帶p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程共振無窮多點(diǎn)邊值問題解的存在性

孔凡亮，薛婷婷，付麗娜，陳 星

(新疆工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830023)

0 引言

近年來，分?jǐn)?shù)階微分方程在科學(xué)與工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，比如化學(xué)物理、非牛頓流體力學(xué)、高分子材料的解鏈等[1-5].為解決自然科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域中眾多復(fù)雜的問題，越來越多的科學(xué)工作者致力于分?jǐn)?shù)階微分方程的研究.文獻(xiàn)[6]利用錐上的不動(dòng)點(diǎn)指數(shù)理論，研究了帶有雙參數(shù)的非線性邊值問題在不同增長(zhǎng)性條件下正解的存在性、多解性和不存在性.文獻(xiàn)[7]運(yùn)用Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理和Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理證明了非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題正解的存在性.文獻(xiàn)[8]運(yùn)用迭代技巧得到了一類分?jǐn)?shù)階微分方程無窮多點(diǎn)邊值問題唯一解的存在性.文獻(xiàn)[9]研究了下列無窮多點(diǎn)問題：

p-Laplacian方程來源于非線性彈性力學(xué)和非牛頓流體理論.近幾年，分?jǐn)?shù)階p-Laplacian問題取得了很多有價(jià)值的成果[11-15].文獻(xiàn)[16]利用上下解方法，給出了p-Laplacian問題正解的存在性：

其中：0<α，β≤1；CDα是Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)；φp()是由φp(s)=|s|p-2s(s≠0，p>1)，φp(0)=0定義的p-Laplacian算子.文獻(xiàn)[18]利用Mawhin連續(xù)定理研究了帶有p-Laplacian算子的微分方程共振問題解的存在性：

文獻(xiàn)[18]將上述問題轉(zhuǎn)換為下列線性問題：

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1.1[19]函數(shù)x：(1，+∞)→的α階(α>0)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為

(2)

這里等式右端逐點(diǎn)定義在(0，+∞)上.

定義1.2[19]函數(shù)x：(0，+∞)→的α階(α>0)Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

(3)

其中n=[α]+1，[α]表示α的整數(shù)部分，等式右端逐點(diǎn)定義在(0，+∞)上.

(1)Lx≠λNx，對(duì)任意的(x，λ)∈[(domL〗KerL)∩?Ω]×(0，1)；

(2) Nx?ImL，對(duì)任意的x∈KerL∩?Ω；

(3)deg(QN)|KerL，Ω∩KerL，0)≠0.

則方程Lx=Nx在domL∩Ω上至少有一個(gè)解.

2 問題(1)的主要結(jié)論

考慮如下問題：

(4)

(5)

其中

引理2.1 令L由(5)式定義，那么

KerL={u∈domL|u(t)=ctβ-1，c∈，?t∈[0，1]}，

?t∈[0，1]，線性連續(xù)投影算子P：X→X和Q：Y→Y，定義：

顯然，ImP=KerL，KerQ=ImL，X=KerL?KerP，Y=ImL?ImQ，dimKerL=dimImQ=codimImL=1.因此，L是零指標(biāo)的Fredholm算子.

定義算子KP:ImL→domL∩KerP，

顯然，KPLu=u，u∈domL∩KerP，LKP=y，y∈ImL，i.e.KP=(L|domL∩KerP)-1.

|KP，Qu(t2)-KP，Qu(t1)|=

定理2.1 如果下列假設(shè)成立，則問題(4)至少有一個(gè)解.

(H1) 如果存在常數(shù)M0>0，使得|u(t)|>M0，t∈[0，1]，那么下列二式成立其一：

(6)

(7)

(H2) 存在非負(fù)函數(shù)a(t)，b(t)，c(t)與A，B，C<+∞和B+C<Γ(β)/2滿足

引理2.3 如果假設(shè)(H1)和(H2)成立，則集合

Ω1={u(t)|Lu(t)=λNu(t)，u(t)∈domL〗KerL，λ∈(0，1)}

是有界的.

證明對(duì)u(t)∈Ω1，可得Nu∈ImL.從而QNu(t)=0，也就是說

由假設(shè)(H1)，存在t0∈[0，1]滿足|u(t0)|≤M0.根據(jù)Lu=λNu，有

(8)

(9)

因此，由(8)，(9)式和假設(shè)(H2)，有

引理2.4 如果假設(shè)(H1)成立，那么集合

Ω2={u|u∈KerL，Nu∈ImL}

是有界的.

證明如果u(t)∈Ω2，那么u(t)=ctβ-1，c∈并且Nu∈ImL.從而

應(yīng)用假設(shè)(H1)，‖u‖=|c|≤M0.從而Ω2是有界的.

引理2.5 如果假設(shè)(H1)成立，那么集合

Ω3={u|u∈KerL，λJ-1u+(1-λ)QNu=0，λ∈[0，1]}

是有界的，其中J-1：KerL→ImQ是同胚映射，J-1(ctβ-1)=ctβ-1，c∈.

證明如果u∈Ω3，那么u(t)=ctβ-1，c∈且λ(ctβ-1)+(1-λ)QN(ctβ-1)tβ-1=0，從而

(10)

如果λ=0，QN(csβ-1)=0.根據(jù)假設(shè)(H1)，|c|≤M0.如果λ=1，則c=0.對(duì)λ∈(0，1)，由(10)和(6)式，可得|c|≤M0.否則，如果|c|>M0，那么問題(10)可以寫成如下形式：

由(6)式得

這與c2λ>0矛盾.那么|c|≤M0，因此Ω3是有界的.

引理2.6 如果假設(shè)(H1)成立，那么集合

是有界的，其中J-1：KerL→ImQ是同胚映射.

證明過程類似于引理2.5，此處略去.

定理2.1的證明

證明令r∈足夠大，則有其中Ω={u|u∈X，‖u‖

(ⅰ)Lu≠λNu，(u，λ)∈[(domL〗KerL)∩?Ω]×(0，1)；

(ⅱ) Nu?ImL，u∈KerL∩?Ω.

令

H(u，λ)=±λJ-1(u)+(1-λ)QNu.

由引理2.5和引理2.6，可知H(u，λ)≠0，這里u∈KerL∩?Ω，λ∈[0，1]，那么

deg(JQN|KerL，Ω∩KerL，0)=deg(H(·，0)，Ω∩KerL，0)=deg(±I，Ω∩KerL，0)≠0.

3 例子

考慮如下問題：

(11)