大型復(fù)雜系統(tǒng)多態(tài)可靠性快速評(píng)估算法

史躍東，金家善，柴 凱

（海軍工程大學(xué)艦船與海洋學(xué)院，湖北 武漢 430033）

0 引 言

可靠性作為一類反映裝備通用質(zhì)量特性的固有屬性，直接影響裝備的固有性能與使用效能發(fā)揮，進(jìn)而決定裝備執(zhí)行任務(wù)的成功與否。研究裝備的可靠性，對(duì)于改善裝備質(zhì)量特性，優(yōu)化裝備保障管理，增強(qiáng)裝備使用效能，提升裝備執(zhí)行任務(wù)能力，具有重要工程應(yīng)用價(jià)值與現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)意義。近年來，隨著現(xiàn)代科技與制造業(yè)水平的迅猛發(fā)展，裝備的結(jié)構(gòu)組成日趨復(fù)雜，多呈現(xiàn)大型化、集成化、精細(xì)化、耦合化等特點(diǎn)。同時(shí)，與其相關(guān)的可靠性分析、設(shè)計(jì)、評(píng)估等工作，也日趨復(fù)雜與困難。為此，衍生出諸多新的可靠性研究方向。裝備復(fù)雜系統(tǒng)多狀態(tài)可靠性研究，即為其中比較具有代表性的重點(diǎn)和熱點(diǎn)研究方向，且發(fā)展迅速、成果豐碩［1-3］。

有關(guān)裝備復(fù)雜系統(tǒng)多狀態(tài)可靠性的研究工作，大體可分為4類。第1類基于經(jīng)典馬爾可夫狀態(tài)躍遷模型，通過多粒度割分傳統(tǒng)的裝備二元功能狀態(tài)，建立不同狀態(tài)間的躍遷微分方程，實(shí)現(xiàn)裝備復(fù)雜系統(tǒng)的多狀態(tài)可靠性建模、分析與評(píng)估，但存在指數(shù)分布模型假設(shè)的工程約束困境［4-7］，以及大維度狀態(tài)躍遷微分方程解算的技術(shù)瓶頸［8-11］，此外相關(guān)系統(tǒng)狀態(tài)的工程分辨解析程度也大大受到限制［12-15］。第2類基于半馬爾可夫狀態(tài)躍遷模型，通過構(gòu)建非指數(shù)分布約束的嵌入式馬爾可夫鏈，并引入核矩陣函數(shù)，有效改善了裝備復(fù)雜系統(tǒng)的多狀態(tài)可靠性建模、分析與評(píng)估精度［16-18］，但仍面臨大維度狀態(tài)解算的技術(shù)瓶頸［19-21］。第3類基于通用生成函數(shù)技術(shù)，通過定義不同結(jié)構(gòu)單元的通用生成函數(shù)，并結(jié)合系統(tǒng)不同層級(jí)間的構(gòu)型耦合關(guān)聯(lián)，完成裝備復(fù)雜系統(tǒng)的通用生成函數(shù)求解與多狀態(tài)可靠性解析，有效規(guī)避了直接解算大維度狀態(tài)模型的技術(shù)困境［22-25］，但本質(zhì)上仍只是進(jìn)行了降維變換，對(duì)超大系統(tǒng)或巨系統(tǒng)應(yīng)用效果欠佳［26-29］。第4類基于蒙特卡羅仿真技術(shù)，通過生成貼近狀態(tài)駐留時(shí)間隨機(jī)分布的偽隨機(jī)量值，模擬裝備復(fù)雜系統(tǒng)的邏輯事件歷程，進(jìn)而利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法，獲取多狀態(tài)裝備復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性能，但對(duì)于先驗(yàn)分布的判斷以及仿真數(shù)據(jù)的體量要求較高［30-32］。

