基于切比雪夫擬合的BP自聚焦算法

李彥君，劉 佳，徐秋鋒

（北京遙感設(shè)備研究所，北京 100854）

0 引 言

合成孔徑雷達(dá)（synthetic aperture radar，SAR）是一種主動(dòng)信息探測工具，通過發(fā)射寬帶信號(hào)實(shí)現(xiàn)距離維高分辨，同時(shí)利用天線與目標(biāo)相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的多普勒帶寬實(shí)現(xiàn)方位維高分辨，由于良好的工作特性，被廣泛應(yīng)用于各種運(yùn)動(dòng)平臺(tái)環(huán)境探測中。合成孔徑成像算法在拋物軌跡運(yùn)動(dòng)下需要精確的運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償來抵消距離徙動(dòng)（range cell migration，RCM）和方位相位誤差（azimuth phase error，APE），雷達(dá)運(yùn)動(dòng)參數(shù)的測量常通過在系統(tǒng)上加裝導(dǎo)航裝置來實(shí)現(xiàn)。由于實(shí)際運(yùn)動(dòng)的氣流擾動(dòng)、平臺(tái)機(jī)械振動(dòng)以及復(fù)雜軌跡帶來的相位誤差較大，難以只依靠導(dǎo)航裝置消除距離測量誤差，還需要進(jìn)一步的聚焦算法來處理超出導(dǎo)航設(shè)備測量精度的運(yùn)動(dòng)誤差。后向投影（back-projection，BP）成像精度高，適用于復(fù)雜軌跡下的成像，在實(shí)際拋物軌跡運(yùn)行下仍需通過聚焦處理達(dá)到成像要求精度。成像的自動(dòng)聚焦算法是一種基于回波數(shù)據(jù)的算法，適用于相位誤差估計(jì)，在SAR成像中起著非常重要的作用。

考慮到拋物軌跡運(yùn)動(dòng)帶來的運(yùn)動(dòng)誤差以及硬件帶來的精度限制，需要采用自聚焦算法進(jìn)行成像數(shù)據(jù)處理。傳統(tǒng)的自聚焦算法有基于圖像質(zhì)量與相位梯度下降兩類。基于圖像質(zhì)量的一種自聚焦算法，主要評(píng)估標(biāo)準(zhǔn)是有關(guān)圖像的一般信息，評(píng)估圖像質(zhì)量的主要標(biāo)準(zhǔn)包括最小熵、最大對(duì)比度和最大清晰度，通過設(shè)置估計(jì)的相位值來確定相移以獲得最佳圖像質(zhì)量。另一類自聚焦算法是相位梯度自聚焦算法，該算法使用多個(gè)目標(biāo)點(diǎn)的相位歷史來估計(jì)相位誤差。第一種自聚焦處理基于整體的圖像信息，具有更好的魯棒性，適用于低信噪比與低對(duì)比度的成像處理。

傳統(tǒng)的自聚焦算法的實(shí)現(xiàn)應(yīng)基于以下兩個(gè)條件：

（1）包絡(luò)誤差對(duì)圖像的影響可以忽略不計(jì)；

（2）在距離的相位上的歷史數(shù)據(jù)與獲得的結(jié)果之間存在傅里葉變換關(guān)系。

傳統(tǒng)BP成像算法是全時(shí)域成像算法，由于時(shí)域成像算法處理信號(hào)中不包含明顯傅里葉變換關(guān)系，因此無法將兩種傳統(tǒng)的自動(dòng)聚焦方法直接應(yīng)用于BP成像算法。文獻(xiàn)［15-17］對(duì)BP成像中的信號(hào)性質(zhì)進(jìn)行了分析，表明當(dāng)BP算法在極坐標(biāo)或偽極坐標(biāo)格式下處理的時(shí)候，在距離的相位上的歷史數(shù)據(jù)近似滿足條件（2）。在此情況下，可以針對(duì)（偽）極坐標(biāo)下的圖像設(shè)計(jì)相應(yīng)的自聚焦算法。

