在“變與不變”中感受數(shù)學(xué)思考的快樂
——綜合實踐活動《周長是多少》所思

江蘇省無錫市勤新實驗小學(xué) 李敏娟

“長方形和正方形的周長計算”是蘇教版數(shù)學(xué)三年級上冊第三單元的教學(xué)內(nèi)容。它是建立在理解周長的一般概念，并且掌握長方形、正方形的特征基礎(chǔ)上的。在此基礎(chǔ)上，教材安排了一節(jié)綜合與實踐活動《周長是多少》課，引導(dǎo)學(xué)生用所學(xué)知識解決實際問題，獲得分析問題和解決問題的一些方法，體驗方法的多樣性，從而得到有價值的體驗。此活動緊緊圍繞周長的含義、計算，精心設(shè)計了五項具體環(huán)節(jié)“拼一拼”“比一比”“剪一剪”“畫一畫”和“估一估”。活動內(nèi)容既涉及長方形等一些規(guī)則圖形，也涉及一些不規(guī)則圖形。本節(jié)課注重引導(dǎo)學(xué)生在實際操作中進(jìn)一步使用并掌握周長的計算方法，感受不同的數(shù)學(xué)思想方法，通過類比、延展，提高學(xué)生的概括和推理能力。

作為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的領(lǐng)路人，教師首先應(yīng)從自身出發(fā)，認(rèn)真鉆研教材內(nèi)容，領(lǐng)悟體會教材習(xí)題的意圖，然后根據(jù)教材內(nèi)容靈活組織習(xí)題，從而幫助學(xué)生鞏固基礎(chǔ)知識、掌握基本技能。同時，也應(yīng)熟悉學(xué)生知識點的生長點，做到既要突出重點，又要挖掘習(xí)題的思維深層價值，讓學(xué)生的思維水平得到進(jìn)一步的提升。本堂課中，在“比一比”這個環(huán)節(jié)，教師適當(dāng)拓展圖形周長的習(xí)題，學(xué)生充分經(jīng)歷比較、歸納，探究同類題目，初步學(xué)會用探究的眼光看待看似靜態(tài)的圖形，深切體會“變與不變”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，從而進(jìn)一步地發(fā)揮習(xí)題的內(nèi)在價值。

[片段一]“異”中求“同”

出示下列圖形（如圖1），并且說明圖中每個小方格的邊長都是1厘米。

圖1

師：老師這里有三個圖形，看哪個圖形的周長最大！比眼力的時候到了！3，2，1！

生1：我覺得第三個圖形的周長最大?。ㄒ婚_始學(xué)生會有不同意見）

師：仔細(xì)觀察這三個圖形，說一說你有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：我覺得這三個圖形的周長相等。

師：到底是不是這樣呢？我們一起從左到右來算一算它們的周長，先各自計算第一個圖形的周長。

生1：6+5=11（厘米），11×2=22（厘米）。

生2：6+5+6+5=22（厘米）。

師：第二個圖形的周長呢？

生3：老師，我覺得可以“變形”。（隨著學(xué)生的解說，用課件動態(tài)演示平移的過程）先把凹進(jìn)去的邊向上平移，向右平移，變成一個長方形。周長是6+5=11（厘米），11×2=22（厘米）。

師：第三個圖形的周長呢？

生4：先把凹進(jìn)去的邊向上平移、向右平移，變成一個長方形。周長是6+5=11（厘米），11×2=22（厘米）。

師：通過計算，你現(xiàn)在有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)這三個圖形的周長都相等。

師：老師想“摳”去一個小正方形，那剩下圖形的周長是多少厘米？

師：（追問）這三個圖形的形狀不同，但為什么周長相等呢？

通過反復(fù)地比較、開放的討論，學(xué)生認(rèn)識到：如果將第二個、第三個圖形角上的兩條短邊分別平移，我們就能把這個圖形轉(zhuǎn)換成一個與第一個圖形相同的長方形，因此得出轉(zhuǎn)換后的長方形的周長等于原來的圖形的周長。

[思考]學(xué)生的興趣是從比賽開始的。在“比眼力”的過程中，從“3、2、1，開始！”，讓學(xué)生的注意力集中在周長的變化上。雖然學(xué)生還沒有學(xué)過面積的概念與計算方法，但是對于面積的大小是有一定的判斷力的，所以一開始他們會認(rèn)為周長會隨著圖形大小的變化而變化。但是通過平移、轉(zhuǎn)化，再加上隨后的計算卻讓他們驚喜地發(fā)現(xiàn)，圖形的周長竟然沒有發(fā)生變化，這激起了學(xué)生探究的興趣。然后讓學(xué)生指一指還可以“摳去”哪個部分，發(fā)現(xiàn)周長不變的規(guī)律，初步感知體會周長與圖形的大小之間沒有必然相關(guān)性。在面對一些具體的事物和現(xiàn)象時，我們需要引導(dǎo)學(xué)生在相似中尋找差異，在不同中把握共性，進(jìn)而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出一些有價值的問題。

[片段二]“散”中求“聯(lián)”

師：剛才我聽到有一個同學(xué)說，從長方形“摳去”一個圖形，周長都相等。那我們來看看這幾個圖形（如圖2），它們的周長相等嗎？

圖2

師:誰來說說你的發(fā)現(xiàn)？第一個圖形的周長是多少?

