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    周期環(huán)境下尺度結(jié)構(gòu)隨機種群擴散系統(tǒng)的最優(yōu)收獲

    2022-09-28 09:29:38
    關(guān)鍵詞:擴散系數(shù)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

    卜 紅 彧

    (遼東學(xué)院師范學(xué)院數(shù)學(xué)系,遼寧 丹東 118003)

    1 問題的提出

    在種群問題的研究過程中,考慮到種群擁擠和生存環(huán)境限制對種群發(fā)展過程的影響,相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型關(guān)于狀態(tài)函數(shù)就是非線性的.文獻[1]研究了年齡和時滯的非擴散種群系統(tǒng)的最優(yōu)生育率控制;文獻[2]研究了年齡結(jié)構(gòu)和加權(quán)的隨機種群系統(tǒng)的最優(yōu)邊界控制;文獻[3]研究了一類污染環(huán)境下具有擴散和年齡結(jié)構(gòu)的隨機種群系統(tǒng)強解的存在唯一性;文獻[4]研究了一類非隨機周期種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲;文獻[5]研究了尺度結(jié)構(gòu)的非擴散隨機種群系統(tǒng)的最優(yōu)輸入率控制;文獻[6-8]研究了個體尺度結(jié)構(gòu)下競爭種群系統(tǒng)的最優(yōu)收獲控制、最優(yōu)邊界控制和最優(yōu)輸入率控制;文獻[9]研究了非隨機種群擴散系統(tǒng)的最優(yōu)收獲條件.在上述基礎(chǔ)上,基于周期環(huán)境,只有考慮到種群的尺度結(jié)構(gòu)、擴散系數(shù)和隨機因素的影響,才更加符合種群生存的實際.本文討論如下具有尺度結(jié)構(gòu)的隨機種群擴散系統(tǒng)(P):

    (1)

    在上述模型中:固定常數(shù)m,T分別表示種群個體最大尺度和系統(tǒng)演變周期,00是種群的空間擴散系數(shù);g(s)表示種群個體尺度的增長率;μ0(s,t,x)≥0是種群的自然死亡率;μ(s,t,x;P)≥0是種群的外界死亡率;β(s,t,x;P)是種群的生育率;g′(s,t,x)dω表示外部環(huán)境對種群系統(tǒng)的隨機擾動,ω(t)為白噪聲;p0(s,x)≥0是時刻t=0初始尺度分布;k(s,t,x)為權(quán)函數(shù).在周期環(huán)境下,v(s,t,x)為系統(tǒng)(P)的收獲率,取v為控制量,性能指標泛函為

    (2)

    討論下面的最優(yōu)收獲控制問題:尋找u∈U,使得

    (3)

    其中容許控制集為

    U={v∈L∞(Q)|0≤v(s,t,x)=v(s,t+T,x)≤L<+∞,a.e.于Q內(nèi)}.

    2 基本假設(shè)

    本文假設(shè)如下條件成立,其中Mi(i=1,2,…,6)為常數(shù):

    (H2)μ(s,t,x;y)與β(s,t,x;y)關(guān)于y二次連續(xù)可微,且

    0≤μ(s,t,x;y),β(s,t,x;y),|μy(s,t,x;y)|,|βy(s,t,x;y)|≤M2a.e.于Q×+上,

    μ(s,t+T,x;P(t+T,x))=μ(s,t,x;P(t,x)),β(s,t+T,x;P(t+T,x))=β(s,t,x;P(t,x));

    (H3) 0≤p0(s,x)≤M3<+∞ a.e.于Ωm內(nèi),滿足相容性條件:

    (H4)g(s)是(0,m)上連續(xù)可微增函數(shù),0

    (H5) 連續(xù)函數(shù)g′(s,t,x)滿足g′(s,t,x)=g′(s,t+T,x);

    (H6) 0≤k(s,t,x)≤M6<+∞于Q內(nèi).

    按照文獻[10]引進一些記號:設(shè)H1(Ω)是Ω上的一階Sobolev空間,即

    V=L2(0,T;H1(Ω))是定義在[0,T]上取值在H1(Ω)中的Hilbert空間.V′為V的對偶空間L2(0,T;(H1(Ω))′).

    定理2[4]設(shè)(H1)—(H6)成立,則問題(3)在U中至少存在一個最優(yōu)控制u∈U.

    3 最優(yōu)收獲條件

    (4)

    其中:

    uλ=u+λ(v-u),0<λ<1;pλ=p(uλ);p=p(u).

    (5)

    由(4)和(5)式有

    (6)

    (7)

    (6)與(7)式作差,將所得方程兩端除以λ>0,令λ→0+易得

    (8)

    定理3 設(shè)u∈U是問題(3)的最優(yōu)收獲控制,則u∈U滿足

    (9)

    證明由性能指標泛函J(v)的結(jié)構(gòu)式(2)和u∈U為最優(yōu)收獲控制及(5)式,對0<λ<1得

    為了變換(9)式,定義如下的共軛系統(tǒng):

    (10)

    q(s,t,x)=q(s,t+T,x),在Q內(nèi);

    (11)

    q(m,t,x)=0,在ΩT內(nèi);

    (12)

    q(s,T,x)=0,在Ωm內(nèi);

    (13)

    q(s,t,x)=0,在∑上;

    (14)

    (15)

    上式等號右邊關(guān)于變量s和t分部積分,并注意到(8)和 (11)—(15)式,得

    所以有與(9)式等價的變分不等式:

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