一種基于Volterra級(jí)數(shù)的FOM時(shí)域建模方法

甘朝暉，吳 騫，尚 濤，楊朋杰

(1. 武漢科技大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖北武漢 430081；2. 武漢科技大學(xué)人工智能學(xué)院，湖北武漢 430081)

1 引言

憶感器是由蔡少棠教授和Ventra等人于2009年首次提出的元件[1]，其與憶阻器和憶容器一起被稱為記憶元件。目前，已經(jīng)有學(xué)者提出了一些整數(shù)階憶感器的數(shù)學(xué)模型和電路模型，并基于這些模型對(duì)憶感器或者含有憶感器的非線性電路進(jìn)行了相關(guān)的研究[2-5]。分?jǐn)?shù)階憶感器是整數(shù)階憶感器的拓展，關(guān)于分?jǐn)?shù)階憶感器的研究目前還比較少，本文將對(duì)分?jǐn)?shù)階憶感器的建模方法進(jìn)行研究。

Volterra級(jí)數(shù)是一種泛函級(jí)數(shù)，最早可以追溯到1887年意大利數(shù)學(xué)家V. Volterra關(guān)于解析泛函的工作，該級(jí)數(shù)是Taylor級(jí)數(shù)的一種推廣，可看作是具有記憶效應(yīng)的Taylor級(jí)數(shù)[6]。作為目前非線性系統(tǒng)建模最有效的方法之一，Volterra級(jí)數(shù)在電子工程、機(jī)械工程等領(lǐng)域已經(jīng)得到了廣泛應(yīng)用[7]。

已經(jīng)有研究人員將Volterra級(jí)數(shù)引入到記憶元件的建模研究中。Chao Ma等人研究了基于Volterra級(jí)數(shù)的憶阻器建模方法[8]，該方法根據(jù)憶阻器的特性對(duì)輸入信號(hào)的幅值設(shè)置了幾個(gè)閾值，并利用這些閾值將輸入信號(hào)分解成多個(gè)子信號(hào)，然后用分段Volterra級(jí)數(shù)時(shí)域核對(duì)每個(gè)子信號(hào)進(jìn)行處理，最后重新組合在一起產(chǎn)生輸出。該研究開拓了基于Volterra級(jí)數(shù)的記憶元件建模方法，但其僅僅是針對(duì)憶阻器進(jìn)行的建模研究，還未見到基于Volterra級(jí)數(shù)的憶感器建模方法發(fā)表。因此，本文提出了一種基于Volterra級(jí)數(shù)的分?jǐn)?shù)階憶感器時(shí)域建模方法，這對(duì)記憶元件家族的研究具有一定的指導(dǎo)意義。

2 分?jǐn)?shù)階憶感器

2.1 憶感器基本理論

Ventra和蔡少棠教授等人在憶阻器的基礎(chǔ)上拓展出了記憶元件的概念，并指出憶感器是記憶元件中的基本元器件之一，其定義的流控憶感器如下[1]

(1)

其中，i(t)表示通過憶感器的電流，φ(t)表示憶感器的磁通，Lm為憶感器的憶感值。

Biolek等人根據(jù)流控憶感器的定義，提出了如圖1所示的憶感器物理模型[4]，并根據(jù)其原理，推導(dǎo)出其數(shù)學(xué)模型。該憶感器模型是電感值可以變化的電感，有兩個(gè)固定端子和一個(gè)可移動(dòng)端子。

圖1 憶感器物理模型

當(dāng)有電流流過其中一個(gè)固定端子和可移動(dòng)端子時(shí)，可移動(dòng)端子會(huì)在激勵(lì)電流的作用下左右移動(dòng)，此時(shí)左端固定端子和移動(dòng)端子之間的線圈匝數(shù)會(huì)發(fā)生改變，進(jìn)而導(dǎo)致憶感器的憶感值發(fā)生改變。其模型如式(2)所示

(2)

