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    含參Ky Fan不等式與對偶問題解映射的Lipschitz連續(xù)性

    2022-09-28 09:28:02孟旭東蔣海英曾慧平
    關(guān)鍵詞:實(shí)值空子單值

    孟旭東,蔣海英,曾慧平

    (1.南昌航空大學(xué)科技學(xué)院文理學(xué)部,江西 共青城 332020;2.江西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部,江西 南昌 330013)

    1972年,Ky Fan介紹了一類著名的不等式,稱為Ky Fan不等式,在數(shù)學(xué)領(lǐng)域一般簡記KFI[1-2].到目前為止,Ky Fan不等式在不等式分析和優(yōu)化問題研究中起著重要作用.一批學(xué)者已經(jīng)討論了各種形式Ky Fan不等式解的存在性問題[3-6].Ky Fan不等式解的穩(wěn)定性是優(yōu)化理論與應(yīng)用研究中的熱點(diǎn)話題.一般而言,Ky Fan不等式含參解集具有一定的品性,比如上半連續(xù)性、下半連續(xù)性、連續(xù)性、Lipschitz連續(xù)性、H?lder連續(xù)性等[7-16].

    受以上文獻(xiàn)啟發(fā),本文在賦范線性空間中研究含參Ky Fan不等式與對偶問題解映射的Lipschitz連續(xù)性.

    1 預(yù)備知識

    設(shè)X,Λ,M為賦范線性空間,‖·‖和d(·,·)分別表示范數(shù)和距離,K:Λ→2X{?}為閉凸集值映射,f:X×X×M→為實(shí)值映射.

    對每個(gè)(λ,μ)∈Λ×M,考慮含參Ky Fan不等式(記為PKFI):找x0∈K(λ),使得

    f(x0,y,μ)≥0,?y∈K(λ).

    對每個(gè)(λ,μ)∈Λ×M,考慮含參對偶Ky Fan不等式(記為PDKFI):找x0∈K(λ),使得

    f(y,x0,μ)≤0,?y∈K(λ).

    對每個(gè)(λ,μ)∈Λ×M,記(PKFI)與(PDKFI)的有效解集分別為S(λ,μ)和D(λ,μ),即

    S(λ,μ)∶={x∈K(λ)|f(x0,y,μ)≥0,?y∈K(λ)},

    D(λ,μ)∶={x∈K(λ)|f(y,x0,μ)≤0,?y∈K(λ)}.

    本文假設(shè)對每個(gè)(λ,μ)∈Λ×M,S(λ,μ)≠?,D(λ,μ)≠?,討論S(·,·),D(·,·)在Λ×M上的Lipschitz連續(xù)性.

    定義1 設(shè)X為賦范線性空間,B?X為非空凸子集,g:X→為實(shí)值映射.

    (1) 稱g在B上為強(qiáng)凸映射,當(dāng)且僅當(dāng)對任何x,y∈B及t∈(0,1),有

    g(tx+(1-t)y)≤tg(x)+(1-t)g(y)-t(1-t)‖x-y‖.

    (2) 稱g在B上為強(qiáng)凹映射,當(dāng)且僅當(dāng)對任何x,y∈B及t∈(0,1),有

    tg(x)+(1-t)g(y)≤g(tx+(1-t)y)-t(1-t)‖x-y‖.

    定義2[15]設(shè)X為賦范線性空間,B?X為非空子集,g:X×X→為實(shí)值映射.

    (1) 稱g在B×B上為單調(diào)映射,當(dāng)且僅當(dāng)對任何x,y∈B,x≠y,有

    g(x,y)+g(y,x)≤0.

    (2) 稱g在B×B上為偽單調(diào)映射,當(dāng)且僅當(dāng)對任何x,y∈B,x≠y,有

    g(x,y)≥0?g(y,x)≤0.

    注1 由g在B×B上單調(diào)可知g在B×B上必偽單調(diào),但反之不然,見下面例1.

