“線性代數(shù)”課程教學(xué)體會(huì)

逯曉雪 張素花

陸軍裝甲兵學(xué)院 北京 100072

“線性代數(shù)”是高等院校理工科各類專業(yè)的公共必修課程之一，基本內(nèi)容包括五個(gè)模塊：行列式、矩陣、線性方程組、向量空間、二次型。在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)：線性代數(shù)這門課程的特點(diǎn)是基本概念、性質(zhì)和公式多、計(jì)算繁雜、需要記憶的結(jié)論也比較多，前后知識點(diǎn)的聯(lián)系比較緊密，導(dǎo)致很多學(xué)員對這門課的評價(jià)是“亂”“碎”，使得學(xué)員不能總體把握課程?；谶@種情況，在線性代數(shù)課程教學(xué)時(shí)，首先授課教員須讓學(xué)員既了解“在做什么？怎么做”，更要理解“為什么這樣做”，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)員積極參與到還原數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和再次發(fā)現(xiàn)的過程中，幫助學(xué)員還原知識建立的過程，加深對課程本質(zhì)的理解。對于一些抽象的概念可以結(jié)合幾何圖形或者實(shí)際案例引入，降低知識的抽象性；另一方面在教學(xué)中適當(dāng)引入和其專業(yè)相關(guān)、日常生活或當(dāng)前熱點(diǎn)技術(shù)相關(guān)的例子，讓學(xué)員始終保持好奇心；最為關(guān)鍵的是要引導(dǎo)學(xué)員養(yǎng)成在學(xué)完每一章后自覺總結(jié)、及時(shí)歸納的好習(xí)慣，尋找各個(gè)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別，進(jìn)行對比記憶。

一、線性代數(shù)教學(xué)中存在的問題

線性代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)中一門重要的公共基礎(chǔ)課，這門課程內(nèi)容少，題型較固定，對學(xué)生的預(yù)備知識的要求也比較低，只需要掌握中學(xué)基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識即可學(xué)習(xí)。盡管如此，在教學(xué)過程中還是發(fā)現(xiàn)學(xué)員學(xué)習(xí)線性代數(shù)存在很多問題：

(1)概念容易混淆、定理公式理解不到位、邏輯思維混亂。例如，因?yàn)樾辛惺胶途仃嚩寂c數(shù)表有關(guān)系，而且行列式的六條性質(zhì)中有換行、倍乘、倍加，而矩陣的初等變換中也有相應(yīng)的三種變換，所以有部分學(xué)員經(jīng)?；煜齼烧叩姆枺蛘咴诰仃嚨某醯茸儞Q過程中錯(cuò)用等號等。在學(xué)習(xí)第五章矩陣的相似對角化問題時(shí)，每一節(jié)的理解和計(jì)算沒有問題，但是綜合考查時(shí)，容易搞不清楚什么時(shí)候需要正交化的過程，什么時(shí)候不需要。

(2)學(xué)員的抽象能力弱，邏輯推理能力不強(qiáng)。比如已知一個(gè)具體的方程組，學(xué)員很容易根據(jù)定理判斷出方程組的解的情況。但是如果給出一個(gè)抽象的矩陣，如已知為×階矩陣，()=，在、、關(guān)系未知的情況下，學(xué)員一般無法通過先假設(shè)和的情況，進(jìn)而比較和、的關(guān)系，從而全面分析出齊次線性方程組=0和非齊次線性方程組=的解的情況，大部分都是自己舉出一個(gè)符合條件的具體的方程組進(jìn)行判斷導(dǎo)致結(jié)論不全面。

(3)因?yàn)檫x用的線性代數(shù)教材基本沒有實(shí)際應(yīng)用案例，導(dǎo)致學(xué)員認(rèn)為線性代數(shù)就是一門純計(jì)算的課程，而且線性代數(shù)的題目計(jì)算量一般都比較大，使得學(xué)員無法領(lǐng)會(huì)線性代數(shù)所體現(xiàn)的方法和思想，更不會(huì)去了解在其他領(lǐng)域中的應(yīng)用。