生1：6+5=11（厘米），11×2=22（厘米），所以它的周長是22厘米。

師：第二個圖形的周長呢？和第一個圖形的周長相等嗎？

生2：它們的周長不相等，我覺得第二個圖形的周長變長了。

師：這是怎么回事呢？周長怎么這會兒又變長了呢？

生3：先移一移，變成一個長方形，它的周長要比第一個圖形的周長還多出了兩條3厘米的邊，所以它的周長是6+5=11（厘米），11×2=22（厘米），22+3+3=28（厘米）。

師：那第三個圖形的周長呢？誰來說一說？

生4：第三個圖形的周長和第一個圖形的周長也不相等。它的周長要比第一個圖形的周長多兩條2厘米的邊，它的周長是6+5=11（厘米），11×2=22（厘米），22+2+2=26（厘米）。

師：同學(xué)們，我們回過來看一看、比一比剛才這三個圖形的周長，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生5：在長方形的一角“摳去”了一部分，剩下圖形的周長還是原來長方形的周長，如果在長或?qū)捝稀皳溉チ恕币粋€圖形，發(fā)現(xiàn)把邊平移之后除了要算出長方形的周長之外還要加上增加的部分。

[思考]學(xué)生說的“從長方形中‘摳去’一個圖形，周長都相等” ，這是學(xué)生普遍認(rèn)為長方形上“摳去”一個小正方形或者小長方形時，周長不會發(fā)生變化。教師立馬出示三個圖形，讓學(xué)生觀察、比較，引導(dǎo)學(xué)生打破思維定式。學(xué)生通過觀察、思考、計算、交流有了新的發(fā)現(xiàn)。如果沿著一條邊的中間“摳去”一個小正方形或一個小長方形，它的周長就會發(fā)生變化。從而讓學(xué)生認(rèn)識到“周長不變”是有條件的，就只能是在原來長方形的角上“摳去”一部分圖形。在這個過程中，學(xué)生的認(rèn)識是逐步深入的。從“周長不變”到“周長增加”（或者“周長減少”），在看似散亂的幾組圖形中找出了和原來長方形周長之間的聯(lián)系，隨著認(rèn)識不斷深入，學(xué)生自然就能體會到：在研究數(shù)學(xué)問題時，不能太急于下結(jié)論，而應(yīng)該多一些觀察、多一些思考，多從不同角度想一想，在不規(guī)則的散亂的圖形中找到和原來長方形周長之間的聯(lián)系。在本節(jié)課中，學(xué)生自己交流溝通、探索計算周長的方式方法，得出了“求解不規(guī)則圖形周長的新思路、新方法之一是轉(zhuǎn)化”，在看似散亂的圖形中找到了它們與規(guī)則圖形間的內(nèi)在聯(lián)系。

[片段三]“多”中求“深”

師：如果是在長方形的一頭“摳去”一個小長方形，照這樣的“摳法”，它的周長是變還是不變？

生1：在長方形的一頭“摳去”一個小長方形，原來的長變短了，所以周長是有變化的。它的周長是5+4=9（厘米），9×2=18（厘米），所以它的周長變了，而且是變小了。

[思考]“比一比”活動的目的側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想，使學(xué)生初步學(xué)會如何計算不規(guī)則的多邊形周長的一種方法——“等長轉(zhuǎn)化”。在之前的教學(xué)中，教師一方面需要鼓勵學(xué)生利用開放性思維進(jìn)行頭腦風(fēng)暴，利用之前已經(jīng)學(xué)習(xí)過的相關(guān)知識來解決新的問題，另一方面還需要借助幻燈片動畫等動態(tài)演示方式來幫助學(xué)生強(qiáng)化理解轉(zhuǎn)化的具體過程。為了防止學(xué)生產(chǎn)生思維定式，教師于是設(shè)計了這個特殊的例子，這個例子再一次挑戰(zhàn)了學(xué)生已有的認(rèn)識，用特殊的“剪法”，引導(dǎo)學(xué)生思考周長到底是變還是不變，體會判斷這個問題的關(guān)鍵是看到底是增加了還是減少了。在這一系列的探究中，學(xué)生對周長的變化有了更加深刻的感悟，也深刻體會到了周長的變與不變都不是絕對的，這樣的習(xí)題設(shè)計有助于學(xué)生在比較中能夠更加全面地掌握一些圖形周長變化的特點。

在“比一比”這個活動中，教師需要基于教材中的一道基礎(chǔ)性練習(xí)題，經(jīng)過適度的拓展之后，設(shè)計由淺到深的三個層次的教學(xué)活動，通過一步步引導(dǎo)，讓學(xué)生經(jīng)歷從“周長不變”到“周長增加”，再到“周長減少”，從“確定”到“不確定”的思維過程，引導(dǎo)學(xué)生從“會解題”逐步走向“會思考”，讓學(xué)生在“變與不變”的思考中感受到數(shù)學(xué)的快樂，并且發(fā)展了空間觀念，提高了數(shù)學(xué)思維水平。在這個過程中，學(xué)生不但能夠加深對周長含義以及長方形和正方形的特征的認(rèn)識，還能積累轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗、逆向思考的經(jīng)驗，進(jìn)一步豐富“圖形與幾何”的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學(xué)舉一反三、層層遞進(jìn)的思維方式，為今后繼續(xù)學(xué)習(xí)其他平面圖形的知識以及周長和面積的計算奠定了扎實的基礎(chǔ)。