    例1 設(shè)X=,B=(0,+∞),g:X×X→定義為g(x,y)=y(y-x).對任何x,y∈B,x≠y,若g(x,y)=y(y-x)≥0,則g(y,x)=x(x-y)≤0,故g在B×B上為偽單調(diào).但是

    g(x,y)+g(y,x)=(x-y)2>0,

    故g在B×B上不是單調(diào)映射.

    定義3[16]設(shè)X,Λ,M為賦范線性空間,B?X為非空子集,

    (1) 稱實(shí)值映射g:X→在x0∈X處為l-Lipschitz連續(xù),當(dāng)且僅當(dāng)存在l>0,及x0鄰域N(x0)?X,使得對任何的x1,x2∈N(x0),有

    |g(x1)-g(x2)|≤l‖x1-x2‖.

    (2) 稱集值映射K:Λ→2X{?}在λ0∈Λ處為h-Lipschitz連續(xù),當(dāng)且僅當(dāng)存在h>0,及λ0鄰域U(λ0)?Λ,使得對任何的λ1,λ2∈U(λ0),有

    K(λ1)?K(λ2)+h‖λ1-λ2‖B0,

    其中B0為X中的閉單位球.

    (3) 對每個(gè)μ0∈M,稱實(shí)值映射f:B×B×M→在μ處關(guān)于B×B為一致k-Lipschitz連續(xù)的,當(dāng)且僅當(dāng)存在k>0,及μ0的鄰域V(μ0)?M,使得對任何的μ1,μ2∈V(μ0),及x1,x2∈B,x1≠x2,有

    |f(x,y,μ1)-f(x,y,μ2)|≤k‖μ1-μ2‖.

    2 Lipschitz連續(xù)性

    設(shè)A,B?X為非空子集,定義

    對每個(gè)(λ0,μ0)∈Λ×M,存在(λ0,μ0)的鄰域U(λ0)×V(μ0)?Λ×M,滿足:

    (H1)K(·)在λ0處為l0-Lipschitz連續(xù);

    (H4) 對任何的μ∈V(μ0),f(·,·,μ)在K(U(λ0))×K(U(λ0))上為偽單調(diào)映射;

    (H6) 對任何的μ∈V(μ0),f(·,·,μ)在μ處關(guān)于K(U(λ0))×K(U(λ0))為一致l3-Lipschitz連續(xù);

    (H7) 對任何的x∈K(U(λ0))及μ∈V(μ0),f(x,x,μ)=0.

    定理1 若(PKFI)滿足(H1)—(H4),(H6)及(H7),則:

    (1) 在U(λ0)×V(μ0)上,(PKFI)的解映射為單值映射;

    (2) 對任何的(λ1,μ1),(λ2,μ2)∈U(λ0)×V(μ0),有

    d(S(λ1,μ1),S(λ2,μ2))≤L1‖λ1-λ2‖+L2‖μ1-μ2‖,

    (1)

    證明設(shè)(λ1,μ1),(λ2,μ2)∈U(λ0)×V(μ0),要證(1)式成立,分以下3步論證:

    第1步任取x11∈S(λ1,μ1),x21∈S(λ2,μ1),則

    ‖x11-x21‖≤L1‖λ1-λ2‖,

    (2)

    不失一般性,不妨假設(shè)x11≠x21.據(jù)x11,x21為(PKFI)的解知,對任何y∈K(λ1),z∈K(λ2),有

    min(f(x11,y,μ1),f(x21,z,μ1))≥0.

    (3)

    由條件(H1)知,對l0>0,存在x1∈K(λ1),x2∈K(λ2),使得

    max(‖x11-x2‖,‖x21-x1‖)≤l0‖λ1-λ2‖.

    (4)

    在(3)式中,令z=x2,有

    f(x21,x2,μ1)≥0.

    (5)

    據(jù)條件(H4)得

    -f(x2,x21,μ1)≥0.

    (6)

    注意到K(λ1)為X的凸子集,則對任何的t∈(0,1),有(1-t)x11+tx1∈K(λ1).

    在(3)中,取y=(1-t)x11+tx1,得

    f(x11,(1-t)x11+tx1,μ1)≥0.