(4)學(xué)員無法從整體上把握課程內(nèi)容。從線性代數(shù)教材的編排順序和內(nèi)容安排來看，每章節(jié)貌似沒有聯(lián)系，互相獨(dú)立，導(dǎo)致學(xué)員學(xué)完課程后感覺零、散、亂，前后聯(lián)系不起來，從而出現(xiàn)了每一節(jié)的練習(xí)題可能會(huì)做，但是對于一些綜合題無從下手，或者即使會(huì)做題但是不清楚“為什么這樣做”的情況。

二、教學(xué)過程中的應(yīng)對策略

(一)合理安排教學(xué)，深入剖析概念

線性代數(shù)課程具有極強(qiáng)的抽象性，特別是一些概念晦澀難懂，定義突兀，如果直接講定義會(huì)導(dǎo)致學(xué)員理解困難，教學(xué)效果不好。我們可以從學(xué)生已知的知識結(jié)構(gòu)或者生活中的一些例子引入新概念；也可以先為學(xué)生講解概念的簡單實(shí)例，然后由淺入深剖析概念。例如在講初等矩陣的知識時(shí)，我會(huì)先讓學(xué)員自己計(jì)算一個(gè)具體的三階矩陣分別和三種(六個(gè))初等矩陣相乘，引導(dǎo)學(xué)員自己總結(jié)出矩陣乘積的運(yùn)算規(guī)律，從而得到一般的矩陣乘法和矩陣的初等變換之間聯(lián)系，這種由具體到抽象的方法也符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，記憶也更深刻。向量組的極大無關(guān)組是一個(gè)重要的概念，也是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。大部分學(xué)員在學(xué)習(xí)第四章時(shí)感到內(nèi)容非常抽象，學(xué)習(xí)比較困難，經(jīng)常搞不清楚線性表示、線性組合、極大無關(guān)組等各種概念、性質(zhì)和結(jié)論。那么在講授向量組的這些概念時(shí)，我們就可以與三原色的概念進(jìn)行類比。極大無關(guān)組的概念指的是向量組中個(gè)線性無關(guān)的向量，并且滿足任意+1個(gè)向量均線性相關(guān)，極大無關(guān)組中向量的個(gè)數(shù)就是向量組的秩。我們知道繪畫時(shí)需要調(diào)色，三原色是紅、黃、藍(lán)，三原色中任何兩種顏色都調(diào)制不出其余的那種顏色，但三原色按照一定的比例可以調(diào)制出其他任意一種顏色。那么三原色之間的這種關(guān)系就類似于向量之間的線性無關(guān)，而其他的顏色均可以由三原色線性表示。而三原色就是所有顏色組成的集合的一個(gè)“極大無關(guān)組”。通過這個(gè)生活化的例子，可以有效幫助學(xué)員理解線性表示、線性相關(guān)、極大無關(guān)組這些抽象的概念。

(二)融入數(shù)學(xué)思想，提升思維能力

數(shù)學(xué)知識的記憶是短暫的，長時(shí)間不用就會(huì)遺忘，但數(shù)學(xué)思想方法的記憶卻是永久的。日本教育家米山國藏認(rèn)為：“成功的數(shù)學(xué)教育，應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)的精神、思想方法深深地永遠(yuǎn)銘刻在學(xué)生的頭腦里，長久地活躍于他們?nèi)粘５臉I(yè)務(wù)中，雖然那時(shí)，數(shù)學(xué)的知識可能已經(jīng)淡忘了?！彼栽诰€性代數(shù)教學(xué)中，一定要深刻揭示隱含于知識中的數(shù)學(xué)思想方法，例如：化歸思想、變換思想、歸納思想、演繹思想、類比思想、建模思想及數(shù)形結(jié)合思想等，其中的化歸思想更是解決線性代數(shù)問題的基礎(chǔ)。比如行列式的展開法則即將行列式轉(zhuǎn)化成低階行列式，線性方程組的求解轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的行階梯形問題，向量組的線性相關(guān)性問題轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組，是否有非零解的問題等都蘊(yùn)含著化歸思想。在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)員理解、掌握并會(huì)用這些數(shù)學(xué)思想方法才是解決問題和分析問題的關(guān)鍵，不僅能加深學(xué)員的理解，還可以從認(rèn)知層面上提高對數(shù)學(xué)本質(zhì)、數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會(huì)和感悟，從而培養(yǎng)學(xué)員獨(dú)立學(xué)習(xí)的能力。

