含參Ky Fan不等式與對偶問題解映射的Lipschitz連續(xù)性

孟旭東，蔣海英，曾慧平

(1.南昌航空大學(xué)科技學(xué)院文理學(xué)部，江西 共青城 332020；2.江西交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，江西 南昌 330013)

1972年，Ky Fan介紹了一類著名的不等式，稱為Ky Fan不等式，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域一般簡記KFI[1-2].到目前為止，Ky Fan不等式在不等式分析和優(yōu)化問題研究中起著重要作用.一批學(xué)者已經(jīng)討論了各種形式Ky Fan不等式解的存在性問題[3-6].Ky Fan不等式解的穩(wěn)定性是優(yōu)化理論與應(yīng)用研究中的熱點(diǎn)話題.一般而言，Ky Fan不等式含參解集具有一定的品性，比如上半連續(xù)性、下半連續(xù)性、連續(xù)性、Lipschitz連續(xù)性、H?lder連續(xù)性等[7-16].

受以上文獻(xiàn)啟發(fā)，本文在賦范線性空間中研究含參Ky Fan不等式與對偶問題解映射的Lipschitz連續(xù)性.

1 預(yù)備知識

設(shè)X，Λ，M為賦范線性空間，‖·‖和d(·，·)分別表示范數(shù)和距離，K：Λ→2X{?}為閉凸集值映射，f：X×X×M→為實(shí)值映射.

對每個(gè)(λ，μ)∈Λ×M，考慮含參Ky Fan不等式(記為PKFI)：找x0∈K(λ)，使得

f(x0，y，μ)≥0，?y∈K(λ).

對每個(gè)(λ，μ)∈Λ×M，考慮含參對偶Ky Fan不等式(記為PDKFI)：找x0∈K(λ)，使得

f(y，x0，μ)≤0，?y∈K(λ).

對每個(gè)(λ，μ)∈Λ×M，記(PKFI)與(PDKFI)的有效解集分別為S(λ，μ)和D(λ，μ)，即

S(λ，μ)∶={x∈K(λ)|f(x0，y，μ)≥0，?y∈K(λ)}，

D(λ，μ)∶={x∈K(λ)|f(y，x0，μ)≤0，?y∈K(λ)}.

本文假設(shè)對每個(gè)(λ，μ)∈Λ×M，S(λ，μ)≠?，D(λ，μ)≠?，討論S(·，·)，D(·，·)在Λ×M上的Lipschitz連續(xù)性.

定義1 設(shè)X為賦范線性空間，B?X為非空凸子集，g：X→為實(shí)值映射.

(1) 稱g在B上為強(qiáng)凸映射，當(dāng)且僅當(dāng)對任何x，y∈B及t∈(0，1)，有

g(tx+(1-t)y)≤tg(x)+(1-t)g(y)-t(1-t)‖x-y‖.

(2) 稱g在B上為強(qiáng)凹映射，當(dāng)且僅當(dāng)對任何x，y∈B及t∈(0，1)，有

tg(x)+(1-t)g(y)≤g(tx+(1-t)y)-t(1-t)‖x-y‖.

定義2[15]設(shè)X為賦范線性空間，B?X為非空子集，g：X×X→為實(shí)值映射.

(1) 稱g在B×B上為單調(diào)映射，當(dāng)且僅當(dāng)對任何x，y∈B，x≠y，有

g(x，y)+g(y，x)≤0.

(2) 稱g在B×B上為偽單調(diào)映射，當(dāng)且僅當(dāng)對任何x，y∈B，x≠y，有

g(x，y)≥0?g(y，x)≤0.

注1 由g在B×B上單調(diào)可知g在B×B上必偽單調(diào)，但反之不然，見下面例1.

例1 設(shè)X=，B=(0，+∞)，g：X×X→定義為g(x，y)=y(y-x).對任何x，y∈B，x≠y，若g(x，y)=y(y-x)≥0，則g(y，x)=x(x-y)≤0，故g在B×B上為偽單調(diào).但是

g(x，y)+g(y，x)=(x-y)2>0，

故g在B×B上不是單調(diào)映射.

定義3[16]設(shè)X，Λ，M為賦范線性空間，B?X為非空子集，

(1) 稱實(shí)值映射g：X→在x0∈X處為l-Lipschitz連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)存在l>0，及x0鄰域N(x0)?X，使得對任何的x1，x2∈N(x0)，有

|g(x1)-g(x2)|≤l‖x1-x2‖.

(2) 稱集值映射K：Λ→2X{?}在λ0∈Λ處為h-Lipschitz連續(xù)，當(dāng)且僅當(dāng)存在h>0，及λ0鄰域U(λ0)?Λ，使得對任何的λ1，λ2∈U(λ0)，有

K(λ1)?K(λ2)+h‖λ1-λ2‖B0，

其中B0為X中的閉單位球.

(3) 對每個(gè)μ0∈M，稱實(shí)值映射f：B×B×M→在μ處關(guān)于B×B為一致k-Lipschitz連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng)存在k>0，及μ0的鄰域V(μ0)?M，使得對任何的μ1，μ2∈V(μ0)，及x1，x2∈B，x1≠x2，有

|f(x，y，μ1)-f(x，y，μ2)|≤k‖μ1-μ2‖.