綜上，4類研究工作雖能較好地解決部分裝備復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性建模、分析與評(píng)估問題，并已在當(dāng)今機(jī)械、電力、能源、軍事、信息網(wǎng)絡(luò)等領(lǐng)域發(fā)揮了重要作用，但對(duì)于組件構(gòu)成龐大的大型（或巨型）裝備復(fù)雜系統(tǒng)來說，利用前述4類工作的階段研究成果，開展其多狀態(tài)可靠性的分析與評(píng)估工作，無論是在計(jì)算資源的依賴性上，還是在解算方法的可實(shí)現(xiàn)性與便捷性上，都還或多或少地存有技術(shù)短板，亟待深入探索、逐步完善。

本文以工程上組件構(gòu)成眾多的大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)為研究對(duì)象，旨在通過合理構(gòu)建面向不同系統(tǒng)狀態(tài)耦合結(jié)構(gòu)的極限序列核，探索一類計(jì)算資源要求低、計(jì)算便捷，且逼近精度滿足工程需要的多狀態(tài)可靠性建模、分析與快速評(píng)估方法，力求豐富與突破大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)多狀態(tài)可靠性研究的關(guān)注方向和技術(shù)途徑。

1 大型多狀態(tài)裝備系統(tǒng)

1.1 大型多狀態(tài)系統(tǒng)

任意大型多狀態(tài)裝備系統(tǒng)A，由k個(gè)子系統(tǒng)B i組成，i＝1，2，…，k，k∈N；每個(gè)子系統(tǒng)Bi包含l i個(gè)組成元件U ij，j＝1，2，…，l i，l i∈N；系統(tǒng)A使用過程中，元件U ij的輸出性能可能逐步退化，存在s＋1種輸出狀態(tài)，s∈N；同時(shí)，可能有多樣作用于系統(tǒng)A的外在載荷，存有p＋1種運(yùn)行工況要求，p∈N；并且有如下前提假設(shè)和符號(hào)約定：

（1）不同元件U ij的性能退化隨機(jī)歷程可測(cè)，且關(guān)鍵退化狀態(tài)節(jié)點(diǎn)的認(rèn)定規(guī)則相似；

（2）系統(tǒng)A與任意元件U ij的輸出狀態(tài)索引集合為｛0，1，…，s｝，其中索引0代表最劣狀態(tài)，索引s代表最優(yōu)狀態(tài)，自索引0至索引s，狀態(tài)水平依次升高；

（3）系統(tǒng)A的運(yùn)行工況索引集合為｛0，1，…，p｝，各工況運(yùn)行可能出現(xiàn)的概率為qz，z∈｛0，1，…，p｝，qz∈［0，1］；

（4）u ij（t，z）、a（t，z）：第z種 工況下，u ij（t，z）和a（t，z）分別為元件U ij、系統(tǒng)A自最優(yōu)狀態(tài)s觸發(fā)后t時(shí)刻所處的狀態(tài)水平，其中，t∈［0，∞）；

（5）T ij（v，z）：第z種工況下，元件U ij自最優(yōu)狀態(tài)s觸發(fā)，保持u ij（t，z）∈狀態(tài)子集｛v，v＋1，…，s｝的獨(dú)立隨機(jī)變量，T ij（v，z）反映元件U ij處于不同狀態(tài)子集的駐留時(shí)間。其中，v∈｛0，1，…，s｝；

（6）T（v，z）：第z種工況下，系統(tǒng)A自最優(yōu)狀態(tài)s觸發(fā)，保持a（t，z）∈狀態(tài)子集｛v，v＋1，…，s｝的隨機(jī)變量，T（v，z）反映系統(tǒng)A處于不同狀態(tài)子集的駐留時(shí)間。其中，v∈｛0，1，…，s｝。

1.2 多狀態(tài)系統(tǒng)可靠性

遵循前述假設(shè)與符號(hào)約定，統(tǒng)一選用可靠度函數(shù)R（t）作為度量大型多狀態(tài)裝備系統(tǒng)A可靠性的量化參數(shù)，則有：

（1）元件U ij可靠度

式中：P（·）為絕對(duì)概率函數(shù)；P（·|·）為條件概率函數(shù)；Rij（t，v，z）為z工況下元件U ij處于狀態(tài)子集｛v，v＋1，…，s｝的可靠度函數(shù)。