近年來提出的新的聚焦處理還有一類是基于機(jī)器學(xué)習(xí)算法的處理，利用機(jī)器學(xué)習(xí)中對(duì)于參數(shù)求解的思路，得到誤差修正量使得某一圖像質(zhì)量指標(biāo)達(dá)到最大。但該類算法往往需要較大的運(yùn)算量，并不適用于實(shí)時(shí)BP成像處理。

為了彌補(bǔ)上述不足，本文提出了一種針對(duì)SAR在拋物軌跡下的BP成像聚焦算法，不依賴于傅里葉變換對(duì)關(guān)系，且可快速實(shí)時(shí)地進(jìn)行時(shí)域自聚焦處理。其適用于拋物線軌跡下BP成像結(jié)果的實(shí)時(shí)處理，實(shí)現(xiàn)了BP圖像在直角坐標(biāo)系下的自動(dòng)聚焦。本文首先結(jié)合拋物線軌跡介紹了BP成像算法原理，分析了成像過程中的相位誤差，并用切比雪夫擬合的回波信號(hào)進(jìn)行數(shù)字信號(hào)分析處理，給出了合適的表達(dá)式后對(duì)改善的BP成像聚焦效果進(jìn)行了分析，最后仿真結(jié)果對(duì)比表明在拋物軌跡下BP自聚焦算法提高了成像效果。

1 BP成像誤差分析與聚焦標(biāo)準(zhǔn)

1.1 BP成像誤差分析

拋物線軌跡下聚束SAR的成像幾何如圖1所示。

圖1 拋物軌跡SAR幾何模型Fig.1 Parabolic trajectory SAR geometric model

雷達(dá)平臺(tái)在如圖1所示的笛卡爾三維坐標(biāo)系內(nèi)運(yùn)動(dòng)，在平面內(nèi)沿平行于軸進(jìn)行加速運(yùn)動(dòng)。設(shè)方位向的運(yùn)動(dòng)速度為v ；方位向慢時(shí)間為t ；距離向快時(shí)間為t ；合成孔徑中間時(shí)刻平臺(tái)所處的位置為點(diǎn)；定義點(diǎn)位置的時(shí)刻為方位零時(shí)刻；點(diǎn)是該天線波束覆蓋區(qū)域的中心點(diǎn)；為點(diǎn)到平臺(tái)的斜距；為平臺(tái)高度?？梢郧蟮脤?duì)應(yīng)的水平距離向以及方位向的快時(shí)間函數(shù)（t，）、（t ，）。雷達(dá)平臺(tái)經(jīng)過點(diǎn)沿軌跡運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)位置，此時(shí)對(duì)應(yīng)的距離為根據(jù)慣性導(dǎo)航補(bǔ)充的信息推導(dǎo)出瞬時(shí)傾斜距，具體以聚束模式下成像為例，在點(diǎn)位置根據(jù)距離向以及方位向的瞬時(shí)距離可得

BP成像適合高分辨率低頻超寬帶或?qū)挷ㄊ鳶AR的成像處理。不考慮幅值衰減和天線加權(quán)情況，發(fā)射的線性調(diào)頻信號(hào)為

式中：t 為方位向慢時(shí)間；t為距離向快時(shí)間；為雷達(dá)信號(hào)脈沖寬度；f 為載頻；為發(fā)射信號(hào)的線性調(diào)頻率。接收到的回波信號(hào)由于測量成像區(qū)目標(biāo)的距離產(chǎn)生時(shí)間延遲，在目標(biāo)點(diǎn)的實(shí)際距離為（t，t ），回波可以表示為

式中：c為光速。經(jīng)過距離為（t，t ）地面反射后，對(duì)回波信號(hào)進(jìn)行脈沖壓縮，即對(duì)回波脈壓之后的等效匹配濾波信號(hào)為