2 Lipschitz連續(xù)性

設(shè)A，B?X為非空子集，定義

對每個(gè)(λ0，μ0)∈Λ×M，存在(λ0，μ0)的鄰域U(λ0)×V(μ0)?Λ×M，滿足：

(H1)K(·)在λ0處為l0-Lipschitz連續(xù)；

(H4) 對任何的μ∈V(μ0)，f(·，·，μ)在K(U(λ0))×K(U(λ0))上為偽單調(diào)映射；

(H6) 對任何的μ∈V(μ0)，f(·，·，μ)在μ處關(guān)于K(U(λ0))×K(U(λ0))為一致l3-Lipschitz連續(xù)；

(H7) 對任何的x∈K(U(λ0))及μ∈V(μ0)，f(x，x，μ)=0.

定理1 若(PKFI)滿足(H1)—(H4)，(H6)及(H7)，則：

(1) 在U(λ0)×V(μ0)上，(PKFI)的解映射為單值映射；

(2) 對任何的(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有

d(S(λ1，μ1)，S(λ2，μ2))≤L1‖λ1-λ2‖+L2‖μ1-μ2‖，

(1)

證明設(shè)(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，要證(1)式成立，分以下3步論證：

第1步任取x11∈S(λ1，μ1)，x21∈S(λ2，μ1)，則

‖x11-x21‖≤L1‖λ1-λ2‖，

(2)

不失一般性，不妨假設(shè)x11≠x21.據(jù)x11，x21為(PKFI)的解知，對任何y∈K(λ1)，z∈K(λ2)，有

min(f(x11，y，μ1)，f(x21，z，μ1))≥0.

(3)

由條件(H1)知，對l0>0，存在x1∈K(λ1)，x2∈K(λ2)，使得

max(‖x11-x2‖，‖x21-x1‖)≤l0‖λ1-λ2‖.

(4)

在(3)式中，令z=x2，有

f(x21，x2，μ1)≥0.

(5)

據(jù)條件(H4)得

-f(x2，x21，μ1)≥0.

(6)

注意到K(λ1)為X的凸子集，則對任何的t∈(0，1)，有(1-t)x11+tx1∈K(λ1).

在(3)中，取y=(1-t)x11+tx1，得

f(x11，(1-t)x11+tx1，μ1)≥0.

(7)

再由f的強(qiáng)凸性并注意到f(x11，x11，μ1)=0，可知

f(x11，(1-t)x11+tx21，μ1)≤tf(x11，x21，μ1)-t(1-t)‖x11-x21‖.

(8)

由(6)—(8)式，

t(1-t)‖x11-x21‖≤
tf(x11，x21，μ1)-f(x11，(1-t)x11+tx21，μ1)≤
t(f(x11，x21，μ1)-f(x2，x21，μ1))+f(x11，(1-t)x11+tx1，μ1)-
f(x11，(1-t)x11+tx21，μ1).

由條件(H2)與(H3)中f的Lipschitz連續(xù)性及(4)式得

從而

(9)

類似地，有

(10)

結(jié)合(9)與(10)式，有

‖x21-x11‖≤L1‖λ1-λ2‖，

第2步對任何的x21∈S(λ2，μ1)，x22∈S(λ2，μ2)，有

‖x21-x22‖≤L2‖μ1-μ2‖.

(11)

其中L2=l3.

由于x21，x22為(PKFI)的解，故對任意y，z∈K(λ2)，有

min{f(x21，y，μ1)，f(x22，z，μ2)}≥0.

(12)

注意到K(λ2)為X的凸子集，則對任何的t∈(0，1)，有(1-t)x21+tx22∈K(λ2).在(12)式中，取y=(1-t)x21+tx22，則

f(x21，(1-t)x21+tx22，μ1)≥0.

(13)

據(jù)f的強(qiáng)凸性并注意到f(x21，x21，μ1)=0，結(jié)合(13)式，有

t(1-t)‖x21-x22‖≤tf(x21，x22，μ1)-f(x21，(1-t)x21+tx22，μ1)≤tf(x21，x22，μ1).

(14)

再由(14)式知

(1-t)‖x21-x22‖≤f(x21，x22，μ1).

(15)

另一方面，在(12)式中，令z=(1-t)x21+tx22，類似(15)式的分析可知

t‖x21-x22‖≤f(x22，x21，μ2).

(16)

根據(jù)條件(H4)，

t‖x21-x22‖≤-f(x21，x22，μ2).

(17)

從而由(15)與(17)式得

‖x21-x22‖≤f(x21，x22，μ1)-f(x21，x22，μ2)=
|f(x21，x22，μ1)-f(x21，x22，μ2)|≤L2‖μ1-μ2‖，

其中L2=l3.

第3步對任何的x11∈S(λ1，μ1)，x22∈S(λ2，μ2)，由(2)與(11)式有

‖x11-x22‖≤‖x11-x21‖+‖x21-x22‖≤L1‖λ1-λ2‖+L2‖μ1-μ2‖，

則

d(S(λ1，μ1)，S(λ2，μ2))≤L1‖λ1-λ2‖+L2‖μ1-μ2‖.