（2）系統(tǒng)A可靠度

式中：RA（t，v）為系統(tǒng)A處于狀態(tài)子集｛v，v＋1，…，s｝的可靠度函數(shù)；RA（t，v，z）為z工況下系統(tǒng)A處于狀態(tài)子集｛v，v＋1，…，s｝的可靠度函數(shù)。

（3）系統(tǒng)A狀態(tài)分布

式中：MA（v）為系統(tǒng)A駐留于狀態(tài)子集｛v，v＋1，…，s｝的平均期望時(shí)間；σA（v）為平均期望時(shí)間MA（v）的標(biāo)準(zhǔn)方差；（v）為系統(tǒng)A駐留于狀態(tài)v的平均期望時(shí)間。

1.3 元件與系統(tǒng)的耦合關(guān)聯(lián)

元件U ij與系統(tǒng)A間的耦合結(jié)構(gòu)不同，相關(guān)狀態(tài)耦合關(guān)系也不同。此處，僅就多狀態(tài)裝備復(fù)雜系統(tǒng)可靠性研究中，較具代表性的兩類耦合結(jié)構(gòu)，說明如下。

（1）串并耦合結(jié)構(gòu)：

式（7）和式（8）反映了大型串并耦合裝備系統(tǒng)z工況下元件與系統(tǒng)之間狀態(tài)駐留時(shí)間和可靠度的耦合關(guān)聯(lián)?，F(xiàn)實(shí)工程中的大型分布式能源供應(yīng)系統(tǒng)（如天然氣、原油等），多為此類狀態(tài)耦合結(jié)構(gòu)。

（2）并串耦合結(jié)構(gòu)：

式（9）和式（10）反映了大型并串耦合裝備系統(tǒng)z工況下元件與系統(tǒng)之間狀態(tài)駐留時(shí)間和可靠度的耦合關(guān)聯(lián)?，F(xiàn)實(shí)工程中的大型纜索牽引系統(tǒng)、光纖網(wǎng)絡(luò)信息傳導(dǎo)系統(tǒng)等，多為此類狀態(tài)耦合結(jié)構(gòu)。

觀察前述各式可知，如果直接利用式（8）和式（10），解算評(píng)估大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)的多狀態(tài)可靠性，在已知元件U ij的可靠度函數(shù)Rij（t，v，z）前提下，至少還需實(shí)施l1×l2×…×l k次乘法運(yùn)算。對(duì)于大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)來說，k與l i的取值通常較大（k＞10，l i＞10），此時(shí)若想實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)可靠度的精確解算，所需占據(jù)的計(jì)算機(jī)資源往往較多，解算耗費(fèi)時(shí)間也往往較長(zhǎng)。本文嘗試采用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)預(yù)處理方式，在保證工程逼近精度的前提下，大幅度提升大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)的多狀態(tài)可靠度求解效率。為此，引入極限序列核的概念。

2 極限序列核

由式（3）易知，系統(tǒng)A的可靠度本質(zhì)上體現(xiàn)為隨機(jī)變量T（v，z）的概率分布特征。因此，如果能夠通過恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)變換處理，將隨機(jī)變量T（v，z）的概率分布，映射于某一已知的標(biāo)準(zhǔn)概率分布空間，則可直接利用已知標(biāo)準(zhǔn)概率分布空間的諸多數(shù)學(xué)特征，反向解算系統(tǒng)A的可靠度。進(jìn)一步，如果對(duì)于任意大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)A，存在序列對(duì)〈Φ（n，v，z），Ψ（n，v，z）〉，n∈N，使得式（11）和式（12）同時(shí)成立，則稱這類與系統(tǒng)A組成結(jié)構(gòu)和元件U ij數(shù)目密切相關(guān)的序列對(duì)為用于解算系統(tǒng)A可靠度的極限序列核。

式中：T p（v，z）為經(jīng)過數(shù)學(xué)變換預(yù)處理后系統(tǒng)A的狀態(tài)駐留時(shí)間隨機(jī)變量；RL-A（t，v，z）為系統(tǒng)A的極限可靠度函數(shù)；n為與k、l i相關(guān)的反映系統(tǒng)A總體元件組成的序列數(shù)。

