度量G-空間中G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

冀占江, 貝彩霞

(1. 梧州學(xué)院 大數(shù)據(jù)與軟件工程學(xué)院, 廣西 梧州 543002; 2. 梧州學(xué)院 廣西高校圖像處理與智能信息系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 廣西 梧州 543002;3. 梧州學(xué)院 廣西高校行業(yè)軟件技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 廣西 梧州 543002; 4. 梧州職業(yè)學(xué)院, 廣西 梧州 543002)

強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集和非游蕩點(diǎn)集是動(dòng)力系統(tǒng)研究的重點(diǎn),有關(guān)強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集和非游蕩點(diǎn)集的研究成果[1-7]非常豐富,例如,文獻(xiàn)[1]證明了強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集是閉集,文獻(xiàn)[2]給出同胚映射f的強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集對(duì)f是強(qiáng)不變的,文獻(xiàn)[3]給出移位映射的G-非游蕩點(diǎn)集等于自映射f在它的G-非游蕩點(diǎn)集上形成的逆極限空間.隨著動(dòng)力系統(tǒng)的不斷發(fā)展,我們需要在度量G-空間中研究G-強(qiáng)鏈回點(diǎn)和G-非游蕩點(diǎn)集的拓?fù)涮卣骱徒Y(jié)構(gòu),通過(guò)證明得到如下結(jié)果:1)f的G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集對(duì)拓?fù)淙篏是強(qiáng)不變的;2) 映射f的G-非游蕩點(diǎn)集是映射f的G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集的子集;3) 映射fm的G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集是映射f的G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集的子集;4) 移位映射σ的G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集是自映射f在它的G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集上形成的逆極限空間的子集.文獻(xiàn)[1-2]給出了有關(guān)強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)集的結(jié)果,我們知道強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)一定是G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn),反之不成立,因此本文所得結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[1-2]的結(jié)論,并為G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)和G-非游蕩點(diǎn)在其他學(xué)科中的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ).

1 基本概念

定義 1[8]設(shè)(X,d)是度量空間,G是拓?fù)淙?若映射φ:G×X→X滿足:

1) ?x∈X,有φ(e,x)=x,其中e為G的單位元;

2) ?x∈X和?g1,g2∈G,有

φ(g1,φ(g2,x))=φ(g1g2,x),

則稱(X,G,φ)是度量G-空間,簡(jiǎn)稱X是度量G-空間.為了書寫方便,通常將φ(g,x)簡(jiǎn)寫為gx.

特別地,若(X,d)是緊致度量空間,則稱(X,d)是緊致度量G-空間.

定義 2[9]設(shè)(X,d)度量G-空間,f:X→X連續(xù),稱f是偽等價(jià)映射,如果?g∈G,?x∈X,?h∈G使得f(gx)=hf(x)成立.

定義 3[9]設(shè)(X,d)是度量G-空間,f:X→X連續(xù),稱f是等價(jià)映射,如果?g∈G,?x∈X,有f(gx)=gf(x).

定義 5[10]設(shè)(X,d)是度量G-空間,f:X→X連續(xù),x∈X,稱x是f的G-非游蕩點(diǎn),如果?U∈Ux,?n∈N+,?g∈G使gfn(U)∩U≠?.f的G-非游蕩點(diǎn)集用ΩG(f)表示.

注 1Ux表示x的所有鄰域組成的集族.

定義 6[10]設(shè)(X,d)是度量G-空間,A?X,f:X→X連續(xù),記

GA≡{gx|g∈G,x∈X)}.

若G(A)=A,則稱A對(duì)G強(qiáng)不變.

定義 8[11]設(shè)(X,d)是度量空間,f:X→X連續(xù),x∈X.如果?ε>0,存在f作用下從x到x的強(qiáng)ε-鏈,則稱x是f的強(qiáng)鏈回歸點(diǎn).f所有強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)組成的集合記為SCR(f).

注 2根據(jù)強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)的概念,下面給出G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)的概念.

定義 10設(shè)(X,d)是度量G-空間,f:X→X連續(xù),x∈X.如果?ε>0,存在f作用下從x到x的強(qiáng)(G,ε)-鏈,則稱x是f的G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn).f所有G-強(qiáng)鏈回歸點(diǎn)組成的集合記為SCRG(f).

2 主要結(jié)果

引理 1[10]設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間,G是緊致的拓?fù)淙?則?ε>0,?0<δ<ε,當(dāng)d(x,y)<δ時(shí),?g∈G,有d(gx,gy)<ε.

定理 1設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間,f:X→X連續(xù),則G(SCRG(f))=SCRG(f).

(1)

特別地,

d(g0f(y),y1)<δ,

d(gn-1f(yn-1),y)<δ.

由(1)式知

d(ggn-1f(y

由f偽等價(jià)知,?t∈G使得

f(gy)=tf(y),

因此

g0t1f(gy)=g0f(y).

則

d(g0t-1f(gy),y1)<δ,

故

d(g0t-1f(gy),y1)+

則{gy,y1,y2,…,yn-1,gy}是f作用下的強(qiáng)(G,ε)-鏈,因此gy∈SCRG(f),故

G(SCRG(f))?SCRG(f).

由定義知,SCRG(f)?G(SCRG(f)),因此

G(SCRG(f))=SCRG(f).

定理 2設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間,f:X→X連續(xù),則ΩG(f)?SCRG(f).

(2)

由z∈ΩG(f)知,?y∈X,m∈N+和g∈G使得

d(z,y)<δ,

d(gfm(y),z)<δ.

由(2)式知

令xi=fi(y),1≤i≤m-1.x0=xm=z，則有

d(f(y),f(z))+d(gf(x

故{x0,x1,x2,…,xm-1,xm}是強(qiáng)(G,η)-鏈,則z∈SCRG(f),故ΩG(f)?SCRG(f).

定理 3設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間,f:X→X連續(xù),m≥2,則

SCRG(fm)?SCRG(f).

令

xpm+i=fi(yp),

0≤p≤k-1, 0≤i≤m-1,

xkm=y,

易知x0=xkm=y,取

tim-1=gi-1, 1≤i≤k.

于是ti=e,0≤i

注 3由于SCRG(f)對(duì)連續(xù)映射f不變,因此可以考慮f限制在SCRG(f)形成的逆極限空間,可以得到如下結(jié)論.

定理 4設(shè)(X,d)是緊致度量G-空間,f:X→X連續(xù),則

SCR

又

故

則

因此

3 結(jié)束語(yǔ)

致謝梧州學(xué)院校級(jí)重點(diǎn)項(xiàng)目(2020B007)對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意.