些問(wèn)題，一些不依賴于信號(hào)和噪聲先驗(yàn)信息的全盲檢測(cè)算法被相繼提出。例如，基于特征值的檢測(cè)算法通過(guò)利用信號(hào)間的相關(guān)性提高了檢測(cè)概率［22-23］。典型的特征值檢測(cè)算法包括最大最小特征值（maximum-minimum eigenvalue，M ME）檢測(cè)算法［22］、最大特征值 算術(shù)平均值（maximum eigenvalue to the arithmetic mean，ME-AM）檢測(cè)算法［24-25］、最大特征值 幾何平均值（maximum eigenvalue to the geometric mean，ME-GM）檢測(cè)算法［26］等。由于協(xié)方差矩陣的特征值能夠較好地捕捉信號(hào)的相關(guān)性及噪聲特性，這幾種算法在低信噪比下具有較好的檢測(cè)性能，且能克服噪聲不確定問(wèn)題。

這些基于特征值的檢測(cè)算法設(shè)計(jì)依賴于隨機(jī)矩陣?yán)碚摵蜆颖緟f(xié)方差矩陣的特征值特性［27］。文獻(xiàn)［28］及其參考文獻(xiàn)表明，使用特征值的高階矩可以提供額外的鑒別信息進(jìn)而能夠改善統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題的性能。Sedighi等基于分離函數(shù)估計(jì)測(cè)試框架，利用樣本協(xié)方差矩陣特征值的高階矩，提出了兩個(gè)全盲特征值檢測(cè)器［29］。Huang等基于隨機(jī)矩陣?yán)碚?，提出了一種特征值矩比（eigenvalue moment ratio，EMR）的頻譜感知方法［30］。這些算法均表明利用特征值的高階矩有利于提高信號(hào)檢測(cè)問(wèn)題的性能。

本文將從經(jīng)典的ME-AM 算法開(kāi)始，研究了基于特征值高階矩的新的檢測(cè)算法設(shè)計(jì)問(wèn)題。利用所有特征值的p階矩，本文提出了新的基于特征值高階矩的頻譜感知增強(qiáng)算法，并給出了虛警概率和判決門限的解析表示，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)分析了特征值高階矩冪次p的變化對(duì)檢測(cè)性能的影響，仿真結(jié)果表明了新的基于特征值高階矩的頻譜感知增強(qiáng)技術(shù)的有效性。

1 系統(tǒng)模型

圖1展示了多天線認(rèn)知無(wú)線電網(wǎng)絡(luò)中的典型場(chǎng)景，其中有P個(gè)單天線主用戶（primary user，PU），1個(gè)配有M個(gè)接收天線的認(rèn)知用戶用于感知主用戶是否存在。圖中還包含次用戶（secondary user，SU）。

本質(zhì)上，頻譜感知問(wèn)題是對(duì)主用戶信號(hào)的檢測(cè)，不失一般性，對(duì)于主用戶的感知問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為如下的二元假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題：

式中：H0表示主用戶信號(hào)不存在；H1表示主用戶信號(hào)存在；sj為第j個(gè)主用戶發(fā)送的信號(hào)，w m（n）為噪聲，其服從均值為0，方差為的高斯分布，即w m（n）～CN（0）；hmj為認(rèn)知用戶的第m個(gè)接收天線與第j個(gè)主用戶之間的信道響應(yīng)；D p為信道階數(shù)。

第n個(gè)采樣時(shí)刻的數(shù)據(jù)表示為

接收向量可以表示為矩陣形式：

考慮N個(gè)采樣序列，接收信號(hào)的樣本協(xié)方差矩陣可以表示為

2 基于特征值高階矩的頻譜感知算法

本節(jié)首先簡(jiǎn)單介紹幾種典型的基于特征值的頻譜感知方法，然后利用特征值檢測(cè)的優(yōu)勢(shì)提出了新的特征值檢測(cè)方法。

2.1 經(jīng)典的頻譜感知方法

全盲檢測(cè)算法因不依賴于信號(hào)和噪聲功率信息而受到廣泛關(guān)注，其中ME-AM 和ME-GM 檢測(cè)方法是兩種典型的盲感知方法。

（1）最大特征值與特征值的算術(shù)平均方法

針對(duì)噪聲功率及信道未知情況，文獻(xiàn)［24］利用廣義似然比準(zhǔn)則（general likelihood ratio test，GLRT）推導(dǎo)了基于特征值的檢測(cè)算法，其檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量表示為

式中：λi表示樣本協(xié)方差矩陣的特征值；λmax為最大特征值。仿真實(shí)驗(yàn)表明ME-AM檢測(cè)方法在瑞利衰落信道下具有比MME等方法具有更好的檢測(cè)性能。

（2）最大特征值與特征值的幾何平均方法

ME-AM算法是在假設(shè)信道狀態(tài)服從瑞利分布條件得出的，當(dāng)該條件不滿足，其性能受到影響。對(duì)此，為了提高認(rèn)知用戶在其他信道狀態(tài)下對(duì)主用戶信號(hào)的檢測(cè)能力，一些檢測(cè)方法應(yīng)運(yùn)而生。例如，文獻(xiàn)［18］針對(duì)Nakagami-m衰落信道設(shè)計(jì)了ME-GM方法。ME-GM檢測(cè)方法的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量表示為

