一類含有P-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題的多重正解

胡芳芳，劉元彬，張 永

(1.伊犁師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所，新疆 伊寧 835000；2.新疆工程學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，新疆 昌吉 830091)

0 引言

如今，分?jǐn)?shù)階微積分已被應(yīng)用于許多領(lǐng)域，如工程、力學(xué)、物理、化學(xué)和生物學(xué)，特別是在科學(xué)和工程建模等相關(guān)領(lǐng)域[1-6]，因此，分?jǐn)?shù)階微分方程和P-Laplacian算子微分方程引起了數(shù)學(xué)家們的廣泛關(guān)注，對分?jǐn)?shù)階微積分的各種問題進(jìn)行了大量的專題研究[7-13].

在文獻(xiàn)[14]中研究了如下邊值問題

(1)

在文獻(xiàn)[15]中考慮了以下問題

(2)

基于上述研究，本文利用P-Laplacian算子分析了以下分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題:

(3)

1 預(yù)備知識

在這里，給出一些定義、預(yù)備引理及格林函數(shù)的一些性質(zhì)，這些預(yù)備知識在后面會用到.

定義1[16]連續(xù)函數(shù)y:(0,+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville積分定義為

其中等式右端在(0,+∞)內(nèi)有定義.

定義2[16]連續(xù)函數(shù)y:(0,+∞)→R的α>0階Riemann-Liouville微分定義為

其中n是大于或等于α的最小整數(shù).

u(t)=c1tα-1+c2tα-2+…+cntα-n,
ci∈R,i=1,2,…，n,

其中n是不小于α的最小整數(shù).

其中n是不小于α的最小整數(shù).

引理3設(shè)y∈[0,1],1<β≤2,3<α≤4,則分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題

(4)

有唯一解

(5)

其中：

(6)

(7)

(8)

將c1,c2代入式(8)，可得

(9)

由邊值條件u(0)=u′(0)=u″(0)=u″(1)=0,可得

將d1,d2，d3，d4代入式(9)，可得

引理4函數(shù)G(t,s),H(t,s)滿足如下性質(zhì)：

(1)對任意的t,s∈[0,1],

G(t,s)≥0,H(t,s)≥0;

(10)

(2)對任意的t,s∈[0,1],

G(t,s)≤G(1,s),H(t,s)≤H(s,s);

(11)

(3)存在兩個正函數(shù)k(s),q(s)∈C[0,1],滿足

(12)

(13)

證明(1)由函數(shù)G(t,s),H(t,s)的表達(dá)式可知式(10)顯然成立.

(2)當(dāng)0≤s≤t≤1時，有

當(dāng)0≤t≤s≤1時，有

則函數(shù)G(t,s)在s∈[0,1]上關(guān)于t單調(diào)遞增.

由引理4的(1)及函數(shù)G(t,s)的單調(diào)性可知

下面研究函數(shù)H(t,s)的性質(zhì).

當(dāng)0≤s≤t≤1時，有

則函數(shù)H(t,s)是關(guān)于t單調(diào)遞減的，即H(t,s)≤H(s,s).

當(dāng)0≤t≤s≤1時，有

則函數(shù)H(t,s)是關(guān)于t單調(diào)遞增的，即H(t,s)≤H(s,s).則式(11)成立.

(3)由函數(shù)G(t,s)的單調(diào)性，令

則有

其中

由函數(shù)G(t,s)的單調(diào)性，有

故可取

則式(12)成立.

再由函數(shù)H(t,s)的單調(diào)性，令

則有

其中

再由函數(shù)H(t,s)的單調(diào)性，有

故可取

則式(13)成立.

特別的，如果α=2，則r=0.5；α→1時有r→0.75.

(1)‖Ax‖≤‖x‖,x∈P∩?Ω1,‖Ax‖≥‖x‖,x∈P∩?Ω2.

(2)‖Ax‖≥‖x‖,x∈P∩?Ω1,‖Ax‖≤‖x‖,x∈P∩?Ω2

(C1){x∈P(θ,b,d)|θ(x)>b}≠φ且對x∈P(θ,b,d),有θ(Ax)>b;

(C3)當(dāng)x∈P(θ,b,c)且‖Ax‖>d時，θ(Ax)>b.

那么A至少有三個不動點(diǎn)x1,x2,x3,滿足

‖x1‖

‖x3‖>a,θ(x3)

2 結(jié)果與討論

定理1T:P→P是全連續(xù)算子.

所有T(Ω)是一致有界的.

另外，由于G(t,s)在[0,1]×[0,1]上是一致連續(xù)的，因此對固定的s∈[0,1]及任意的ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)t1,t2∈[0,1],t1

|G(t2,s)-G(t1,s)|<

于是

即T(Ω)是等度連續(xù)的.由Arzela-Ascoli定理可知,T:P→P是全連續(xù)的.

記

定理2假設(shè)f(t,u(t))為C[0,1]×[0,∞)上的連續(xù)函數(shù)，若存在兩個正常數(shù)r2>r1>0,使得

(H2)當(dāng)(t,u(t))∈[0,1]×[0,r2]時，f(t,u(t))≤(Mr2)p-1，

則邊值問題(3)至少有一個正解u,使得r1<‖u‖

證明令Ω1={u∈P|‖u‖

因而‖Tu‖≥‖u‖,u∈?Ω1.

令Ω2={u∈P|‖u‖

因而‖Tu‖≤‖u‖,u∈?Ω2.

由引理5可知，算子T至少有一個不動點(diǎn)u，即邊值問題(3)至少有一個正解且滿足r1<‖u‖

定理3假設(shè)f(t,u(t))為C[0,1]×[0,∞)上的連續(xù)函數(shù)，若存在正常數(shù)且滿足0

(A1)當(dāng)(t,u(t))∈[0,1]×[0,a]時，f(t,u(t))≤(Ma)p-1;

(A3)當(dāng)(t,u(t))∈[0,1]×[0,c]時，f(t,u(t))≤(Mc)p-1,

則邊值問題(3)至少有三個正解u1,u2,u3,且滿足

{u∈P(θ,b,c)|θ(u)>b}≠φ.

即對任意的u∈P(θ,b.c),θ(Tu)>b.所以引理6中的條件(C1)成立.

綜上所述，引理6的所有條件都滿足，根據(jù)引理6，可以得出邊值問題(3)存在三個正解u1,u2和u3，滿足

3 例子

例1考慮邊值問題

通過計算得M≈19.69,N≈2846.37，選擇r1=0.001,r2=0.9，有

根據(jù)定理1，例1可以得到一個解u,使得0.001≤‖u‖≤0.9.

例2考慮邊值問題

其中

根據(jù)定理3，例2可以得到三個正解u1,u2,u3,且滿足

4 結(jié)語

本文以分?jǐn)?shù)階微分方程理論為基礎(chǔ)，首先給出相應(yīng)格林函數(shù)及其性質(zhì)，其次將邊值問題轉(zhuǎn)化為與其等價的積分方程，最后結(jié)合錐壓縮錐拉伸不動點(diǎn)定理和Leggett -Williams不動點(diǎn)定理，獲得了邊值問題(3)一個及多個正解的存在性,并給出實(shí)例加以驗(yàn)證.