量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

楊師杰

(北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京 100875)

大學(xué)教授量子力學(xué)通常從引入薛定諤方程開(kāi)始，以求解不同條件下的薛定諤方程本征值問(wèn)題貫穿始終，但是對(duì)于為何存在本征值問(wèn)題，本征函數(shù)的完備性則略而不談，相關(guān)的數(shù)學(xué)物理方法課程也只述結(jié)論，不表原因，這致使量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一直不甚了了.本文試圖從線性空間的內(nèi)積開(kāi)始，對(duì)量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)做一個(gè)系統(tǒng)的描述[1]，以期對(duì)教學(xué)產(chǎn)生有益的輔助作用.

1 線性空間基礎(chǔ)

1.1 度量空間

范數(shù)用來(lái)表征某個(gè)線性向量空間中向量的長(zhǎng)度，記做‖x‖，滿(mǎn)足條件‖x‖≥0，定義了范數(shù)的向量空間稱(chēng)為賦范空間.設(shè)是一個(gè)非空集合，對(duì)其中任意兩點(diǎn)x、y，引入一個(gè)相應(yīng)的實(shí)數(shù)d(x，y)，滿(mǎn)足：1) 正定性：d(x，y)≥0，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，d(x，y)=0；2) 對(duì)稱(chēng)性:d(x，y)=d(y，x)；3) 三角不等式:d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y).則稱(chēng)d(x，y)為中的一個(gè)度量，稱(chēng)為定義度量d(x，y)的度量空間.

度量空間是將歐幾里得空間的距離概念做推廣的一個(gè)抽象數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，它采用集合中兩個(gè)元素之間的度量取代歐幾里得空間中兩點(diǎn)之間的距離，可以包括向量距離、函數(shù)距離、曲面距離等.賦范空間和度量空間的區(qū)別，在于度量定義于任意非空集合，而范數(shù)僅定義于向量空間.

當(dāng)空間定義了度量之后，就可以比較空間中兩點(diǎn)之間的距離，度量空間的柯西序列可表述為:設(shè)(，d)為度量空間中的點(diǎn)序列x1，x2，…，xk，…∈，如果對(duì)于任意正實(shí)數(shù)ε>0，存在正整數(shù)N(ε)，當(dāng)n，m>N(ε)時(shí)，度量(距離)d(xn，xm)<ε，則該序列稱(chēng)作柯西序列，用極限表示，即

任何緊致集合都是完備的，但反過(guò)來(lái)不成立.比如實(shí)數(shù)集雖然是完備的，但不是緊致的;只有加上∞后，才構(gòu)成緊致閉集合，它等價(jià)于一個(gè)圓周.有限維的歐幾里得空間在通常的距離定義下是完備的，而無(wú)限維空間的完備性，則是下面需要專(zhuān)門(mén)探討的課題.

1.2 內(nèi)積空間

一般的線性向量空間定義中并不包含向量與向量之間的乘法，為此引入內(nèi)積概念，用符號(hào)〈a|≡(|a〉)?表示向量|a〉的對(duì)偶向量，有

(α|a〉+β|b〉)?=α*〈a|+β*〈b|

其中星號(hào)表示取復(fù)共軛.狄拉克將向量|a〉稱(chēng)為右矢，向量〈a|稱(chēng)為左矢，分別表示括號(hào)的一半[3].

設(shè)有n維線性向量空間，向量|a〉，|b〉，|c〉∈，在復(fù)數(shù)域上定義內(nèi)積〈a|b〉∈，滿(mǎn)足如下條件：

1) 〈a|b〉=〈b|a〉*;

2) 〈αa+βb|c〉=α*〈a|c〉+β*〈b|c〉;

3) 〈a|a〉≥0，當(dāng)且僅當(dāng)|a〉=0時(shí)，〈a|a〉=0.