繼而，如果在函數(shù)RL-A（t，v，z）的連續(xù)時(shí)間點(diǎn)集CR-L-A上，可以找到這樣的極限序列核，則當(dāng)系統(tǒng)A的組成元件個(gè)數(shù)n足夠大時(shí)，可近似逼近系統(tǒng)A的可靠度函數(shù)R A（t，v，z）如下：

需要說明的是，工程上大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)組成與耦合模式多樣，并不一定能夠找到符合式（11）和式（12）變換要求的極限序列核。但對(duì)于符合齊次和規(guī)則特征的大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)而言，通常可以通過恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)手段，找出符合要求的極限序列核，且并不唯一。

3 大型裝備系統(tǒng)可靠性快速算法

以符合齊次和規(guī)則特征的大型并串耦合結(jié)構(gòu)系統(tǒng)為例，示例說明大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)的極限序列核的確定過程，以及相關(guān)多狀態(tài)可靠性的快速分析與評(píng)估算法。如圖1所示，某大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)的元件組成與并串耦合結(jié)構(gòu)，符合齊次和規(guī)則特征，即對(duì)任意i，j取值，均有

圖1 齊次并串耦合規(guī)則系統(tǒng)可靠性框圖Fig.1 Reliability scheme of a homogeneous parallel-series coupling regular system

式中：m為齊次規(guī)則系統(tǒng)各子系統(tǒng)所包含的元件數(shù)；RU（t，v，z）為齊次規(guī)則系統(tǒng)各組成元件的多狀態(tài)可靠度函數(shù)。

為便于后續(xù)算法結(jié)論的演繹說明，給出如下引理。

3.1 算法引理

對(duì)于滿足齊次和規(guī)則約束條件的任意大型并串耦合系統(tǒng)A，取k＝n，且存在正整數(shù)c1，c2，使得m-c1lnn?c2成立。

如果其極限序列核〈Φ（n，v，z），Ψ（n，v，z）〉和極限可靠度函數(shù)RL-A（t，v，z）存在，當(dāng)且僅當(dāng)式（15）給出的序列函數(shù)極限存在，且此時(shí)系統(tǒng)A的極限可靠度函數(shù)RL-A（t，v，z）應(yīng)具有式（16）所示指數(shù)函數(shù)表達(dá)形式。

上述引理的證明較為繁瑣復(fù)雜［33-34］，此處直接引用結(jié)論。

3.2 算法示例

進(jìn)一步，假設(shè)大型并串耦合系統(tǒng)A組成元件的多狀態(tài)可靠度滿足威布爾分布特征［35］，即

式中：α（v，z）、β（v，z）為與系統(tǒng)工況和元件狀態(tài)相關(guān)的威布爾分布常量。由前述引理，可嘗試構(gòu)建系統(tǒng)A的極限序列核如下：

式中：ln（·）為指數(shù)底的對(duì)數(shù)函數(shù)。則有

式中：o（·）為高階無窮小函數(shù)。再依據(jù)式（15），有

進(jìn)而，依據(jù)式（16），有

至此，可實(shí)現(xiàn)大型并串耦合系統(tǒng)A的多狀態(tài)可靠性快速分析與評(píng)估如下：

對(duì)比式（10）和式（22）的數(shù)學(xué)表達(dá)形式可知，引入極限序列核的快速算法，避開了傳統(tǒng)并串耦合系統(tǒng)可靠性解析分析中的大量級(jí)疊乘運(yùn)算，直接利用系統(tǒng)的極限可靠度函數(shù)RL-A（t，v，z）逼近原并串耦合系統(tǒng)的多狀態(tài)可靠性特征，雖在求解問題的技術(shù)難度上有所增加，但大大提升了解算問題的工作效率。

4 應(yīng)用案例

4.1 船用升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)

某船用升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)由傳動(dòng)馬達(dá)、牽引鋼索、載重平臺(tái)、電控裝置4個(gè)分系統(tǒng)組成，相關(guān)系統(tǒng)可靠性框圖如圖2所示。鑒于牽引鋼索長(zhǎng)期暴露于高溫、高濕、高鹽度、雨水、曝曬、腐蝕等海洋惡劣工作環(huán)境，且頻繁承受升降載荷的直接沖擊，因此船用升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)的可靠性能主要取決于牽引鋼索分系統(tǒng)的可靠性能，即。