其中，Lmin為可移動(dòng)端子移動(dòng)距離最小時(shí)，即l=lmin時(shí)憶感器的憶感值，Lmax為可移動(dòng)端子移動(dòng)距離最大時(shí)，即l=lmax時(shí)憶感器的憶感值。x(t)為憶感器的內(nèi)部狀態(tài)變量，k為滑動(dòng)比例因子，是一個(gè)常量，與憶感器材料有關(guān)，i(t)為流過憶感器的電流，f(x)為憶感器模型中表征滑動(dòng)端滑動(dòng)情況的窗函數(shù)。具有不同窗函數(shù)f(x)的憶感器就會(huì)表現(xiàn)出不同的電氣特性。

2.2 分?jǐn)?shù)階憶感器模型

分?jǐn)?shù)階憶感器是整數(shù)階憶感器的拓展，其階次可以為任意的實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù)。與整數(shù)階憶感器模型相比，其最顯著的優(yōu)點(diǎn)在于分?jǐn)?shù)階憶感器模型的自由度更高，而憶感器是一種有記憶功能的非線性電感。因此，構(gòu)建分?jǐn)?shù)階憶感器模型具有一定的合理性。

本文在分析了Biolek等人所提出的整數(shù)階流控憶感器模型的基礎(chǔ)上，研究一種帶有非線性窗函數(shù)的分?jǐn)?shù)階流控憶感器模型，其模型如式(3)所示

(3)

其中，α為描述憶感器內(nèi)部狀態(tài)變量x的分?jǐn)?shù)階微分方程的階次，k為滑動(dòng)比例因子，是一個(gè)取決于憶感器材料的常量，i(t)為流過憶感器的電流，1/x為非線性窗函數(shù)，Lm為憶感器的憶感值，Lmin為憶感值的最小值，Lmin為憶感值的最大值。當(dāng)分?jǐn)?shù)階階次α不同時(shí)，憶感器會(huì)有不同的響應(yīng)特性。

3 分?jǐn)?shù)階憶感器時(shí)域建模方法

3.1 非線性系統(tǒng)的Volterra級(jí)數(shù)時(shí)域模型

對(duì)于線性系統(tǒng)，輸入與輸出的時(shí)域關(guān)系可用卷積運(yùn)算來表示，如式(4)所示

(4)

其中，u(t)和y(t)分別為輸入和輸出信號(hào)，h(t)表示系統(tǒng)脈沖響應(yīng)函數(shù)。

而非線性系統(tǒng)可以應(yīng)用Volterra級(jí)數(shù)來描述它的模型，如式(5)和(6)所示

…

即有

(5)

式(5)為非線性系統(tǒng)在時(shí)域內(nèi)的Volterra級(jí)數(shù)表示形式，u(t)和y(t)分別為系統(tǒng)輸入和輸出信號(hào)，hn(τ1，τ2…τn)為系統(tǒng)的n階Volterra級(jí)數(shù)時(shí)域核函數(shù)，簡稱時(shí)域核，又稱系統(tǒng)的n階廣義脈沖響應(yīng)函數(shù)(Generalized impulse response function，簡稱GIRF)。

將式(5)進(jìn)行離散化處理，得到如式(6)所示的非線性系統(tǒng)在時(shí)域內(nèi)的Volterra級(jí)數(shù)離散表示形式。

u(t-m1)u(t-m2)…u(t-mn)

(6)

在實(shí)際問題的求解過程中，通常把無窮項(xiàng)化簡為有限項(xiàng)進(jìn)行模型求解，化簡之后的模型依舊能夠表達(dá)非線性系統(tǒng)的本質(zhì)特性，如式(7)所示

(7)

其中，n為待測系統(tǒng)的階次，L為Volterra級(jí)數(shù)的記憶長度，mn為Volterra級(jí)數(shù)核狀態(tài)變量，hn(m1，m2，…，mn)為n階Volterra級(jí)數(shù)時(shí)域核，y0為系統(tǒng)的零初始狀態(tài)響應(yīng)，y(t)為系統(tǒng)輸出信號(hào)，u(t)為系統(tǒng)輸入信號(hào)，e(t)為截?cái)嗾`差。