式中：＝c／f 表示發(fā)射信號(hào)的波長。成像區(qū)域的信號(hào)經(jīng)處理后獲得一個(gè)×的距離方位二維數(shù)據(jù)矩陣，位于矩陣中的每一元素（M ，N ）均可以得出精準(zhǔn)的距離歷程函數(shù)。將此函數(shù)處理后，可得成像目標(biāo)點(diǎn)的脈壓回波數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的幅度，將回波進(jìn)行相干后可獲得SAR雷達(dá)圖像，具體公式為

由測量距離與實(shí)際距離的差值產(chǎn)生的誤差ΔR（）將對(duì)成像信號(hào)產(chǎn)生干擾：

ΔR（）帶來的誤差來自匹配后辛克函數(shù)的偏移以及指數(shù)函數(shù)相位偏移帶來的畸變，對(duì)成像的像素矩陣產(chǎn)生了散焦效應(yīng)。聚焦的目的主要是消除ΔR（）帶來的誤差，提高成像圖像質(zhì)量。

1.2 聚焦處理標(biāo)準(zhǔn)

對(duì)于BP成像算法而言，現(xiàn)有的成像后聚焦采用的標(biāo)準(zhǔn)是以成像圖特征為標(biāo)準(zhǔn)，例如最大對(duì)比度、最大標(biāo)準(zhǔn)差等。自聚焦處理一般做法是遍歷所有成像處理后的聚焦點(diǎn)，判斷成像圖的性質(zhì)，使得成像停留在圖像性質(zhì)最高的聚焦位置上。相位梯度自聚焦（phase gradient autofocus，PGA）算法需要完整的成像矩陣信號(hào)來進(jìn)行處理，需要進(jìn)行多次迭代。以圖像特征為標(biāo)準(zhǔn)的聚焦處理忽略了成像信號(hào)中相位所包含的誤差信息，為成像后處理（即在生成圖像后進(jìn)行針對(duì)圖像的處理），文中采用針對(duì)成像信號(hào)的聚焦算法可以貼合雷達(dá)成像算法實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理。對(duì)于本文提出對(duì)成像信號(hào)進(jìn)行的聚焦處理，采用針對(duì)單點(diǎn)信號(hào)處理前后的積分旁瓣比（integral side lobe ratio，ISLR）以及峰值旁瓣比（peak side lobe ratio，PSLR）進(jìn)行聚焦效果的衡量，并且加以反演面目標(biāo)的聚焦前后的圖像指標(biāo)分析，予以聚焦算法有效性的佐證。

由式（7）可知，誤差ΔR（）存在于成像信號(hào)Z的辛克函數(shù)以及其指數(shù)函數(shù)中。為了獲得ΔR（）從而消除干擾以實(shí)現(xiàn)聚焦，選擇Z中包含ΔR（）的相位信息作為聚焦處理目標(biāo)，基于成像信號(hào)的自聚焦是通過分析相位函數(shù)性質(zhì)估計(jì)每一方位向的相位誤差?的處理。雷達(dá)成像為方位向與距離向?qū)Τ上衲繕?biāo)的脈沖壓縮處理，故可以采用PSLR與ISLR為聚焦標(biāo)準(zhǔn)，PSLR定義為主瓣峰值與10倍主瓣寬度范圍內(nèi)最大旁瓣的功率比值，用于信號(hào)脈沖壓縮后對(duì)信號(hào)的評(píng)估。ISLR是主瓣能量與旁瓣能量之比，單位以分貝表示，同樣用于衡量脈壓之后信號(hào)的評(píng)估。圖像熵（image entropy，IE）代表整個(gè)圖像的能量聚焦度，熵越小圖像的聚焦度越高。而圖像空間頻率（image spatial frequency，ISF）和圖像平均梯度（image average gradient，IAG）則表明了圖像的細(xì)節(jié)，圖像標(biāo)準(zhǔn)差（image standard deviation，ISD）表征了圖像離散度。