（3）基于特征值矩的典型方法

文獻(xiàn)［29-30］提出了基于特征值矩的檢測(cè)算法，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量表示如下：

2.2 基于特征值高階矩的頻譜感知增強(qiáng)技術(shù)

使用特征值的高階矩可以提供額外的鑒別信息來(lái)改善統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題的性能。因此，本文考慮基于特征值的p次冪的檢測(cè)算法，稱為MEp-AM檢測(cè)算法，其檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為

式中：0＜p＜∞。

在H0假設(shè)下，式（10）中的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量理論上趨于1，而在主用戶信號(hào)存在時(shí)，式（10）中的統(tǒng)計(jì)量大于1。因此，可以利用式（10）中的統(tǒng)計(jì)量判斷主用戶信號(hào)存在或不存在。

從式（10）可以看出，MEp-AM檢測(cè)算法是ME-AM 檢測(cè)算法的擴(kuò)展形式，當(dāng)p＝1時(shí)，MEp-AM 算法為ME-AM檢測(cè)算法。

所提算法的具體過(guò)程如下：

（1）根據(jù)式（4），計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣。

（2）求解R r（N）的特征值λi（R r（N）），并計(jì)算特征值的p次冪。

（3）基于式（10）計(jì)算檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量，并將其與門限進(jìn)行比較判斷主用戶信號(hào)是否存在：當(dāng)檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量大于門限時(shí)，則表示H1成立，即主用戶處于激活狀態(tài)；否則，表示H0成立。

下文主要分析所提統(tǒng)計(jì)量TMEp-AM的統(tǒng)計(jì)分布，進(jìn)而推導(dǎo)所提算法的檢測(cè)概率、虛警概率和門限的解析表達(dá)式。從式（10）可知，MEp-AM檢測(cè)算法的檢測(cè)統(tǒng)計(jì)量依賴于樣本協(xié)方差矩陣特征值的p次冪。當(dāng)p為正整數(shù)時(shí)，文獻(xiàn)［30］基于隨機(jī)理論給出了特征值p次冪的漸近分布。當(dāng)p為分?jǐn)?shù)時(shí)，樣本協(xié)方差矩陣的特征值任意p次冪的漸近波動(dòng)很難確定，目前沒(méi)有文獻(xiàn)給出特征值分?jǐn)?shù)次冪的統(tǒng)計(jì)分布。因此，本文利用廣義極值分布擬合所提統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)分布。

三參數(shù)的廣義極值分布函數(shù)表示如下：

其中，μ，σ和κ分別為廣義極值分布的位置參數(shù)、尺度參數(shù)和形狀參數(shù)。

廣義極值分布的累積分布函數(shù)表示為

圖2給出了當(dāng)p分別為0.25，1，2，4時(shí)的所提統(tǒng)計(jì)量的經(jīng)驗(yàn)分布與擬合的廣義極值分布。從圖2可以看出，經(jīng)驗(yàn)分布與擬合分布幾乎重疊，這說(shuō)明了廣義極值分布可以較好地近似所提統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)分布。

圖2 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的經(jīng)驗(yàn)分布與擬合分布Fig.2 Empirical distribution and fitting distribution of test statistics

基于廣義極值分布，推導(dǎo)分析了所提算法的虛警概率、檢測(cè)概率和門限的解析表示。

虛警概率表示為

式中，μ0，σ0和κ0為H0下的估計(jì)參數(shù)。

利用虛警概率與門限的關(guān)系，可以得出門限的解析表達(dá)式：

類似于虛警概率推導(dǎo)，檢測(cè)概率表示為

式中：μ1，σ1和κ1為H1下的估計(jì)參數(shù)。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本節(jié)通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提MEp-AM算法的有效性。本文的一些仿真參數(shù)的設(shè)置與已有文獻(xiàn)類似，假設(shè)每個(gè)主用戶獨(dú)立發(fā)送二進(jìn)制相移鍵控（binary phase shift keying，BPSK）信號(hào)，認(rèn)知用戶接收天線數(shù)為4，采樣點(diǎn)數(shù)設(shè)為100，在每個(gè)設(shè)定的信噪比下進(jìn)行10-000次蒙特卡羅仿真。

以p＝0.1，0.25，1，2為例，首先驗(yàn)證了所給出的理論虛警概率和檢測(cè)概率的解析表示的正確性，結(jié)果如圖3所示。從圖3可以看出，理論計(jì)算與仿真結(jié)果差異較小，這說(shuō)明了式（13）～式（15）給出的理論計(jì)算的正確性。

圖3 所提算法的理論虛警概率、檢測(cè)概率與仿真虛警概率、檢測(cè)概率的比較Fig.3 Comparison between theoretical false alarm probability and simulational results of the proposed algorithm.