內(nèi)積將一對(duì)向量與一個(gè)實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)標(biāo)量聯(lián)系起來(lái)，用符號(hào)表示為×.如果兩個(gè)非零的向量滿(mǎn)足〈a|b〉=0，則稱(chēng)它們互相正交.定義了內(nèi)積的線性向量空間稱(chēng)作內(nèi)積空間，當(dāng)內(nèi)積為實(shí)數(shù)時(shí)稱(chēng)作歐幾里得空間，內(nèi)積為復(fù)數(shù)時(shí)稱(chēng)作酉空間.

內(nèi)積的定義區(qū)別了內(nèi)積空間與一般向量空間，它包含3個(gè)運(yùn)算:向量與向量之間的加法，標(biāo)量與向量之間的乘法，以及向量與向量之間的乘法.內(nèi)積實(shí)際上也定義了一個(gè)度量，因此內(nèi)積空間也是度量空間.

1.4 自伴算符

2 希爾伯特空間

有限維線性向量空間的基本思想，其中的概念如線性疊加、線性無(wú)關(guān)、內(nèi)積、子空間等，都可以直接推廣到無(wú)限維空間.然而有一件事至關(guān)重要，那就是向量無(wú)窮求和的收斂性，或者說(shuō)無(wú)窮維向量空間的完備性，這個(gè)并非平庸的問(wèn)題賦予無(wú)限維空間更加深刻的性質(zhì)[1].

2.1 貝塞爾不等式

所以有貝塞爾不等式：

則稱(chēng)該空間是完備的.

2.2 完備性關(guān)系

內(nèi)積空間如果是完備的，則稱(chēng)作希爾伯特空間，記做H，所有完備的有限或無(wú)限維內(nèi)積空間都是希爾伯特空間.完備性表明帕塞瓦恒等式成立，即

所以有

該式也被稱(chēng)作基向量的完備性關(guān)系.

2.3 函數(shù)空間

定義在區(qū)間[a，b]的連續(xù)函數(shù)可視作一個(gè)向量，該區(qū)間內(nèi)所有連續(xù)函數(shù)構(gòu)成一個(gè)線性向量空間，但這個(gè)空間并不是完備的.如何構(gòu)造一個(gè)完備的內(nèi)積空間呢?首先，需要定義兩個(gè)函數(shù)向量的內(nèi)積，它很自然地與函數(shù)的積分相聯(lián)系.一般地，將函數(shù)空間的內(nèi)積定義為

其中ρ(x)是一個(gè)正定的實(shí)函數(shù)，稱(chēng)作權(quán)重函數(shù)，以后會(huì)討論到.本文有時(shí)為了方便，簡(jiǎn)單地取ρ(x)=1.令f(x)=g(x)，則其范數(shù)為

因此內(nèi)積空間要求所有函數(shù)必須是模方(加權(quán))可積的.

前面稱(chēng)完備的無(wú)窮維內(nèi)積空間是希爾伯特空間.本定理表明，希爾伯特空間的數(shù)量是很有限的，它等同于我們熟悉的平方可積函數(shù)空間.一般來(lái)說(shuō)，平方可積性并不要求函數(shù)是連續(xù)的.它只要求函數(shù)分段光滑即可.

2.4 連續(xù)基

無(wú)限不可數(shù)空間向量|f〉在基{|ex〉}x∈表示下的分量f(x)，則被視作連續(xù)實(shí)數(shù)集合的函數(shù)：

向量分量f(x)即為函數(shù)向量|f〉在連續(xù)基表示下的函數(shù).

