微元法及其應(yīng)用的探討*

殷紅燕

（中南民族大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院）

一、引言

定積分是高等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析中非常重要的概念，而微元法是將積分理論應(yīng)用到實(shí)際中的重要方法，是聯(lián)系理論與實(shí)際的橋梁。

很多教材對(duì)微元分都有介紹。例如文[1]對(duì)微元法的描述為：定積分所計(jì)算的是某個(gè)函數(shù)F(x)的改變量F(b) -F(a)，通過分割、近似、求和、取極限可得到積分式而這個(gè)積分式與微分式是等價(jià)的。因此可將以上四個(gè)步驟歸結(jié)為兩步：(1)求出F(x)的微分式，其中f(x)是已知的；（2）將微分式積分得這就是微元法的思想原理，它是對(duì)積分的四個(gè)步驟的一個(gè)簡(jiǎn)化。但文中沒有說明在求的近似值時(shí)，該用怎樣的量f(x)Δx來近似。

文[2]則要我們?cè)囍业竭@樣一個(gè)ΔF的近似式:它是Δx的一次式，而它與ΔF也許只差一個(gè)比Δx高階的無窮小,可也沒說清楚該如何去找這樣的一個(gè)近似式，或者說即使找到了一個(gè)這樣的形如f(x)Δx的式子，它是否就一定滿足與ΔF只差是比Δx高階的無窮小呢?在文[3]中雖然特別強(qiáng)調(diào)要嚴(yán)格檢驗(yàn)ΔF與所求得的f(x)Δx之差是否為Δx高階的無窮小，以確保所求結(jié)果的正確性，但同樣沒有說明該如何去檢驗(yàn)，或者說如何去求滿足這樣要求的形如f(x)Δx的表達(dá)式。還有很多學(xué)者對(duì)微元法及其應(yīng)用進(jìn)行了研究，可見文獻(xiàn)[4-8]及其內(nèi)參考文獻(xiàn)，但對(duì)于到底用什么樣的方法求出的近似量一定是滿足要求的這一問題上都沒有給出明確回答。這使得教師在教學(xué)中往往只能拘泥于課本中所給的例子進(jìn)行套用，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，難以領(lǐng)會(huì)其精髓，特別是在求與微元小物體有關(guān)的近似量時(shí)，很難弄清楚所求的量是否滿足要求。

為此，本文對(duì)微元法進(jìn)行了進(jìn)一步的探討，特別是對(duì)用什么樣的方法求出的近似量一定是滿足要求的這一問題作了詳盡的研究，并以多種方法求解球的表面積和體積為例，說明如何靈活應(yīng)用微元法解決問題。最后，指出在應(yīng)用微元法時(shí)需要注意的問題，為教師在教學(xué)中提供一些思路。

二、微元法

微元法又稱為元素法，實(shí)際上就是求某種與物體有關(guān)的量的方法。要使用微元法必須要明確兩個(gè)問題：1）什么樣的量可以用微元法來求？2）如果一個(gè)量可以用微元法來求，如何求？

首先，回答第一個(gè)問題。

如果一個(gè)量u分布在物體Ω上，或者說量的值依賴于物體Ω，并且量u對(duì)物體Ω具有代數(shù)可加性，其中代數(shù)可加性包括可分性和可和性。所謂可分性是指：如果將物體Ω分成若干個(gè)與Ω同型的小物體這里同型是指現(xiàn)實(shí)世界中可將物體理想化的分成五種類型物體——直線型，曲線型，平面型，曲面型，立體型，則對(duì)應(yīng)的量u也相應(yīng)的被分成各自僅依賴于小物體ΔΩi的部分量可和性是指量u等于所有依賴于小物體ΔΩi的部分量Δui之和，即凡是滿足上述兩個(gè)條件的量u均可用物體Ω上的微元法來求。

對(duì)應(yīng)于物體Ω的五類情形：直線型、曲線型、平面型、曲面型和立體型，相應(yīng)的微元法依次可稱為定積分的微元法、第一型曲線積分的微元法、二重積分的微元法、第一型曲面積分的微元法和三重積分的微元法。