(18)

在(18)式中，令λ1=λ2，μ1=μ2，對任意(λ1，μ1)∈U(λ0)×V(μ0)，有S(λ1，μ1)={0}.

類似地，對任意(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有S(λ2，μ2)={0}.所以，在U(λ0)×V(μ0)上，(PKFI)的解映射為單值映射且(1)式成立.

綜上，結(jié)論得證.

定理2 若(PDKFI)滿足(H1)—(H2)，(H4)—(H7)，則：

(1) 在U(λ0)×V(μ0)上，(PDKFI)的解映射為單值映射；

(2) 對任何的(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有

d(D(λ1，μ1)，D(λ2，μ2))≤K1‖λ1-λ2‖+K2‖μ1-μ2‖，

(19)

證明設(shè)(λ1，μ1)，(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，要證(19)式成立，分以下3步論證.

第1步任取x11∈D(λ1，μ1)，x21∈D(λ2，μ1)，則

‖x11-x21‖≤K1‖λ1-λ2‖，

(20)

max{f(y，x11，μ1)，f(z，x21，μ1)}≤0.

(21)

由條件(H1)，對l0>0，存在x1∈K(λ1)，x2∈K(λ2)，使得

max(‖x11-x2‖，‖x21-x1‖)≤l0‖λ1-λ2‖.

(22)

在(21)式中，令z=x2，有

f(x2，x21，μ1)≤0.

(23)

據(jù)條件(H4)得，

f(x21，x2，μ1)≥0.

(24)

注意到K(λ1)為X的凸子集，則對任何的t∈(0，1)，有

(1-t)x11+tx1∈K(λ1).

在(21)式中，取y=(1-t)x11+tx1，得

f((1-t)x11+tx1，x11，μ1)≤0.

(25)

再由f的強(qiáng)凹性并注意到f(x11，x11，μ1)=0，

f((1-t)x11+tx21，x11，μ1)≥tf(x21，x11，μ1)+t(1-t)‖x11-x21‖.

(26)

再由(24)—(26)式知，

t(1-t)‖x11-x21‖≤f((1-t)x11+tx21，x11，μ1)-tf(x21，x11，μ1)≤
f((1-t)x11+tx21，x11，μ1)-tf(x21，x11，μ1)≤
f((1-t)x11+tx21，x11，μ1)-f((1-t)x11+tx1，x11，μ1)+t(f(x21，x2，μ1)-f(x21，x11，μ1)).

由條件(H2)與(H3)中f的Lipschitz連續(xù)性及(22)式得

則

(27)

類似地，有

(28)

第2步對任意x21∈D(λ2，μ1)，x22∈D(λ2，μ2)，必有

‖x21-x22‖≤K2‖μ1-μ2‖，

(29)

其中K2=l3.

由x21，x22為(PDKFI)的解可知，對任意y，z∈K(λ2)，有

max(f(x21，y，μ1)，f(x22，z，μ2))≤0.

(30)

注意到K(λ2)為X的凸子集，則對任意t∈(0，1)，得(1-t)x21+tx22∈K(λ2).在(30)式中，取y=(1-t)x21+tx22，有

f(x21，(1-t)x21+tx22，μ1)≤0.

(31)

由f的強(qiáng)凹性，注意到f(x21，x21，μ1)=0，并結(jié)合(30)式，有

t(1-t)‖x21-x22‖≤
f(x21，(1-t)x21+tx22，μ1)-tf(x21，x22，μ1)≤-tf(x21，x22，μ1).

(32)

由(32)式知

(1-t)‖x21-x22‖≤-f(x21，x22，μ1).

(33)

另一方面，在(30)式中，令z=(1-t)x21+tx22，類似(33)式的分析可知

t‖x21-x22‖≤-f(x22，x21，μ2).

(34)

再由條件(H4)，

t‖x21-x22‖≤f(x21，x22，μ2).

(35)

由(33)與(35)式有

‖x21-x22‖≤f(x21，x22，μ2)-f(x21，x22，μ1)=
|f(x21，x22，μ2)-f(x21，x22，μ1)|≤K2‖μ1-μ2‖，

其中K2=l3.

第3步對任何的x11∈D(λ1，μ1)，x22∈D(λ2，μ2)，由(20)與(29)式有

‖x11-x22‖≤‖x11-x21‖+‖x21-x22‖≤K1‖λ1-λ2‖+K2‖μ1-μ2‖，

從而

d(D(λ1，μ1)，D(λ2，μ2))≤K1‖λ1-λ2‖+K2‖μ1-μ2‖.

(36)

在(36)式中，令λ1=λ2，μ1=μ2，對任何的(λ1，μ1)∈U(λ0)×V(μ0)，有D(λ1，μ1)={0}.

類似地，對任何的(λ2，μ2)∈U(λ0)×V(μ0)，有D(λ2，μ2)={0}.所以，在U(λ0)×V(μ0)上，(PDKFI)的解映射為單值映射且(19)式成立.