(三)挖掘?qū)嶋H背景，引入軍事案例

數(shù)學(xué)不是無源之水，無本之木。線性代數(shù)產(chǎn)生于實(shí)際問題，發(fā)展出成熟的理論后具有廣泛的應(yīng)用性。在教學(xué)中，通過挖掘?qū)嶋H背景，分享閱讀材料，選用適宜的案例等多種形式，讓學(xué)員了解到線性代數(shù)的重要作用和學(xué)科的應(yīng)用發(fā)展，從而激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣，鼓勵(lì)其學(xué)以致用。

例如，在第三章開始介紹線性方程組及其求解問題時(shí)，可以引入交通流量實(shí)際案例。如圖1所示，某城市市區(qū)的交叉路口由兩條單向車道組成。圖中給出了在交通高峰時(shí)段每小時(shí)進(jìn)入和離開路口的車輛數(shù)。計(jì)算在四個(gè)交叉路口間車輛的數(shù)量。

圖1

考慮到軍校學(xué)員的特點(diǎn)，在案例的選取上還可以更加貼近軍事特色。例如講“緒論”時(shí)，為了說明線性方程組在軍事應(yīng)用中的巨大價(jià)值，可先簡要介紹“北斗”導(dǎo)航系統(tǒng)的衛(wèi)星定位原理，即將偽距方程線性化后，用戶所處的位置就歸結(jié)為線性方程組的求解問題；接下來再以雷達(dá)散射截面的計(jì)算為例，為得到雷達(dá)散射截面情況，就要分析表面電流分布，而不論哪種分析方法都需將連續(xù)問題離散化，又是求解線性方程組。在學(xué)習(xí)矩陣的特征值和特征向量理論時(shí)，將“25，000，000，000：”這篇文章推薦給學(xué)員閱讀。文中對Goole搜索引擎的PageRank排序算法進(jìn)行了詳細(xì)的介紹，很有啟發(fā)性。該算法是諸多搜索引擎的算法基礎(chǔ)，深刻影響著互聯(lián)網(wǎng)時(shí)代每一個(gè)人的生活。而發(fā)明這種算法的拉里·佩奇與謝蓋爾·布林當(dāng)時(shí)只是斯坦福大學(xué)的研究生。在講解理論時(shí)還可以激勵(lì)學(xué)員打好理論基礎(chǔ)同時(shí)，也要注重理論結(jié)合實(shí)踐。又如在講解逆矩陣時(shí)，可以給出一個(gè)實(shí)際案例應(yīng)用：Hill密碼的破譯問題，讓學(xué)員了解利用逆矩陣的特性并結(jié)合加密算法原理，將接收到的信息進(jìn)行解密。諸如此類緊密結(jié)合軍事的實(shí)例介紹，既能開闊學(xué)員的視野，又展示了線性代數(shù)的魅力，提升了教學(xué)效果。

(四)借助軟件，解決實(shí)際問題

在完成基礎(chǔ)理論課學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，將Matlab等一些數(shù)學(xué)計(jì)算軟件應(yīng)用到線性代數(shù)教學(xué)中，介紹如何應(yīng)用現(xiàn)代計(jì)算手段快速解決實(shí)際問題，進(jìn)而提高學(xué)員應(yīng)用理論知識解決實(shí)際問題的能力。