    (7)

    再由f的強(qiáng)凸性并注意到f(x11,x11,μ1)=0,可知

    f(x11,(1-t)x11+tx21,μ1)≤tf(x11,x21,μ1)-t(1-t)‖x11-x21‖.

    (8)

    由(6)—(8)式,

    t(1-t)‖x11-x21‖≤
    tf(x11,x21,μ1)-f(x11,(1-t)x11+tx21,μ1)≤
    t(f(x11,x21,μ1)-f(x2,x21,μ1))+f(x11,(1-t)x11+tx1,μ1)-
    f(x11,(1-t)x11+tx21,μ1).

    由條件(H2)與(H3)中f的Lipschitz連續(xù)性及(4)式得

    從而

    (9)

    類似地,有

    (10)

    結(jié)合(9)與(10)式,有

    ‖x21-x11‖≤L1‖λ1-λ2‖,

    第2步對任何的x21∈S(λ2,μ1),x22∈S(λ2,μ2),有

    ‖x21-x22‖≤L2‖μ1-μ2‖.

    (11)

    其中L2=l3.

    由于x21,x22為(PKFI)的解,故對任意y,z∈K(λ2),有

    min{f(x21,y,μ1),f(x22,z,μ2)}≥0.

    (12)

    注意到K(λ2)為X的凸子集,則對任何的t∈(0,1),有(1-t)x21+tx22∈K(λ2).在(12)式中,取y=(1-t)x21+tx22,則

    f(x21,(1-t)x21+tx22,μ1)≥0.

    (13)

    據(jù)f的強(qiáng)凸性并注意到f(x21,x21,μ1)=0,結(jié)合(13)式,有

    t(1-t)‖x21-x22‖≤tf(x21,x22,μ1)-f(x21,(1-t)x21+tx22,μ1)≤tf(x21,x22,μ1).

    (14)

    再由(14)式知

    (1-t)‖x21-x22‖≤f(x21,x22,μ1).

    (15)

    另一方面,在(12)式中,令z=(1-t)x21+tx22,類似(15)式的分析可知

    t‖x21-x22‖≤f(x22,x21,μ2).

    (16)

    根據(jù)條件(H4),

    t‖x21-x22‖≤-f(x21,x22,μ2).

    (17)

    從而由(15)與(17)式得

    ‖x21-x22‖≤f(x21,x22,μ1)-f(x21,x22,μ2)=
    |f(x21,x22,μ1)-f(x21,x22,μ2)|≤L2‖μ1-μ2‖,

    其中L2=l3.

    第3步對任何的x11∈S(λ1,μ1),x22∈S(λ2,μ2),由(2)與(11)式有

    ‖x11-x22‖≤‖x11-x21‖+‖x21-x22‖≤L1‖λ1-λ2‖+L2‖μ1-μ2‖,

    d(S(λ1,μ1),S(λ2,μ2))≤L1‖λ1-λ2‖+L2‖μ1-μ2‖.

    (18)

    在(18)式中,令λ1=λ2,μ1=μ2,對任意(λ1,μ1)∈U(λ0)×V(μ0),有S(λ1,μ1)={0}.

    類似地,對任意(λ2,μ2)∈U(λ0)×V(μ0),有S(λ2,μ2)={0}.所以,在U(λ0)×V(μ0)上,(PKFI)的解映射為單值映射且(1)式成立.

    綜上,結(jié)論得證.

    定理2 若(PDKFI)滿足(H1)—(H2),(H4)—(H7),則:

    (1) 在U(λ0)×V(μ0)上,(PDKFI)的解映射為單值映射;

    (2) 對任何的(λ1,μ1),(λ2,μ2)∈U(λ0)×V(μ0),有

    d(D(λ1,μ1),D(λ2,μ2))≤K1‖λ1-λ2‖+K2‖μ1-μ2‖,

    (19)

    證明設(shè)(λ1,μ1),(λ2,μ2)∈U(λ0)×V(μ0),要證(19)式成立,分以下3步論證.

    第1步任取x11∈D(λ1,μ1),x21∈D(λ2,μ1),則

    ‖x11-x21‖≤K1‖λ1-λ2‖,

    (20)

    max{f(y,x11,μ1),f(z,x21,μ1)}≤0.