3.2 分?jǐn)?shù)階憶感器的時(shí)域建模方法

首先對(duì)本文研究的分?jǐn)?shù)階憶感器模型進(jìn)行采樣。采樣數(shù)據(jù)的輸入信號(hào)為流經(jīng)分?jǐn)?shù)階憶感器的正弦波電流激勵(lì)信號(hào)i(t)，輸出信號(hào)為分?jǐn)?shù)階憶感器的磁通φ(t)。根據(jù)分?jǐn)?shù)階憶感器采樣數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)出分?jǐn)?shù)階憶感器的Volterra級(jí)數(shù)時(shí)域模型表達(dá)式為

φ(t)samp=I(t)samp·hn+e

(8)

其中，φ(t)samp為分?jǐn)?shù)階憶感器采樣數(shù)據(jù)的輸出信號(hào)矩陣，I(t)samp為分?jǐn)?shù)階憶感器采樣數(shù)據(jù)的輸入信號(hào)矩陣，hn為對(duì)應(yīng)的n階Volterra級(jí)數(shù)時(shí)域核，e是截?cái)嗾`差。

Volterra級(jí)數(shù)時(shí)域核hn的矩陣如式(9)所示

hn=[h1(0)，…h(huán)1(L)，h2(0，0)，…h(huán)2(L，L)，

…，hn(0，…0)，…h(huán)n(L，…L)]

(9)

輸入信號(hào)矩陣如式(10)所示

(10)

其中，i(·)為分?jǐn)?shù)階憶感器的輸入電流信號(hào)，m為分?jǐn)?shù)階憶感器的樣本數(shù)量，L為Volterra級(jí)數(shù)的記憶長度，n為Volterra級(jí)數(shù)的階次。

輸出信號(hào)矩陣如式(11)所示

φ(t)samp=[φ(L+1)φ(L+2) …φ(L+m)]T

(11)

為了計(jì)算出時(shí)域核，列出如式(12)所示的誤差函數(shù)

f(e)=eT·e=(φ(t)samp-I(t)samp·hn)T

·(φ(t)samp-I(t)samp·hn)

(12)

使用最小均方差方法得到Volterra級(jí)數(shù)時(shí)域核的表示式，如式(13)所示

=(IT(t)samp·I(t)samp)-1·IT(t)samp·φ(t)samp

(13)

根據(jù)式(13)就可以得到分?jǐn)?shù)階憶感器的時(shí)域模型

φ(t)pre=·I(t)pre

(14)

其中，φ(t)pre為預(yù)測的分?jǐn)?shù)階憶感器輸出信號(hào)值，I(t)pre是用于預(yù)測的分?jǐn)?shù)階憶感器輸入采樣信號(hào)。

4 仿真研究

本節(jié)使用本文所提出的方法來得到分?jǐn)?shù)階憶感器時(shí)域模型的預(yù)測曲線，以驗(yàn)證本文所提方法的有效性。所有實(shí)驗(yàn)都是在Matlab R2010b仿真環(huán)境下完成的。

圖2 不同階次的分?jǐn)?shù)階憶感器的φ-i特性曲線

在實(shí)驗(yàn)中，樣本點(diǎn)數(shù)量m=100，使用的Volterra級(jí)數(shù)的控制參數(shù)分別為：記憶長度L=3，階次n=3。當(dāng)分?jǐn)?shù)階憶感器的階次分別為α=0.4，0.5，0.7時(shí)，對(duì)分?jǐn)?shù)階流控憶感器的模型曲線進(jìn)行采樣，得到三組采樣數(shù)據(jù)。根據(jù)Volterra級(jí)數(shù)建模理論，得到如圖2所示的分?jǐn)?shù)階憶感器的時(shí)域模型預(yù)測曲線。

