預(yù)李H-偽代數(shù)的推廣*

劉琳琳

(河南工學(xué)院 理學(xué)部,河南 新鄉(xiāng) 453003)

0 引言

偽代數(shù)作為共形代數(shù)[1]的自然推廣,與非線性演化方程中Ritt-哈密頓形式的微分李代數(shù)有密切關(guān)系[2]。偽代數(shù)的概念最早由Bakalov、D'Andrea和Kac在偽張量范疇中引入[3]。簡單來說,偽張量范疇就是一個帶有多重線性映射且滿足相應(yīng)復(fù)合法則的范疇。我們考慮特殊的偽張量范疇M*(H),設(shè)H是一個余交換的Hopf代數(shù),偽張量范疇M*(H)中的對象為左H-模,并且?guī)в刑厥獾膫螐埩拷Y(jié)構(gòu)

2001年,Kac等人在文獻[3]中定義且研究了偽張量范疇M*(H)中的李代數(shù)和結(jié)合代數(shù),分別稱為李H-偽代數(shù)和結(jié)合H-偽代數(shù)。隨后Wu在這個范疇中定義了預(yù)李(或左對稱)代數(shù)和Leibniz代數(shù),分別稱為預(yù)李(或左對稱)H-偽代數(shù)[4]和LeibnizH-偽代數(shù)[5]。2012年,Sun通過H-模同態(tài)將李(特別地,結(jié)合)H-偽代數(shù)推廣到Hom的情形,稱為Hom-李(特別地, Hom-結(jié)合)H-偽代數(shù)[6]?；诖?本文主要研究Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)以及其構(gòu)造。

本文所有的向量空間、線性映射和張量積都是在特征為0的域K上。若無特別聲明,H均表示余交換的Hopf代數(shù),對于任何向量空間V以及V中的元素f、g、h,我們定義(13)(f?g?h)=h?g?f,(23)(f?g?h)=f?h?g以及σ(f?g)=g?f。類似地,還有符號(12)、(123)、(132)等。

1 預(yù)備知識

本節(jié)我們回顧偽代數(shù)的相關(guān)定義。

定義1[4]預(yù)李H-偽代數(shù)是一個二元組(A,*),其中A是一個左H-模, *∈HomH?H(A?A,(H?H)?HA)(*稱為偽積),滿足

(x*y)*z-x*(y*z)=((12)?Hid)((y*x)*z-y*(x*z))

其中x,y,z∈A。

定義2[6]Hom-結(jié)合H-偽代數(shù)是一個三元組(A,*,α),其中A是一個左H-模, *∈HomH?H(A?A,(H?H)?HA),α∈HomH(A,A),滿足

(x*y)*α(z)=α(x)*(y*z)

其中x,y,z∈A。

定義3[6]Hom-李H-偽代數(shù)是一個三元組(L,[*],α),其中L是一個左H-模,[*]∈HomH?H(L?L,(H?H)?HL)([*]稱為偽括號),α∈HomH(L,L),滿足斜-交換性:[a*b]=-(σ?Hid)[b*a],Hom-雅可比等式:[[a*b]*α(c)]=[α(a)*[b*c]]-((12)?Hid)[α(b)*[a*c]],其中a,b,c∈L。

2 Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)

下面給出Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)的定義。

定義4左(特別地,右)Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)是一個三元組(A,*,α),其中A是一個左H-模,*∈HomH?H(A?A,(H?H)?HA),α∈HomH(A,A),滿足

(x*y)*α(z)-α(x)*(y*z)=((12)?Hid)((y*x)*α(z)-α(y)*(x*z))

(特別地,(x*y)*α(z)-α(x)*(y*z)=((23)?Hid)((x*z)*α(y)-α(x)*(z*y)))

其中x,y,z∈A。

注釋:(1)如無特別說明,下文所說的Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)均指左的情況。

(2)顯然,任一Hom-結(jié)合H-偽代數(shù)都是Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)。

(3)當H=K時,Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)即為預(yù)李H-偽代數(shù);當α=id時,Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)便退化為Hom-預(yù)李代數(shù)。

Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)(A,*,α)稱為可乘的,若[α(a),α(b)]=(idH?2?Hα)[a,b]。例如,一個預(yù)李H-偽代數(shù)關(guān)于α=id∈HomH(A,A)是一個可乘的Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)。

定義5設(shè)(A,*,α)和(A′,*′,α′)是兩個Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)。若對于任意的a,b∈A滿足f°α=α°f和(idH?2?Hf)(a*b)=f(a)*′f(b),則稱H-線性映射f:(L,*,α)→(L′,*′,α′)為Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)同態(tài)。

接下來我們給出左和右Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)之間的關(guān)系。

證 對于任意的x,y,z∈A,我們有

=((13)?Hid)(α(z)*(y*x)-(z*y)*α(x))

=((13)(12)?Hid)(α(y)*(z*x)-(y*z)*α(x))

=((123)?Hid)(α(y)*(z*x)-(y*z)*α(x))

=((123)?Hid)(α(y)*(z*x)-(y*z)*α(x))

=((23)?Hid)((13)?Hid)(α(y)*(z*x)-(y*z)*α(x))