對(duì)于第二個(gè)問題，解決方法如下：

第一步：在物體Ω上任取一微元小物體dΩ，這里dΩ既表示該小物體，也表示該小物體的度量。在教學(xué)過程中要提醒學(xué)生這樣理解這一微元小物體，那就是可以將這一微元小物體近似看成一個(gè)有度量的質(zhì)點(diǎn)，并且這一質(zhì)點(diǎn)位于相應(yīng)的空間一點(diǎn)P的位置。若對(duì)應(yīng)的物體是直線狀物體，則物體位于閉區(qū)間[a,b]上，于是對(duì)應(yīng)的微元小物體位于區(qū)間[a,b]上的任一小區(qū)間 [x,x+dx]之上，小物體的長(zhǎng)度用dx表示。若將微元小物體當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)看，要這樣理解這一微元小區(qū)間 [x,x+dx]：該微元小區(qū)間有長(zhǎng)度dx，但該微元小區(qū)間上僅有一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)就是x。若對(duì)應(yīng)的物體是平面型物體，則該物體位于xoy平面上某一區(qū)域D上，于是對(duì)應(yīng)的微元小物體位于區(qū)域D上的任一微元小區(qū)域dσ上，小區(qū)域的面積用dσ表示，若將微元小物體當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)看，要這樣理解這一微元小區(qū)域dσ：該區(qū)域有面積dσ，但該區(qū)域上僅有一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)的坐標(biāo)就是(x,y)。其他三種情形類似。

第二步：計(jì)算出量u位于微元小物體dΩ上的部分量Δu的近似值du。

這一步是正確應(yīng)用微元法求解量u的關(guān)鍵，也是讓學(xué)生最難理解和掌握的。用什么樣的方法去計(jì)算得到的Δu的近似值，才是滿足要求的du呢？本文給出的判別標(biāo)準(zhǔn)是:微元小物體dΩ上的部分量Δu與其所求得的近似值du之差必須是微元小物體的度量dΩ的高階無窮小，而且du是dΩ的線性齊次函數(shù)，即：du=f(P) dΩ ， 其 中f(P)d是 已知的。

在實(shí)際應(yīng)用中又如何使du的表達(dá)式正好滿足上面的要求呢? 事實(shí)上，在求du的過程中只要堅(jiān)持做到“以直代曲”即可保證所求的量滿足要求。所謂“以直代曲”，通俗一點(diǎn)說就是“以直線代曲線，以平面代曲面”，或者說“以微元小曲線段上一點(diǎn)的切線段代替該點(diǎn)附近的微元小曲線段，以微元小曲面片上一點(diǎn)的切平面片代替該點(diǎn)附近的微元小曲面片”。做到這一點(diǎn)，求出du的表達(dá)式，并忽略其中含dΩ高階無窮小部分即可。雖然用此方法求du的表達(dá)式可能會(huì)比憑直觀判斷所采用的方法稍復(fù)雜一些，但一定是正確的。

第三步：對(duì)第二步中所求得的du=f(P) dΩ在物體Ω上積分，即可得到要求的量

三、用微元法求半徑為R的球的表面積

下面通過用不同方法求解半徑為R的球的表面積來具體說明應(yīng)用微元法時(shí)近似量的求法。

方法一：應(yīng)用定積分的微元法，如圖1所示。

圖1 應(yīng)用定積分微元法

方法二：應(yīng)用二重積分的微元法，如圖2所示。

圖2 應(yīng)用二重積分微元法

其中γ為上半球面在該點(diǎn)的切平面的法向量與z軸的夾角.

方法三：在圓周角[0,2π]上任取一微元小區(qū)間 [θ,θ+ dθ]（如圖3所示）, 則對(duì)應(yīng)的含在兩半球面之間有一小片球面。

圖3 在圓周角上取微元小區(qū)間

四、結(jié)語

微元法在物理、化工、經(jīng)濟(jì)等方面都有廣泛應(yīng)用，正確應(yīng)用微元法可以將積分學(xué)更好的運(yùn)用于解決實(shí)際問題。掌握好微元法的關(guān)鍵就是要正確求出與微元小物體有關(guān)量的近似量，本文對(duì)此給出了方法并舉例說明。

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