因?yàn)镸E-AM算法和ME-GM算法分別在瑞利平坦衰落和Nakagami-m平坦衰落信道上顯示出檢測(cè)優(yōu)勢(shì)［31］，下面分別考慮這兩個(gè)信道場(chǎng)景進(jìn)行仿真。仿真實(shí)驗(yàn)中考慮復(fù)高斯白噪聲。虛警概率設(shè)為0.1，其是WRAN 802.22工作組規(guī)定的最大許可值。為保證比較的公平性，仿真中判決門限均根據(jù)虛警概率仿真確定。特征值的p次冪設(shè)置為p＝｛0.1，0.25，0.5，1，1.5，2，4，10｝。

3.1 瑞利平坦信道下的仿真

本文主要與文獻(xiàn)［29-30］中的基于特征值高階矩算法、ME-GM 和MME 算法進(jìn)行對(duì)比。圖4～圖7 中SFET1、SFET2和EMR分別代表由式（7）、式（8）和式（9）的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量設(shè)計(jì)的檢測(cè)算法。

首先，針對(duì)1個(gè)主用戶的場(chǎng)景下的檢測(cè)概率隨信噪比變化情況進(jìn)行了仿真，結(jié)果如圖4所示。從圖4的結(jié)果可以看出，這些算法的檢測(cè)性能相差不大。但放大的子圖表明MEp-AM算法在p＝0.25時(shí)檢測(cè)性能最好，其次是ME-GM和ME-AM算法。此時(shí)，高階矩的其他算法沒(méi)有顯示出優(yōu)勢(shì)。

圖4 1個(gè)主用戶時(shí)算法在瑞利衰落信道下的檢測(cè)性能比較Fig.4 Detection performance comparison of several algorithms for the scenario with one primary user and Rayleigh fading channel

圖5給出了3個(gè)主用戶場(chǎng)景下的仿真結(jié)果。當(dāng)主用戶個(gè)數(shù)為3時(shí)，經(jīng)典的高階矩檢測(cè)算法顯示出檢測(cè)優(yōu)勢(shì)，其次是ME-GM檢測(cè)算法和MEp-AM 檢測(cè)算法。因?yàn)樵诖藞?chǎng)景下，接收信號(hào)樣本協(xié)方差矩陣的特征值出現(xiàn)了分散，因此利用所有特征值的經(jīng)典高階矩檢測(cè)算法顯示出其檢測(cè)優(yōu)勢(shì)。

圖5 3個(gè)主用戶時(shí)算法在瑞利衰落信道下的檢測(cè)性能比較Fig.5 Detection performance comparison of several algorithms for the scenario with three primary users and Rayleigh fading channel

3.2 Nakagami-m平坦信道下的仿真

對(duì)于Nakagami-m平坦衰落信道，其信道系數(shù)h服從如下分布：

式中：m為信道衰落系數(shù)，設(shè)為1；Ω為平均信噪比。

圖6給出了1個(gè)主用戶場(chǎng)景下的仿真結(jié)果。與瑞利平坦信道情況類似，此時(shí)MEp-AM（p＝0.1，0.25）、ME-GM和ME-AM算法比經(jīng)典高階矩檢測(cè)算法檢測(cè)性能略顯優(yōu)勢(shì)。

圖6 1個(gè)主用戶時(shí)算法在Nakagami-m衰落信道下的檢測(cè)性能比較Fig.6 Detection performance comparison of several algorithms for the scenario with one primary user and Nakagami-m channel

當(dāng)主用戶個(gè)數(shù)為3時(shí)，幾種算法的檢測(cè)概率隨信噪比變化情況如圖7所示。與瑞利平坦衰落情形類似，經(jīng)典的高階矩檢測(cè)算法顯示出其檢測(cè)優(yōu)勢(shì)，其次是ME-GM 檢測(cè)算法、MEp-AM（p＝0.1）檢測(cè)算法和ME-AM檢測(cè)算法。

圖7 3個(gè)主用戶時(shí)算法在Nakagami-m衰落信道下的檢測(cè)性能比較Fig.7 Detection performance comparison of several algorithms for the scenario with three primary users and Nakagami-m channel

4 結(jié) 論

基于特值的檢測(cè)算法設(shè)計(jì)依賴于使用隨機(jī)矩陣?yán)碚摵蜆颖緟f(xié)方差矩陣的不同特征值性質(zhì)。本文從經(jīng)典的ME-AM算法出發(fā)，提出了新的基于特征值高階矩的頻譜感知增強(qiáng)算法，基于隨機(jī)矩陣?yán)碚?，推?dǎo)了所提算法的虛警概率和判決門限的解析表示，通過(guò)仿真研究了特征值高階矩冪次的變化對(duì)檢測(cè)性能的影響，仿真結(jié)果表明了所提算法的有效性。因?yàn)闃颖緟f(xié)方差矩陣的特征值任意p次冪的漸近波動(dòng)很難確定，MEp-AM 的檢測(cè)性能還不能從理論上進(jìn)行分析，這也是今后的研究課題。