    (21)

    由條件(H1),對l0>0,存在x1∈K(λ1),x2∈K(λ2),使得

    max(‖x11-x2‖,‖x21-x1‖)≤l0‖λ1-λ2‖.

    (22)

    在(21)式中,令z=x2,有

    f(x2,x21,μ1)≤0.

    (23)

    據(jù)條件(H4)得,

    f(x21,x2,μ1)≥0.

    (24)

    注意到K(λ1)為X的凸子集,則對任何的t∈(0,1),有

    (1-t)x11+tx1∈K(λ1).

    在(21)式中,取y=(1-t)x11+tx1,得

    f((1-t)x11+tx1,x11,μ1)≤0.

    (25)

    再由f的強(qiáng)凹性并注意到f(x11,x11,μ1)=0,

    f((1-t)x11+tx21,x11,μ1)≥tf(x21,x11,μ1)+t(1-t)‖x11-x21‖.

    (26)

    再由(24)—(26)式知,

    t(1-t)‖x11-x21‖≤f((1-t)x11+tx21,x11,μ1)-tf(x21,x11,μ1)≤
    f((1-t)x11+tx21,x11,μ1)-tf(x21,x11,μ1)≤
    f((1-t)x11+tx21,x11,μ1)-f((1-t)x11+tx1,x11,μ1)+t(f(x21,x2,μ1)-f(x21,x11,μ1)).

    由條件(H2)與(H3)中f的Lipschitz連續(xù)性及(22)式得

    (27)

    類似地,有

    (28)

    第2步對任意x21∈D(λ2,μ1),x22∈D(λ2,μ2),必有

    ‖x21-x22‖≤K2‖μ1-μ2‖,

    (29)

    其中K2=l3.

    由x21,x22為(PDKFI)的解可知,對任意y,z∈K(λ2),有

    max(f(x21,y,μ1),f(x22,z,μ2))≤0.

    (30)

    注意到K(λ2)為X的凸子集,則對任意t∈(0,1),得(1-t)x21+tx22∈K(λ2).在(30)式中,取y=(1-t)x21+tx22,有

    f(x21,(1-t)x21+tx22,μ1)≤0.

    (31)

    由f的強(qiáng)凹性,注意到f(x21,x21,μ1)=0,并結(jié)合(30)式,有

    t(1-t)‖x21-x22‖≤
    f(x21,(1-t)x21+tx22,μ1)-tf(x21,x22,μ1)≤-tf(x21,x22,μ1).

    (32)

    由(32)式知

    (1-t)‖x21-x22‖≤-f(x21,x22,μ1).

    (33)

    另一方面,在(30)式中,令z=(1-t)x21+tx22,類似(33)式的分析可知

    t‖x21-x22‖≤-f(x22,x21,μ2).

    (34)

    再由條件(H4),

    t‖x21-x22‖≤f(x21,x22,μ2).

    (35)

    由(33)與(35)式有

    ‖x21-x22‖≤f(x21,x22,μ2)-f(x21,x22,μ1)=
    |f(x21,x22,μ2)-f(x21,x22,μ1)|≤K2‖μ1-μ2‖,

    其中K2=l3.

    第3步對任何的x11∈D(λ1,μ1),x22∈D(λ2,μ2),由(20)與(29)式有

    ‖x11-x22‖≤‖x11-x21‖+‖x21-x22‖≤K1‖λ1-λ2‖+K2‖μ1-μ2‖,

    從而

    d(D(λ1,μ1),D(λ2,μ2))≤K1‖λ1-λ2‖+K2‖μ1-μ2‖.

    (36)

    在(36)式中,令λ1=λ2,μ1=μ2,對任何的(λ1,μ1)∈U(λ0)×V(μ0),有D(λ1,μ1)={0}.

    類似地,對任何的(λ2,μ2)∈U(λ0)×V(μ0),有D(λ2,μ2)={0}.所以,在U(λ0)×V(μ0)上,(PDKFI)的解映射為單值映射且(19)式成立.

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