面積與體積共舞，方法與思想齊飛

王定暢

（寧波科學(xué)中學(xué) 浙江寧波 315336）

一、教學(xué)內(nèi)容分析

本節(jié)課選自人教版普通高中教科書第二冊第八章第三節(jié)，本節(jié)課為第二課時(shí)。球的體積和表面積公式立體幾何中的一個(gè)重要的問題，其公式的推導(dǎo)有多種方法，同時(shí)也體現(xiàn)了多種重要的數(shù)學(xué)思想，例如無限分割的思想、類比的思想、極限的思想等等。在這節(jié)的教學(xué)中，教科書直接給出了球的表面積公式，在這基礎(chǔ)上推導(dǎo)球的體積公式。事實(shí)上，球的表面積和球的體積公式是存在聯(lián)系的，因此我們也可以先推導(dǎo)球的體積公式，進(jìn)而得到球的表面積公式。

因此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)：①通過類比、極限的思想得到球的體積和表面積的關(guān)系。②利用祖暅原理構(gòu)造模型推導(dǎo)球的體積公式。而該模型的構(gòu)造也是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。

二、學(xué)習(xí)目標(biāo)分析

1.通過類比圓的面積推導(dǎo)，猜想證明球的體積和表面積的關(guān)系。

2.通過祖暅原理和極限分割思想，推導(dǎo)球的體積公式。

三、學(xué)生學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)這節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)有了用分割的方法推導(dǎo)圓的表面積計(jì)算公式的方法和經(jīng)驗(yàn)，而圓的面積公式的推導(dǎo)本質(zhì)上是一種“以直代曲”的重要的方法，同時(shí)也蘊(yùn)含著極限這一重要的數(shù)學(xué)思想。此外，學(xué)生剛學(xué)習(xí)了圓柱和圓錐的體積計(jì)算公式，對于圓柱和圓錐的幾何結(jié)構(gòu)有了一定的認(rèn)識(shí)，這為之后的祖暅原理的模型構(gòu)建提供了幫助。

三、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.回顧舊知，探索新知

教師首先和學(xué)生一起回顧圓的面積公式的推導(dǎo)過程，學(xué)生掌握的方法是將圓n等分，用該內(nèi)接正n邊形的面積來逼近圓的面積，由此可得：

這樣便得到了圓的面積和其周長的關(guān)系。因此，通過轉(zhuǎn)化就將推導(dǎo)圓的面積公式問題轉(zhuǎn)化為了推導(dǎo)圓的周長公式。這一思想為之后研究球的體積和表面積做了鋪墊。

設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生現(xiàn)有的知識(shí)出發(fā)，回顧圓的周長與面積的關(guān)系，從而猜想球的表面積和球的體積也具有類似的關(guān)系，感受二維和三維空間在處理一些問題時(shí)相通的思想方法。事實(shí)上，在立體幾何的學(xué)習(xí)和教學(xué)中我們經(jīng)?？梢园l(fā)現(xiàn)，三維空間中的很多結(jié)論是二維平面的延伸或推廣，因此引導(dǎo)學(xué)生如何將一個(gè)立體的問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面的問題是非常有必要的。

問題1：類似于將圓n等分，對于球我們又應(yīng)該如何切割呢？如果可以，能否切割成我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過的幾何體呢？

（學(xué)生分小組討論，并請每個(gè)小組派代表分享他們的討論結(jié)果。分割的方法大體分為兩

種：將球分割成一些“小椎體”，或者將球分割成“土豆片”）

設(shè)計(jì)意圖：通過提問，瞬間將任務(wù)分配給學(xué)生，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思考積極性。由于球的切割方式多種對樣，因此每個(gè)人可能都會(huì)有不同的想法，故在這一教學(xué)環(huán)節(jié)采用的是讓學(xué)生小組討論的方式，同時(shí)也能活躍課堂氣氛。在討論和展示過程中讓學(xué)生體驗(yàn)極限分割的思想，從現(xiàn)有的椎體的體積公式來推導(dǎo)球的體積公式，這也符合學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)原則。同時(shí)，采用小組討論的形式也能夠讓每個(gè)人都能積極思考，最終取長補(bǔ)短，活躍學(xué)生思維。