圖2 升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)可靠性框圖Fig.2 Reliability scheme of a lifting and transferring system

其中，牽引鋼索分系統(tǒng)由12根特種鋼索組成，每根鋼索的承力狀態(tài)下降，均會(huì)直接導(dǎo)致整個(gè)牽引鋼索分系統(tǒng)的工作狀態(tài)下降。每根特種鋼索又分別由12根外側(cè)鋼縷絲和14根內(nèi)側(cè)鋼縷絲扭繞組成，相關(guān)橫截面結(jié)構(gòu)如圖3所示。升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)工作時(shí)，鋼索內(nèi)部的26根鋼縷絲同時(shí)承受轉(zhuǎn)運(yùn)載荷的沖擊，并呈現(xiàn)并聯(lián)受力狀態(tài)。內(nèi)外側(cè)鋼縷絲雖幾何尺寸不同，但可靠性能相同，均滿足威布爾分布特征［36］。

圖3 特種鋼索橫截面結(jié)構(gòu)Fig.3 Cross-section structure of the special steel cable

4.2 系統(tǒng)多狀態(tài)多工況說明

基于前文關(guān)于船用升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)各分系統(tǒng)及組成構(gòu)件工作特征的闡述，可將其簡(jiǎn)化為一類齊次規(guī)則并串耦合系統(tǒng)（k＝12，m＝26）。系統(tǒng)（組件）使用過程中，可能遭遇以下不同輸出狀態(tài)與運(yùn)行工況。

（1）多狀態(tài)說明

升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)的牽引鋼索在海上惡劣環(huán)境中長(zhǎng)期使用，將會(huì)逐漸產(chǎn)生性能退化，呈現(xiàn)4類狀態(tài)輸出水平，如表1所示。

表1 牽引鋼索4類狀態(tài)輸出Table 1 Four output states of traction cable

表1中，T ij（v，z）為z工況下鋼縷絲自狀態(tài)3觸發(fā)，處于｛v，v＋1，…，3｝狀態(tài)子集的隨機(jī)駐留時(shí)間變量；T（v，z）為牽引鋼索分系統(tǒng)處于｛v，v＋1，…，3｝狀態(tài)子集的隨機(jī)駐留時(shí)間變量。

（2）多工況說明

升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)的牽引對(duì)象多樣，不同載荷作用下，牽引鋼索的可靠性能并不盡一致。依據(jù)升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)歷次執(zhí)行任務(wù)的年度數(shù)據(jù)，經(jīng)承力載荷聚類統(tǒng)計(jì)分析，可將其工況分為4類，如圖4所示。

圖4 4類工況的年平均分布情況Fig.4 Annual average distribution of four working conditions

圖4中，載荷度量單位為t，時(shí)間度量單位為h；工況3代表轉(zhuǎn)運(yùn)載荷處于40～60 t，年均40次，每次任務(wù)持續(xù)6 h；工況2代表轉(zhuǎn)運(yùn)載荷處于20～40 t，年均80次，每次任務(wù)持續(xù)4 h；工況1指轉(zhuǎn)運(yùn)載荷處于5～20 t，年均60次，每次任務(wù)持續(xù)2 h。轉(zhuǎn)運(yùn)載荷小于5 t，或無轉(zhuǎn)運(yùn)任務(wù)，統(tǒng)一視為工況0。由此，可知4類工況在升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)年度使用過程中的發(fā)生概率qz，z∈｛0，1，2，3｝，如表2所示。

表2 4類工況的年度發(fā)生概率Table 2 Annual probability occurrence of four working conditions

4.3 系統(tǒng)極限序列核解算

參考文獻(xiàn)［37］中有關(guān)繩索的可靠性數(shù)據(jù)，以及業(yè)內(nèi)專家的部分實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，取單位時(shí)間尺度為年，則有鋼縷絲的多狀態(tài)可靠性威布爾分布常量α（v，z）、β（v，z），如表3所示。