該式意味著

物理學(xué)家習(xí)慣忽略掉e，而將基向量寫(xiě)作|x〉，則連續(xù)指標(biāo)的完備性關(guān)系為

將向量|f〉用|x〉表示為

其中x′∈(a，b)，可見(jiàn)ρ(x)〈x′|x〉=δ(x-x′)，即狄拉克δ函數(shù).如果取權(quán)重ρ(x)=1，得到連續(xù)基的正交完備關(guān)系：

在量子力學(xué)中，如果連續(xù)基是位置則稱(chēng)作坐標(biāo)表象;如果連續(xù)基是動(dòng)量則稱(chēng)作動(dòng)量表象.希爾伯特空間的態(tài)向量在連續(xù)基下的表示稱(chēng)作波函數(shù)，在不同連續(xù)基之間的轉(zhuǎn)換稱(chēng)作表象變換[4].

3 施圖姆-劉維爾系統(tǒng)

3.1 伴隨算符

(p2vu′+p1vu)′-(p2v)′u′-(p1v)′u+p0uv=

[p2vu′-(p2v)′u+p1vu]′+

u[(p2v)″-(p1v)′+p0v]=

其中算符：

對(duì)區(qū)間[a，b]進(jìn)行積分，可得

該式稱(chēng)為拉格朗日恒等式，它可以視作另一種形式的格林公式.

則有

一個(gè)算符的伴隨算符與該算符的形式有關(guān)，伴隨算符的邊界條件也與原算符的邊界條件不同.

3.2 自伴算符

定義在區(qū)間x∈[a，b]的形如

的二階常微分方程，被稱(chēng)作施圖姆-劉維爾本征方程.由于ρ(x)〉0，令

方程可化為標(biāo)準(zhǔn)的本征方程：

則

由拉格朗日恒等式得

注意到施圖姆-劉維爾算符成為自伴算符的前提是上式右邊為零，即

因此對(duì)于不同本征值λ1≠λ2，其對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)是(加權(quán))正交的：

可以有3種不同方式滿(mǎn)足上述邊界條件[4]:

1) 如果端點(diǎn)滿(mǎn)足第一類(lèi)齊次邊界條件(狄里希利邊界條件)，或第二類(lèi)齊次邊界條件(紐曼邊界條件)，這顯然是可以實(shí)現(xiàn)的.

2) 如果端點(diǎn)滿(mǎn)足第三類(lèi)齊次邊界條件(混合邊界條件)，比如在x=a端滿(mǎn)足

3) 雖然不滿(mǎn)足齊次邊界條件，但是如果在端點(diǎn)p(x)為零，比如p(a)=0，同樣可以達(dá)到此目的，這就是所謂自然邊界條件.由于具有有限解的微分方程通常只能含有正規(guī)奇點(diǎn)，容易證明p(x)在端點(diǎn)必為一階零點(diǎn)，自然邊界條件也稱(chēng)為奇異邊界條件.

傳統(tǒng)的量子力學(xué)理論要求力學(xué)量算符必須是自伴算符，這樣當(dāng)它作用于態(tài)向量后，本征值都是實(shí)驗(yàn)可觀測(cè)的實(shí)數(shù)，且本征向量是正交的.許多量子力學(xué)問(wèn)題沒(méi)有齊次邊界條件，比如諧振子定態(tài)方程，氫原子電子運(yùn)動(dòng)方程，或者磁場(chǎng)中電子的運(yùn)動(dòng)方程等，而且有時(shí)候方程在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)出現(xiàn)非正規(guī)奇點(diǎn)，這時(shí)需要仔細(xì)鑒別出自然邊界條件，以確保量子系統(tǒng)構(gòu)成施圖姆-劉維爾本征值問(wèn)題.本文最后一節(jié)給出幾個(gè)示例來(lái)展示這一過(guò)程.