在各小組討論的過程中，預(yù)設(shè)會(huì)產(chǎn)生將球分割成如下圖所示的幾何體。

追問1：如果我們將球分割成如圖所示的“小椎體”，那么這些小椎體的體積如何計(jì)算？他們的高又是什么呢？

而為了使得近似的體積能夠和原幾何體的真實(shí)體積相差無幾，我們只要讓分割無限小就可以了，并且此時(shí)可將球的半徑R近似地作為高ih。

追問2：若將球分割成無數(shù)個(gè)這樣的“小椎體”，那么又可以得到一個(gè)什么樣的式子呢？

（學(xué)生在課堂上獨(dú)立推導(dǎo)，在這過程中體會(huì)感悟體積和表面積關(guān)系式的得出）

由此得到了球的體積和表面積的關(guān)系式。

設(shè)計(jì)意圖：教材中的處理方式是直接給出了球的表面積公式，再利用該關(guān)系式得到球的體積計(jì)算公式。而實(shí)際上通過上述教學(xué)過程，我們可以引導(dǎo)學(xué)生從極限的思想得到球表面積和體積的關(guān)系，通過其他方式先求得球的體積公式，進(jìn)而便可得到球的表面積公式，不需要直接給出。恰恰相反，如果直接給出球的表面積公式，可能失去了這節(jié)課學(xué)習(xí)的意義，因此設(shè)計(jì)該教學(xué)過程是有意義的。

追問3：從等式中我們可以發(fā)現(xiàn)，球的體積和表面積公式是有關(guān)系的，我們只需要求一個(gè)就足夠了，那么應(yīng)該先求球的體積還是表面積呢？

（學(xué)生分小組討論，有的學(xué)生可能會(huì)提出將球面“拍扁”的方式來推導(dǎo)球的表面積公式，但是很快學(xué)生也會(huì)發(fā)現(xiàn)將球面“拍扁”是不可行的，因此會(huì)更傾向于先推導(dǎo)球的體積公式。但是由于缺少一定的理論基礎(chǔ)，學(xué)生往往會(huì)從實(shí)際實(shí)驗(yàn)的方法出發(fā)，比如用阿基米德原理來給出球體積的計(jì)算方法，缺少嚴(yán)格的證明）

設(shè)計(jì)意圖：球的體積推導(dǎo)有諸多方法，其中國內(nèi)比較著名的當(dāng)屬利用祖暅原理。因此通過利用祖暅原理推導(dǎo)球的體積計(jì)算公式，能讓學(xué)生感受到古人的智慧，增強(qiáng)學(xué)生的民族自信心和榮譽(yù)感，同時(shí)也將數(shù)學(xué)文化滲透到了日常的教學(xué)中。

2.構(gòu)造模型，推導(dǎo)公式

首先可向?qū)W生介紹祖暅原理及其由來：祖暅為祖沖之之子，南北朝時(shí)取的偉大科學(xué)家。祖暅在教師數(shù)學(xué)上作出了突出貢獻(xiàn)，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上，于5世紀(jì)末提出了下面的體積計(jì)算原理：“冪勢既同，則積不容異”。這就是“祖暅原理”?！皠荨奔词歉?，“冪是面積，祖暅原理用現(xiàn)代語言學(xué)可以描述為：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等。

設(shè)計(jì)意圖：近年來，數(shù)學(xué)教學(xué)越來越強(qiáng)調(diào)學(xué)生對于數(shù)學(xué)文化以及數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)?？梢赃@樣說，數(shù)學(xué)史就是數(shù)學(xué)方法史，只有深深扎根在學(xué)生頭腦中的數(shù)學(xué)思想方法隨時(shí)隨地地發(fā)揮作用，才能使他們終生受益。同時(shí)，學(xué)習(xí)古人先進(jìn)的數(shù)學(xué)思想方法，從情感態(tài)度與價(jià)值觀來看，又非常有利于培養(yǎng)學(xué)生的愛國心，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感。

問題2：根據(jù)祖暅原理，如何構(gòu)造模型來推導(dǎo)球的體積公式呢？

（由于該模型的構(gòu)造具有較大的難度，因此這里采用小組討論的方式展開教學(xué)，充分發(fā)揮集體的智慧）

設(shè)計(jì)意圖：在這節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓柱和圓錐的體積計(jì)算公式，因此學(xué)生能夠比較容易地想到這兩個(gè)幾何體。并且這兩個(gè)幾何體的截面中均有圓的出現(xiàn)，因此這樣提問能很快引導(dǎo)學(xué)生往這兩個(gè)幾何體去思考。

追問1：我們先推導(dǎo)半球的體積計(jì)算公式，并且將大圓面放在一個(gè)平面中，那么根據(jù)祖暅原理，我們選取的幾何體應(yīng)該滿足什么條件呢？

設(shè)計(jì)意圖：幫助學(xué)生再次認(rèn)識(shí)利用祖暅原理推導(dǎo)幾何體體積的根本原理，明確構(gòu)造的方向和要求：將半球和幾何體夾在兩平行平面之間，并使得用任意平行平面去截這兩個(gè)幾何體，截得的截面面積相等。在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)中，采用的是學(xué)生探究為主，教師點(diǎn)撥啟發(fā)為輔的策略，可以讓學(xué)生先談?wù)勛约旱南敕?，如果遇到困難，教師予以幫助。具體可以按以下幾個(gè)步驟引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造：