表3 威布爾分布常量α（v，z）、β（v，z）Table 3 Weibull distribution constantsα（v，z）andβ（v，z）

進(jìn)而，由式（18）可知，升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)4類工況下的多狀態(tài)極限序列核〈Φ（12，v，z），Ψ（12，v，z）〉如表4所示。

表4 極限序列核〈Φ（12，v，z），Ψ（12，v，z）〉Table 4 Limit sequence kernel〈Φ（12，v，z），Ψ（12，v，z）〉

4.4 系統(tǒng)可靠性評(píng)估

進(jìn)一步，基于式（2）和式（22），以及表2和表4的計(jì)算結(jié)果，可知升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)的多狀態(tài)可靠度函數(shù)R（t，v）快速逼近表達(dá)式：

鑒于篇幅所限，此處僅給出R（t，1）的快速逼近表達(dá)式。

進(jìn)而，基于式（4）～式（6），可知升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)駐留于狀態(tài)子集｛v，v＋1，…，s｝中的平均期望時(shí)間M（v）和平均期望方差σ（v），以及駐留于狀態(tài)v的平均期望時(shí)間ˉM（v）。相關(guān)數(shù)值解算結(jié)果如圖5、圖6和表5所示。其中，時(shí)間t的度量單位y表示年，p（t，v）為系統(tǒng)駐留于狀態(tài)v的概率。

表5 系統(tǒng)狀態(tài)駐留時(shí)間T（v，z）統(tǒng)計(jì)特征Table 5 Statistical characteristic of system state dwell time T（v，z）

圖5 升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)多狀態(tài)可靠度函數(shù)R（t，v）Fig.5 Multi-state reliability function R（t，v）of the lifting and transferring system

圖6 升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)處于不同狀態(tài)的概率p（t，v）Fig.6 Probability function of the lifting and transferring system in different states

觀察圖5中的可靠度曲線和圖6中的狀態(tài)概率曲線可知：系統(tǒng)自最優(yōu)狀態(tài)觸發(fā)，隨著使用時(shí)間的增長(zhǎng)，處于狀態(tài)子集｛v，v＋1，…，3｜v≠0｝的可靠度呈現(xiàn)單調(diào)下降趨勢(shì)（不考慮維修）；歷經(jīng)約5 y左右時(shí)間，系統(tǒng)處于上述各狀態(tài)子集的可靠度，均會(huì)出現(xiàn)迅速衰減，其中可靠度R（t，3）的衰減速度最大；同時(shí)，自5 y左右時(shí)間起，系統(tǒng)位于最優(yōu)狀態(tài)的概率p（t，3）迅速下降，而位于其他劣化狀態(tài)的概率迅速上升；3～5 y時(shí)間階段，系統(tǒng)牽引功能狀態(tài)水平逐步趨于劣化，持續(xù)運(yùn)行的安全風(fēng)險(xiǎn)較大，工程技術(shù)人員應(yīng)對(duì)這一時(shí)間階段給予充分關(guān)注，必要時(shí)提前安排相關(guān)預(yù)防性維修活動(dòng)。

觀察表5中的狀態(tài)駐留時(shí)間T（v，z）統(tǒng)計(jì)特征數(shù)據(jù)可知：10 y使用周期內(nèi)，系統(tǒng)處于最優(yōu)狀態(tài)的期望時(shí)間最長(zhǎng)，約為5.93 y；若取v＝2為系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的關(guān)鍵辨識(shí)狀態(tài)，則系統(tǒng)處于可接受狀態(tài)子集｛2，3｝的期望時(shí)間，約為6.81 y；處于不可接受狀態(tài)子集｛0，1｝的期望時(shí)間，約為3.19 y。進(jìn)一步，取系統(tǒng)最高可接受的風(fēng)險(xiǎn)門限為r＝0.05。

式中：R-1（·）為系統(tǒng)可靠度函數(shù)的逆函數(shù)；0.95為與風(fēng)險(xiǎn)門限對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)最低可接受的可靠度量值。由式（24）可知，為確保系統(tǒng)日常使用中的風(fēng)險(xiǎn)可控、可接受，其持續(xù)使用時(shí)間t，不應(yīng)超過3.8 y。