Z為所有方位時(shí)刻一個(gè)像素點(diǎn)的相干累積結(jié)果，所有方位時(shí)刻與網(wǎng)格距離補(bǔ)償結(jié)果進(jìn)行疊加等效于對(duì)該點(diǎn)方位向的函數(shù)進(jìn)行脈沖壓縮。ΔR（）的存在會(huì)影響方位向的等效脈壓，從而導(dǎo)致方位向的散焦較嚴(yán)重。對(duì)每一時(shí)刻的像素點(diǎn)疊加進(jìn)行補(bǔ)償，即對(duì)BP算法進(jìn)行內(nèi)部算法修正實(shí)現(xiàn)聚焦處理。

辛克信號(hào)在成像區(qū)間內(nèi)符號(hào)不一致會(huì)影響距離誤差ΔR （）的估計(jì)精度，為消除其影響，同時(shí)保留了指數(shù)函數(shù)中的ΔR （），構(gòu)造信號(hào)估計(jì)函數(shù)G：

對(duì)于每一方位時(shí)刻像素點(diǎn)，在BP算法進(jìn)行方位時(shí)刻累加前，即脈沖壓縮后存在：

經(jīng)處理后得到的ΔR（）相關(guān)的相位構(gòu)造補(bǔ)償相位矩陣，與每一方位時(shí)刻成像矩陣進(jìn)行數(shù)乘再進(jìn)行時(shí)刻累積，即得到消去ΔR（）干擾的聚焦圖像。同時(shí)根據(jù)距離誤差與補(bǔ)償相位參數(shù)關(guān)系，考慮匹配之后的辛克函數(shù)以及指數(shù)相位函數(shù)的性質(zhì)，可以構(gòu)造補(bǔ)償參數(shù)Z（）。在補(bǔ)償相位誤差的同時(shí)，提高成像之后辛克函數(shù)的PSLR，解決散焦現(xiàn)象，加強(qiáng)成像點(diǎn)區(qū)分度。

2 BP成像算法的自聚焦算法

圖2 方位向函數(shù)復(fù)數(shù)域投影Fig.2 Azimuth function complex number domain projection

圖3 切比雪夫擬合余弦函數(shù)圖Fig.3 Chebyshev fitted cosine function graphs

由階數(shù)與擬合效果可見，低階擬合誤差過大、高階造成過擬合，同時(shí)考慮處理的數(shù)據(jù)量以及時(shí)效性，二者主要由擬合的階數(shù)決定，擬合階數(shù)越高，所需的擬合數(shù)據(jù)量越大，涉及運(yùn)算越復(fù)雜、時(shí)效性越低。具體參數(shù)如表1所示。

表1 切比雪夫擬合處理時(shí)間Table 1 Chebyshev fitting processing time

通過切比雪夫擬合定義的多項(xiàng)式正交，當(dāng)?滿足限定條件［-π，π］時(shí)，求解四階切比雪夫系數(shù)，得到對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式系數(shù)可以表示為

研究對(duì)應(yīng)?的四次函數(shù)需要將已知數(shù)據(jù)即X 與Y 與未知數(shù)據(jù)?拆分開來，轉(zhuǎn)化為僅與?有關(guān)的四次函數(shù)，式（14）與式（15）通過轉(zhuǎn)化可以得到如式（16）的四次函數(shù)（?）：

得出經(jīng)過切比雪夫擬合后的四次函數(shù)滿足對(duì)稱條件。對(duì)于四次對(duì)稱函數(shù)而言，根據(jù)文獻(xiàn)［26］中定義可知：

結(jié)合式（21）、式（17）、式（18）可得對(duì)應(yīng)的參數(shù)，具體表示為

由文獻(xiàn)［27］中所提的四次函數(shù)性質(zhì)可知，對(duì)于＜0，需要根據(jù)與0的關(guān)系判別擬合后四次函數(shù)的最值點(diǎn)位置關(guān)系。根據(jù)之前所得的擬合多項(xiàng)式的四次函數(shù)形式，由性質(zhì)可得，最值點(diǎn)位置為