例如第五章用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，正交變換的好處是保持幾何形狀不變，而且尋找正交矩陣有“求特征值—特征向量—正交化—單位化”固定的步驟，可以套用固定的模式求解，但是通常計(jì)算量很大，并且在施密特正交化的過程中非常容易出錯(cuò)，所以我們可以用Matlab軟件將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。

例：求一個(gè)正交變換=，把二次型=-2+2+2化為標(biāo)準(zhǔn)形。

同時(shí)通過Matlab軟件把原來的二次型和正交變換后得到的標(biāo)準(zhǔn)形對應(yīng)的圖形畫出來，分別為圖2和圖3：

圖2

圖3

圖4

運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件將所學(xué)的理論知識具體、直觀地展現(xiàn)出來，不僅能使學(xué)員切實(shí)理解二次型到底是什么,它有什么幾何意義,用正交變換法和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形時(shí)有什么區(qū)別,二次型的標(biāo)準(zhǔn)形有什么用，還能增強(qiáng)學(xué)習(xí)的趣味性和目的性，使得學(xué)員對Matlab等軟件有初步的了解，為下一步參加數(shù)學(xué)建模競賽打下一定的基礎(chǔ)。

(五)數(shù)形結(jié)合，融入幾何解釋

(六)及時(shí)歸納總結(jié)，注重構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)

線性代數(shù)各知識點(diǎn)間有著千絲萬縷的關(guān)系，因此解題方法多種多樣。只有及時(shí)歸納總結(jié)，搞清楚各個(gè)知識點(diǎn)間的聯(lián)系和區(qū)別，才能打開思路。

例如，判斷向量組：，，…，的線性相關(guān)性，根據(jù)定義即是否存在一組不全為零的數(shù)，，…，，使得++…+=0，而這個(gè)問題又可以歸結(jié)于齊次線性方程組=0是否有非零解，=0是否有非零解是通過比較系數(shù)矩陣的秩和未知數(shù)的個(gè)數(shù)來判斷的。通過這樣一道表面上只與向量組線性相關(guān)性有關(guān)的例題，然后引導(dǎo)學(xué)員仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)它其實(shí)和線性方程組的解、矩陣的秩等內(nèi)容相聯(lián)系，判斷方法并不僅僅靠定義，可從不同角度入手。由此學(xué)員能很好地體會(huì)各部分知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，對課程內(nèi)容有整體性的認(rèn)識。矩陣是學(xué)習(xí)線性代數(shù)的一個(gè)重要工具，第五章涉及矩陣的概念就有正交矩陣、相似矩陣、合同矩陣，特別是相似矩陣和合同矩陣，兩者都是一種等價(jià)關(guān)系(因此又可與第三章學(xué)習(xí)的矩陣等價(jià)的性質(zhì)聯(lián)系起來)，又有不同點(diǎn)。這些都需要學(xué)員自己總結(jié)它們的聯(lián)系和區(qū)別，對比記憶，才能徹底理解這些易混概念。又如學(xué)員經(jīng)常搞不清楚極大無關(guān)組、基礎(chǔ)解系、基這三個(gè)定義，實(shí)質(zhì)就是基礎(chǔ)解系和基是特殊的向量組的最大無關(guān)組。

線性代數(shù)這門學(xué)科在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，是很多實(shí)際問題數(shù)學(xué)語言描述和核心算法的基礎(chǔ)。所以在線性代數(shù)教學(xué)中我們不應(yīng)只關(guān)注學(xué)員是否會(huì)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，更應(yīng)強(qiáng)調(diào)學(xué)員對基本概念的理解和掌握，注重培養(yǎng)其抽象思維能力和邏輯推斷能力及分析問題和解決問題的能力，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。