4.5 快速算法效能評(píng)估

從解算速度和數(shù)值誤差兩個(gè)方面，評(píng)估前述極限序列核快速逼近算法的解算效能。

（1）解算速度評(píng)估

對(duì)于案例所述齊次規(guī)則情形，式（10）所示大型并串耦合系統(tǒng)的解析表達(dá)式退化為

式中：R（t，v，z）、RU（t，v，z）分別為z工況下升降轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)和鋼縷絲處于狀態(tài)子集｛v，v＋1，…，3｝的可靠度函數(shù)。由此，基于式（2），可得系統(tǒng)的多狀態(tài)可靠度函數(shù)R（t，v）的解析表達(dá)式如下：

同樣，鑒于篇幅所限，此處僅給出R（t，1）的解析表達(dá)式。對(duì)比式（23）和式（26）可知：式（23）僅需執(zhí)行兩次嵌套形式的指數(shù)函數(shù)運(yùn)算，即可完成z工況下系統(tǒng)可靠度函數(shù)R（t，v，z）的快速逼近求解；而式（26）則需至少執(zhí)行312次內(nèi)含指數(shù)函數(shù)的多項(xiàng)式乘法運(yùn)算才能完成。

針對(duì)文中案例，采用相同硬件平臺(tái)Thinkcenter M910t、軟件語言Matlab R2014和邏輯編程結(jié)構(gòu)for循環(huán)語句，分別基于極限序列核快速逼近算法和直接解析算法，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)多狀態(tài)可靠度函數(shù)R（t，v）的自動(dòng)化數(shù)值求解。解算步長(zhǎng)取0.1，解算時(shí)長(zhǎng)取10，則完成轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)全部404個(gè)多狀態(tài)可靠度量值運(yùn)算的耗時(shí)對(duì)比情況如表6所示。

表6 兩類算法運(yùn)算耗時(shí)比較Table 6 Comparison of computing time between two algorithms

觀察表6中的數(shù)據(jù)可知：極限序列核快速逼近算法的數(shù)值解算速度，約為直接解析算法的6.5～6.7倍，解算速度優(yōu)勢(shì)明顯；雖然兩類算法的解算耗時(shí)，均保持在10-2～10-1ms級(jí)，但對(duì)于可能涵蓋大量級(jí)類似案例系統(tǒng)的巨型裝備復(fù)雜系統(tǒng)而言，極限序列核快速逼近算法的應(yīng)用潛能更為突出。

（2）數(shù)值誤差評(píng)估

圖7為分別基于極限序列核快速逼近算法和直接解析算法，數(shù)值解算轉(zhuǎn)運(yùn)系統(tǒng)多狀態(tài)可靠度函數(shù)R（t，v）的曲線對(duì)比圖。圖8為兩類算法間的解算數(shù)值差函數(shù)e（t，v）曲線分析圖。

圖7 快速算法與解析算法的可靠度解算量值對(duì)比Fig.7 Comparison of reliability measures between fast algorithm and analytic algorithm

圖8 快速算法與解析算法的可靠度解算量值差Fig.8 Difference of reliability measures between fast algorithm and analytic algorithm

觀察圖7和圖8中的曲線可知：極限序列核快速逼近算法與直接解析算法的數(shù)值解算結(jié)果基本一致，尤其是在0～4 y時(shí)間段內(nèi)，兩者數(shù)值高度吻合；從10 y總體使用周期來看，極限序列核快速逼近算法給出的系統(tǒng)可靠度量值偏于保守，均小于同時(shí)間點(diǎn)的直接解析算法量值；此外，與其他時(shí)間段相比，4～7 y時(shí)間段內(nèi)，兩者解算的可靠度量值差距較大，峰值可達(dá)0.091 8、占比約10%，建議工程應(yīng)用中，根據(jù)實(shí)際需求視情修正。