（1）假設(shè)該平面截得的球的截面為圓1O，且設(shè)OO=h1，則所以該平面截另一個(gè)幾何體所得的截面面積亦為請同學(xué)們思考什么平面圖形的面積是具有這樣的結(jié)構(gòu)？

（2）該結(jié)構(gòu)的面積可認(rèn)為是一個(gè)大圓的面積減去一個(gè)小圓的面積，因此可以聯(lián)想到的是圓環(huán)，且該圓環(huán)的外圈半徑為定植R，內(nèi)圈半徑為變量r。且從俯視圖看，r隨著h的增大而減小，當(dāng)h=0時(shí)，內(nèi)圈變?yōu)橐粋€(gè)點(diǎn)。因此從俯視圖來看，該截面為一個(gè)大圓中有一個(gè)同心的小圓隨著高度的增加在不斷擴(kuò)大，直到和大圓重合。由此可聯(lián)想到構(gòu)造的幾何體為一個(gè)半徑和高度均為R的圓柱體中挖去一個(gè)地面半徑為R，高度為R的圓錐。

設(shè)計(jì)意圖：從球的截面出發(fā)，結(jié)合截面的面積形式引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系之前所學(xué)習(xí)的知識(shí)展開聯(lián)想，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)如何由已知來探究未知的過程，體驗(yàn)通過自己分析構(gòu)造模型的成就感，同時(shí)在這個(gè)過程中也讓學(xué)生體會(huì)到了古人的智慧。

3.拓廣思維，深入研究

事實(shí)上，除了將用祖暅原理推導(dǎo)球的體積公式之外，我們還有很多其他的方式進(jìn)行公式的推導(dǎo)，例如在之前學(xué)生可能會(huì)提到地將球切成“土豆片”的方式，如圖所示：

設(shè)計(jì)意圖：①拓廣學(xué)生的思維，再次從“分割”的角度來研究球的相關(guān)問題，進(jìn)而滲透微分的思想。②球的截面問題是高考數(shù)學(xué)中經(jīng)常會(huì)考查的內(nèi)容，而這類問題往往放在一個(gè)由球的半徑、截面半徑以及球心距組成的直角三角形中解決，因此在平時(shí)教學(xué)中也可以不斷向?qū)W生滲透這樣的思想方法。

四、課堂小結(jié)

問題3：本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識(shí)？有哪些收獲？

（1）學(xué)習(xí)通過類比的思想研究球。

（2）在公式的推導(dǎo)中體會(huì)數(shù)學(xué)中一種重要的思想：極限思想。

（3）在探究過程中體會(huì)構(gòu)造模型的方法，在公式推導(dǎo)中感悟古人的智慧。

六、教學(xué)反思

1.不論是在教材中還是在教參的教學(xué)建議中，對這節(jié)課它們采用的都是直接給出球的表面積公式和推導(dǎo)球的體積公式的模型，缺乏一個(gè)猜想、探究、證明的過程，對于培養(yǎng)程度較好的學(xué)生的思維是不利的。

2.本節(jié)課采用的是學(xué)生自主探究為主，教師點(diǎn)撥啟發(fā)為輔的教學(xué)方式，因此在課堂中應(yīng)該把更多的時(shí)間交給學(xué)生去討論，去思考，更多地讓學(xué)生上臺(tái)講解等。

3.老教材對于球的體積和表面積公式地給出比較簡單，采用的是直接給出公式的方法，同時(shí)在對應(yīng)公式的右側(cè)均標(biāo)注了“這個(gè)公式以后可以證明”的字樣。這樣的設(shè)計(jì)雖然可以節(jié)約很多時(shí)間，能讓學(xué)生快速記憶并應(yīng)用于計(jì)算，但不利于對于學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)教學(xué)。但是新教材在這兩個(gè)的公式地給出上，力圖向?qū)W生滲透近代數(shù)學(xué)的思想方法，同時(shí)也想兼顧學(xué)生的接受能力，對這一塊內(nèi)容的處理方法包含較深刻的變化思想。其中涉及了“平與曲”“近似與準(zhǔn)確”“有限與無限”的轉(zhuǎn)化，這些轉(zhuǎn)化對于學(xué)生來說都是一個(gè)方法和思想上的飛躍。因此，如此教學(xué)勢必會(huì)有一定的難度，對教師有較高的要求。但是只要教師設(shè)計(jì)合理，對教材和教法處理得當(dāng)，注意從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，設(shè)計(jì)各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)來攻克教學(xué)難點(diǎn)，幫助學(xué)生克服這些困難是完全有可能的。