圖3 L取不同數(shù)值時(shí)分?jǐn)?shù)階憶感器的時(shí)域模型曲線

從圖2可以看出，三組不同階次的分?jǐn)?shù)階憶感器的時(shí)域模型預(yù)測曲線與采樣數(shù)據(jù)曲線重合度都很高，能準(zhǔn)確描述分?jǐn)?shù)階憶感器的φ-i特性。下面依次分析記憶長度和階次這兩種控制參數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)階憶感器時(shí)域模型的影響。

4.1 記憶長度對(duì)分?jǐn)?shù)階憶感器時(shí)域模型的影響

本節(jié)實(shí)驗(yàn)中，記憶長度L分別取1、2和3，Volterra級(jí)數(shù)的階次n取值3，樣本點(diǎn)數(shù)量m=100。當(dāng)分?jǐn)?shù)階憶感器的階次a=0.5時(shí)，得到的分?jǐn)?shù)階憶感器時(shí)域模型的曲線如圖3所示。

由圖3(a)可以看出，記憶長度L為1時(shí)，預(yù)測曲線與采樣曲線相似度不高，在原點(diǎn)附近有較多的離散點(diǎn)與采樣數(shù)據(jù)有較大的誤差，不能完全反映實(shí)際采樣曲線。由圖3(b)可以看出，記憶長度L為2時(shí)，預(yù)測曲線與采樣曲線重合度相比L=1時(shí)有了較大的提高，能夠在一定程度上描述出實(shí)際的采樣曲線。由圖3(c)可以看出，記憶長度L為3時(shí)，預(yù)測曲線與采樣曲線已經(jīng)高度重合，能夠完全描述出實(shí)際采樣曲線。因此，當(dāng)要求精度較低時(shí)，記憶長度L的值可以取2，當(dāng)要求較高精度時(shí)，記憶長度L的值一般取3。

4.2 Volterra級(jí)數(shù)階次對(duì)分?jǐn)?shù)階憶感器時(shí)域模型的影響

對(duì)于非線性系統(tǒng)而言，Volterra級(jí)數(shù)的階次越高，越能反映實(shí)際系統(tǒng)的真實(shí)特性。為了驗(yàn)證Volterra級(jí)數(shù)的階次n對(duì)分?jǐn)?shù)階憶感器時(shí)域模型的影響，控制參數(shù)取值分別為：記憶長度L=3，Volterra級(jí)數(shù)的階次n分別取1、2和3時(shí)得到的分?jǐn)?shù)階憶感器的時(shí)域模型曲線如圖4所示。

圖4 n取不同數(shù)值時(shí)分?jǐn)?shù)階憶感器的時(shí)域模型曲線

由圖4(a)可以看出，Volterra級(jí)數(shù)的階次n為1時(shí)，預(yù)測曲線與采樣曲線完全不重合，與采樣曲線偏離較多，無法反映出原系統(tǒng)的特性。由圖4(b)可以看出，當(dāng)Volterra級(jí)數(shù)的階次n取2時(shí)，預(yù)測曲線雖然可以顯示出分?jǐn)?shù)階憶感器的滯回特性，但預(yù)測曲線與采樣曲線有一定的偏離，不能準(zhǔn)確預(yù)測采樣系統(tǒng)的真實(shí)特性。由圖4(c)可以看出，當(dāng)Volterra級(jí)數(shù)的階次n取3時(shí)，與采樣曲線的重合度較高，描述精確度較高，可以較為準(zhǔn)確反映出實(shí)際系統(tǒng)的真實(shí)特性。

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于Volterra級(jí)數(shù)的分?jǐn)?shù)階憶感器時(shí)域建模方法，根據(jù)仿真可知該方法能夠較為準(zhǔn)確地描述待預(yù)測模型的特性曲線。詳細(xì)分析和研究了Volterra級(jí)數(shù)的階次、記憶長度這兩種控制參數(shù)對(duì)分?jǐn)?shù)階憶感器時(shí)域模型精度的影響。后續(xù)的工作將研究分?jǐn)?shù)階憶感器的頻域建模方法，以便更加深入地研究分?jǐn)?shù)階憶感器在非線性電路中的特性。