圖9為極限序列核快速逼近算法與直接解析算法在風(fēng)險(xiǎn)預(yù)報(bào)點(diǎn)的可靠度量值差圖。由圖9可知，臨界風(fēng)險(xiǎn)時(shí)刻兩類算法給出的可靠度量值差僅為0.001 6，與風(fēng)險(xiǎn)預(yù)報(bào)時(shí)間基本吻合。

圖9 快速算法與解析算法風(fēng)險(xiǎn)預(yù)報(bào)點(diǎn)的可靠度量值差Fig.9 Difference of reliability measures between fast algorithm and analytic algorithm at risk forecast point

（3）量值差彌補(bǔ)方法

由前述分析可知，基于式（18）明確的極限序列核，解算系統(tǒng)的多狀態(tài)可靠度函數(shù)R（t，v）量值偏于保守。這里，構(gòu)建另外一類解算結(jié)果偏于樂觀的極限序列核〈Φg（n，v，z），Ψg（n，v，z）〉如下所示：

同樣，可由下式實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)多狀態(tài)可靠度函數(shù)R（t，v）的快速逼近：

圖10為基于兩類不同極限序列核，系統(tǒng)多狀態(tài)可靠度解算量值對(duì)比情況。其中，極限序列核〈Φ（n，v，z），Ψ（n，v，z）〉對(duì)應(yīng)快速逼近算法1（基于式（18）確定極限序列核），極限序列核〈Φg（n，v，z），Ψg（n，v，z）〉對(duì)應(yīng)快速逼近算法2（基于式（27）確定極限序列核）。

圖10 不同極限序列核下系統(tǒng)可靠度解算量值對(duì)比Fig.10 Comparison of reliability measures under different limit sequence kernels

由圖10可知，兩類極限序列核快速逼近算法給出的系統(tǒng)多狀態(tài)可靠度量值曲線，分別處于解析算法量值曲線的下方與上方。為此，綜合兩類極限序列核逼近算法，即可有效預(yù)測(cè)系統(tǒng)多狀態(tài)可靠度函數(shù)R（t，v）的解析值潛在區(qū)間，從而合理規(guī)避過于耗費(fèi)計(jì)算資源的直接解析運(yùn)算，并確保所獲可靠度解算量值的誤差充分可控。

5 結(jié)束語

針對(duì)工程大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)，通過合理構(gòu)建面向不同系統(tǒng)耦合結(jié)構(gòu)的極限序列核和極限可靠度函數(shù)，探索了一類基于極限序列核的大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)多狀態(tài)可靠性快速評(píng)估算法。研究分析與案例仿真表明：

（1）算法建模合理、解算便捷、評(píng)估準(zhǔn)確，能有效滿足大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)的可靠性評(píng)估與風(fēng)險(xiǎn)預(yù)報(bào)要求；

（2）算法突破了傳統(tǒng)解析算法的大維度解算技術(shù)瓶頸，大幅度提升了大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)多狀態(tài)可靠性的評(píng)估效率，工程應(yīng)用潛能大；

（3）算法程式化特征明顯，計(jì)算資源要求低、計(jì)算過程耗時(shí)短，便于工程軟件的平臺(tái)開發(fā)與核心功能實(shí)現(xiàn)；

（4）算法適用范圍廣，串并、并串、冷儲(chǔ)備、表決等常見齊次和非齊次工程耦合結(jié)構(gòu)，均可直接適用；

（5）算法解算彈性大，可滿足保守、樂觀等不同評(píng)估策略下的工程風(fēng)險(xiǎn)管控需求；

（6）算法豐富了復(fù)雜系統(tǒng)多狀態(tài)可靠性建模、分析與評(píng)估體系，促進(jìn)了大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)可靠性快速評(píng)估與風(fēng)險(xiǎn)預(yù)報(bào)技術(shù)發(fā)展。

下一步工作如下：

（1）探討非齊次耦合結(jié)構(gòu)下大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)極限序列核構(gòu)建與極限逼近函數(shù)確定的通用方法；

（2）探討大型裝備復(fù)雜系統(tǒng)多狀態(tài)可靠性快速評(píng)估交互軟件開發(fā)內(nèi)核與工程實(shí)現(xiàn)技術(shù)。