二階下三角矩陣代數(shù)的左理想共軛類*

高鳳霞,楊瑞芳

(1.河南工學(xué)院 理學(xué)部,河南 新鄉(xiāng) 453003;2.山西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與計算機(jī)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030032)

0 引言

設(shè)A是一個含有單位元的有限維的結(jié)合代數(shù),L(A)為A中所有左理想組成的集合,U(A)為A的單位群。在集合L(A)中可定義等價關(guān)系～:L1～L2當(dāng)且僅當(dāng)存在u∈U(A)使得u-1L1u=L1u=L2。對任意I∈L(A),稱子集[I]={L|L～I(xiàn),L∈L(A)}為L(A)的一個等價類(共軛類),L(A)的所有等價類作成的集合記為C(A)。由左理想的乘積亦是左理想可知C(A)有一個自然的半群結(jié)構(gòu):即對任意1,[L1][L2]=[L1L2],以下簡稱A的共軛類半群(關(guān)于共軛類半群更詳細(xì)的知識可參閱文獻(xiàn)[1]),其有限性和A的表示類型密切相關(guān)[2,3]。此外,C(A)也和結(jié)合代數(shù)的子空間半群有著密切的關(guān)系[4,5]。

本文的主要目標(biāo)就是對典型有限維代數(shù)——二階下三角矩陣代數(shù)刻畫其共軛類半群的乘法結(jié)構(gòu)。

1 定義與定理

本文中C表示復(fù)數(shù)域。文中出現(xiàn)的代數(shù)、向量空間、基等均定義在C上,有關(guān)矩陣的基本概念和知識可參閱文獻(xiàn)[6]。

定義1[6]設(shè)A是一個代數(shù),e∈A。若e2=e,則稱e為A的一個冪等元。若冪等元e1,e2滿足e1e2=e2e1=0, 則稱e1,e2是正交的。

若非零冪等元e不能表示兩個非零正交冪等元的和,則稱e是本原的。設(shè){e1,e2,…,en}為A中本原正交冪等元的集合,若e1+…+en=1,則稱{e1,e2,…,en}為A的本原冪等元的完全集。

定義2[7]設(shè)I是A的一個左理想,若存在正整數(shù)m使得Im=0,

則稱I是A的一個冪零左理想,稱A的最大的冪零左理想為A的賈柯波遜根,記為rad(A)。

定義3[7]設(shè)I是A的一個左理想,若I不能表示為兩個非零左理想的和,則稱I是不可分解的。

引理1[7]若{e1,e2,…,em},{f1,f2,…,fn}為A的兩組本原正交冪等元的完全集,則m=n,且存在a∈U(A)使得經(jīng)過適當(dāng)?shù)闹嘏畔聵?biāo)后對于1≤i≤n均有fi=aeia-1。

引理2[7]設(shè)e,f為A的冪等元,則[Ae]=[Af]當(dāng)且僅當(dāng)存在a∈U(A)使得f=aea-1。

引理3[8]設(shè)Li∈L(A),i=1,2, 則存在冪等元ei∈Li使得:

(1)Li=Aei?Li(1-ei),Li(1-ei)?rad(A),i=1,2;

(2)[L1]=[L2]當(dāng)且僅當(dāng)[Ae1]=[Ae2],[L1(1-e1)]=[L2(1-e2)]。

在下文中我們恒使用以下符號:

類似于文獻(xiàn)[9]中關(guān)于一般矩陣弱相似的概念,本文給出下三角矩陣弱相似的概念。

定義3設(shè)B1,B2∈T,若存在P∈G,α∈C*,使得PB1P-1=αB2,則稱B1與B2在T中弱相似。易知弱相似是T上的一個等價關(guān)系。

定理1 中元素的弱相似等價類剛好有三個。其代表元如下

2 主要結(jié)果

定理2T中不可分解的左理想共軛類和X中元素的弱相似等價類一一對應(yīng)。

可得I1I2=0,I1J=0,I1(I2+J)=0,I1I1和I1T均有基E11,E21,即I1I1=I1T=I1。同理可得

I2I1=I2J=J,

I2T=I2(I2+J)=I2+J,

I2I2=I2,JI1=JT=J,

JJ=JI2=J(I2+J)=0,

(I2+J)I2=I2,

(I2+J)T=(I2+J)(I2+J)=I2+J,

(I2+J)I1=(I2+J)J=J。

此外,對任意的左理想I恒有TI=I。

設(shè)e=[T],

α1=[I1],

α2=[I2],

β=[J],

γ=[I2+J],可得

定理3C(T)={0,e,α1,α2,β，γ}其乘法表見表1。

表1 的乘法表