將得到的補(bǔ)償函數(shù)代回每一方位時(shí)刻中，通過補(bǔ)償函數(shù)的辛克函數(shù)對(duì)誤差產(chǎn)生的旁瓣進(jìn)行抑制，同時(shí)補(bǔ)償函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)補(bǔ)償由距離誤差產(chǎn)生的相位畸變，結(jié)合補(bǔ)償函數(shù)的辛克函數(shù)與指數(shù)函數(shù)得到修正后信號(hào)，進(jìn)行方位時(shí)刻積累得到成圖數(shù)據(jù)：

為了說明聚焦算法處理的有效性，雷達(dá)接收數(shù)據(jù)進(jìn)行成像及自聚焦處理的流程如圖4所示，通過雷達(dá)運(yùn)行平臺(tái)裝備的導(dǎo)航器件對(duì)距離誤差進(jìn)行修正，修正得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行切比雪夫擬合，對(duì)擬合后四次方形式的函數(shù)進(jìn)行信號(hào)分析，處理得到誤差參量，代回修正函數(shù)與運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償后數(shù)據(jù)，進(jìn)行相乘后進(jìn)行方位向累加，得到聚焦雷達(dá)成像圖。

圖4 聚焦處理算法流程圖Fig.4 Focus processing algorithm flow chart

3 仿真結(jié)果與分析

本文算法的有效性通過點(diǎn)目標(biāo)聚焦處理前后的PSLR以及對(duì)仿真場景的面聚焦結(jié)果對(duì)比來說明。仿真雷達(dá)系統(tǒng)的參數(shù)如表2所示。

表2 仿真參數(shù)Table 2 Simulation parameters

3.1 聚焦算法有效性驗(yàn)證

本文提出的聚焦算法是對(duì)成像信號(hào)Z存在ΔR情況下，基于信號(hào)分析進(jìn)行的處理。需要通過算法信號(hào)得到對(duì)應(yīng)方位補(bǔ)償參數(shù)（），并構(gòu)造修正函數(shù)，進(jìn)而消除ΔR干擾，去除相位模糊，并提高PSLR，以三方位向點(diǎn)目標(biāo)的成像信號(hào)為例進(jìn)行算法分析比較。

對(duì)成像算法信號(hào)進(jìn)行聚焦，經(jīng)過信號(hào)處理為基礎(chǔ)的聚焦運(yùn)算后得到的成像信號(hào)與未經(jīng)過處理的成像信號(hào)如圖5所示。點(diǎn)目標(biāo)經(jīng)處理之后的方位向歸一化旁瓣比見圖6，可以看出處理前后的峰值與旁瓣間有明顯的差異，信號(hào)處理加強(qiáng)了PSLR從而提高了BP算法對(duì)成像信號(hào)的方位向脈壓效果，成像信號(hào)的PSLR有所提升，對(duì)于單點(diǎn)目標(biāo)的回波信號(hào)質(zhì)量有改進(jìn)。根據(jù)點(diǎn)目標(biāo)結(jié)果進(jìn)行聚焦處理前后成像信號(hào)參數(shù)對(duì)比，聚焦運(yùn)算處理后的PSLR以及ISLR明顯提高，可以看出經(jīng)切比雪夫擬合以及信號(hào)處理的相位補(bǔ)償函數(shù)有效地抑制了方位向散焦，PSLR及ISLR的改進(jìn)效果如表3所示。表3表明了在聚焦處理評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)下，本文提出的算法處理效果較好。

表3 仿真結(jié)果Table 3 Simulation results d B

圖5 聚焦算法處理前后點(diǎn)目標(biāo)對(duì)比Fig.5 Comparison of point target before and after focus algorithm processing

圖6 點(diǎn)目標(biāo)聚焦前后歸一化幅度Fig.6 Normalized amplitude of point target before and after focusing