3.3 基本性質(zhì)

由于施圖姆-劉維爾型方程的本征函數(shù)具有帶權(quán)重的正交性以及完備性，如果函數(shù)f(x)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)和分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足本征函數(shù)族所滿(mǎn)足的邊界條件，就可以用這些本征函數(shù)y1(x)，y2(x)，y3(x)，…的線性疊加表示，稱(chēng)作廣義傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)：

本征函數(shù)族稱(chēng)作級(jí)數(shù)展開(kāi)的基，展開(kāi)系數(shù)為

近年來(lái)凝聚態(tài)物理前沿領(lǐng)域中出現(xiàn)許多討論非自伴或非厄米哈密頓量的研究.在這種情況下，本征能量為復(fù)數(shù)，本征函數(shù)也不再是正交的，而周期結(jié)構(gòu)的能帶將呈現(xiàn)出特殊拓?fù)湫?，以及皮膚量子態(tài)等特征，這是一個(gè)量子理論發(fā)展的新動(dòng)向.值得指出的是，非厄米系統(tǒng)希爾伯特空間的完備性問(wèn)題仍然未被完全理解.

4 量子力學(xué)示例

我們?nèi)∽匀粏挝?=m=1，討論兩個(gè)薛定諤定態(tài)方程的具體應(yīng)用作為示例.

1) 一維諧振子運(yùn)動(dòng)方程：

該式化為標(biāo)準(zhǔn)的施圖姆-劉維爾型為

得到p(ξ)=e-ξ2，由此可知u(ξ)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)存在自然邊界條件，因此該方程的無(wú)窮級(jí)數(shù)解可以截?cái)酁槎蛎锥囗?xiàng)式，由此確定本征值λ=n(n∈)以及相應(yīng)的本征函數(shù).

2) 氫原子的電子運(yùn)動(dòng)方程

在球坐標(biāo)系中分離變量ψ(r，θ，φ)=R(r)Ylm(θ，φ)，其中角向部分即為球諧函數(shù)Ylm(θ，φ)，對(duì)應(yīng)的本征值為l(l+1)，徑向部分滿(mǎn)足方程：

可見(jiàn)r=0是方程的正規(guī)奇點(diǎn)，但r=∞是方程的非正規(guī)奇點(diǎn)，暫時(shí)不能確定在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是否存在自然邊界條件.

ry″+[2(l+1)-2βr]y′-2[(l+1)β-1]y=0

再令

有

ξy″+(γ-ξ)y′-αy=0

其施圖姆-劉維爾本征方程為

其中p(ξ)=ξγe-ξ，這樣就證明函數(shù)y(ξ)在ξ=0，∞均存在自然邊界條件，方程的無(wú)窮級(jí)數(shù)解為庫(kù)默爾函數(shù)：

雖然該級(jí)數(shù)的收斂半徑為無(wú)窮大，但在ξ=∞級(jí)數(shù)仍然發(fā)散，為此將無(wú)窮級(jí)數(shù)截?cái)酁槎囗?xiàng)式，即將α參數(shù)取為負(fù)整數(shù)：

α=-nr， (nr=0，1，2，…)

最后總結(jié)一下，如果r=∞是方程的非正規(guī)奇點(diǎn)，通常沒(méi)有自然邊界條件，方程的解不宜直接表示為弗羅貝尼烏斯級(jí)數(shù)形式.函數(shù)變換R(r)y(r)改變了r=∞的奇異性，使得函數(shù)y滿(mǎn)足自然邊界條件，發(fā)散級(jí)數(shù)可截?cái)酁槎囗?xiàng)式.在量子力學(xué)中，我們習(xí)慣上認(rèn)為r→∞時(shí)波函數(shù)ψ(r)→0是薛定諤方程之外附加的物理要求，其實(shí)這是方程本身存在自然邊界條件的結(jié)果，正所謂方程決定物理.

作為反例，貝塞爾方程在x=∞為非正規(guī)奇點(diǎn)，其級(jí)數(shù)解的收斂半徑為無(wú)窮大，完全不必做截?cái)嗵幚?但由于在x=∞缺少自然邊界條件，方程不能構(gòu)成完備的本征值問(wèn)題.必須在有限半徑的圓周上附加以齊次邊界條件，與x=0的自然邊界相結(jié)合，才能構(gòu)成完備的本征值問(wèn)題.