下面我們給出Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)的構(gòu)造定理。

定理1設(shè)(A,*)是一個預(yù)李H-偽代數(shù),α是A上的自同態(tài)(即α(x)*α(y)=(id?Hα)(x*y))。定義x*αy∈HomH(A?A,(H?H)?HA)為

x*αy=α(x)*α(y)=(id?Hα)(x*y)

則(A,*α,α)是一個可乘的Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)。

是一個可乘的Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)同態(tài)。

證因為α是A上的自同態(tài),則

(x*αy)*αα(z)=(id?Hα)(x*y)*αα(z)

=(id?Hα)((id?Hα)(x*y)*α(z))=(id?Hα2)((x*y)*z)

類似地,有α(x)*α(y*αz)=(id?Hα2)(x*(y*z))。所以

(x*αy)*αα(z)-α(x)*α(y*αz)=(id?Hα2)((x*y)*z-x*(y*z))

=(id?Hα2)((12)?Hid)((y*x)*z-y*(x*z))

=((12)?Hid)(id?Hα2)((y*x)*z-y*(x*z))

=((12)?Hid)((y*αx)*αα(z)-α(y)*α(x*αz))

另一方面,α(x)*αα(y)=(id?Hα)(α(x)*α(y))=(id?Hα)(x*αy)。故(A,*α,α)是一個可乘的Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)。因為f°α=β°f,故

(id?Hf)(x*αy)

=(id?Hf)(id?Hα)(x*y)=(id?Hf°α)(x*y)

因此f是一個可乘的Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)同態(tài)。

更一般地,我們可以得到一類可乘的Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)。

定理2設(shè)(A,*,α)是一個可乘的Hom-預(yù)李H-偽代數(shù),則

An=(A,*n=(id?Hα2n-1)°*,β=α2n)

也是可乘的Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)。

證注意到A0=(A,*,α),A1=(A,*1=(id?Hα)°*,β=α2),以此類推,可知An+1=(An)1。因此我們只需要驗證n=1的情形即可,即證明A1是一個可乘的Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)。對于任意的x,y,z∈A,可知

(x*1y)*1β(z)=(id?Hα)(x*y)*1α2(z)=(id?Hα2)((x*y)*α(z)),

β(x)*1(y*1z)=α2(x)*1(id?Hα)(y*z)=(id?Hα2)(α(x)*(y*z))

因此我們有

(x*1y)*1β(z)-β(x)*1(y*1z)

=(id?Hα2)((x*y)*α(z)-α(x)*(y*z))

=(id?Hα2)((12)?Hid)((y*x)*α(z)-α(y)*(x*z))

=((12)?Hid)((y*1x)*1β(z)-β(y)*1(x*1z))

另一方面,易證*1∈HomH?H(A?A,(H?H)?HA),β∈HomH(A,A),故結(jié)論成立。

3 從Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)到Hom-李H-偽代數(shù)

本節(jié)我們從Hom-預(yù)李H-偽代數(shù)出發(fā)來構(gòu)造Hom-李H-偽代數(shù)。

定理3設(shè)(A,*,α)是一個可乘的Hom-預(yù)李H-偽代數(shù),定義偽括號[*]為

[x*y]=x*y-(σ?Hid)(y*x),?x,y∈A

則(A,[*],α)是一個可乘的Hom-李H-偽代數(shù)。

證對于任意的x,y∈A,我們有

[x*y]=x*y-(σ?Hid)(y*x)

=-(σ?Hid)(y*x-(σ?Hid)(x*y))

=-(σ?Hid)[y*x]

因此偽括號[*]滿足斜-交換性。下證Hom-雅可比等式,對于任意的x,y,z∈A,我們有

[α(x)*[y*z]]=α(x)*(y*z)-((123)?Hid)((y*z)*α(x))

-((23)?Hid)(α(x)*(z*y))+((13)?Hid)((z*y)*α(x))

上式中交換x和y的位置可得

[α(y)*[x*z]]=α(y)*(x*z)-((123)?Hid)((x*z)*α(y))

-((23)?Hid)(α(y)*(z*x))+((13)?Hid)((z*x)*α(y))

類似地,

[[x*y]*α(z)]=(x*y)*α(z)-((132)?Hid)(α(z)*(x*y))

-((12)?Hid)((y*x)*α(z))+((13)?Hid)(α(z)*(y*x))

利用以上等式可得

[α(x)*[y*z]]-((12)?Hid)[α(y)*[x*z]]-[[x*y]*α(z)]

=α(x)*(y*z)-((123)?Hid)((y*z)*α(x))-((23)?Hid)(α(x)*(z*y))

+((13)?Hid)((z*y)*α(x))-((12)?Hid)(α(y)*(x*z))

+((23)?Hid)((x*z)*α(y))+((123)?Hid)(α(y)*(z*x))

-((132)?Hid)((z*x)*α(y))-(x*y)*α(z)+((132)?Hid)(α(z)*(x*y))

+((12)?Hid)((y*x)*α(z))-((13)?Hid)(α(z)*(y*x))

=α(x)*(y*z)-(x*y)*α(z)-((123)?Hid)((y*z)*α(x)-α(y)*(z*x))

-((23)?Hid)(α(x)*(z*y)-(x*z)*α(y))

+((13)?Hid)((z*y)*α(x)-α(z)*(y*x))

-((12)?Hid)(α(y)*(x*z)-(y*x)*α(z))

-((132)?Hid)((z*x)*α(y)-α(z)*(x*y))

=0

證畢。