3.2 聚焦算法對(duì)比

本文算法對(duì)BP算法所成的圖像可有效地進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償，圖7為在表2參數(shù)設(shè)計(jì)下的雷達(dá)仿真平臺(tái)，采用高分三號(hào)的雷達(dá)圖進(jìn)行反演得到面目標(biāo)回波信號(hào)，并用其對(duì)算法進(jìn)行對(duì)比運(yùn)算。對(duì)反演面目標(biāo)進(jìn)行的仿真結(jié)果，成像區(qū)域大小為256×256 m，運(yùn)行速度與加速度同表2中一致，面目標(biāo)成像采用本文的聚焦算法處理后圖像質(zhì)量有所改善。對(duì)于面成像的評(píng)價(jià)指標(biāo)依據(jù)IE、ISF、IAG、ISD，具體結(jié)果如表4所示。

圖7 聚焦算法處理前后面目標(biāo)對(duì)比Fig.7 Comparison of surface targets before and after focus algorithm processing

表4 面成像評(píng)價(jià)指標(biāo)Table 4 Surface imaging evaluation indicators

如表4所示，聚焦處理后的IE更低，表明處理后的圖像聚焦度高于處理前；IAG在處理后增加，表明像素間能量差異變陡峭，更好地顯示細(xì)節(jié)；ISF同理，表明處理后的圖像具有更好的細(xì)節(jié)。與其他基于BP算法的自聚焦處理算法對(duì)比，文獻(xiàn)［28-29］中的自聚焦算法雖可以理想地聚焦處理，但相比于本文所提算法，具有較高的計(jì)算量，對(duì)于要求實(shí)時(shí)處理的拋物軌跡的雷達(dá)系統(tǒng)并不適用。對(duì)于文中提及的聚焦處理，運(yùn)算復(fù)雜度低于PGA算法，且本算法處理嵌合于BP算法處理流程中，并不屬于圖像后處理，生成圖像后還可以進(jìn)行后續(xù)的基于圖像的聚焦算法處理。處理面目標(biāo)結(jié)果如圖8所示，與PGA算法處理結(jié)果參數(shù)對(duì)比如表5所示。

表5 聚焦算法對(duì)比Table 5 Focus algorithm comparison

圖8 聚焦算法對(duì)比圖Fig.8 Focus algorithm comparison graphs

對(duì)比傳統(tǒng)自聚焦算法，以參考文獻(xiàn)［30-31］中的PGA聚焦算法為例，PGA算法以最小二乘法對(duì)誤差相位梯度估計(jì)，利用傅里葉關(guān)系求導(dǎo)且需要較高的信雜比。算法運(yùn)行中需要多次的迭代，運(yùn)算量較大，PGA屬于后處理算法，不能加在成像過程中實(shí)時(shí)處理。對(duì)比于以機(jī)器學(xué)習(xí)算法為基礎(chǔ)的新聚焦算法，本文提出的聚焦處理更加適合實(shí)時(shí)性實(shí)現(xiàn)，與傳統(tǒng)的聚焦算法相比，本文的聚焦算法效果有更好的補(bǔ)償精確性。

4 結(jié)束語

自聚焦算法是復(fù)雜軌跡下SAR成像過程中不可缺少的處理過程。對(duì)于采用BP算法生成的SAR系統(tǒng)，提出了一種適合于拋物軌跡下基于切比雪夫參數(shù)擬合的成像自聚焦算法。首先對(duì)相位誤差在BP算法中的存在形式進(jìn)行了分析，然后基于數(shù)字信號(hào)分析給出了聚焦處理修正函數(shù)的優(yōu)化模型。算法結(jié)合信號(hào)分析以及數(shù)值分析的切比雪夫多項(xiàng)式擬合，在BP成像的數(shù)字信號(hào)處理流程條件下，可以有效地提高成像的質(zhì)量，本文提供了算法的數(shù)學(xué)推導(dǎo)和仿真結(jié)果。根據(jù)理論結(jié)果，對(duì)成像目標(biāo)分別采用點(diǎn)目標(biāo)以及反演面目標(biāo)回波驗(yàn)證算法，證明聚焦算法提升了圖像效果。下一步將考慮進(jìn)一步提高運(yùn)算效率以及聚焦算法性能，并考慮實(shí)現(xiàn)應(yīng)用于三維成像算法的聚焦處理中。