“大學(xué)物理”課程與Mathematica軟件相結(jié)合的教學(xué)研究

周小燕，梁青青，楊 惠，趙春艷

(蘭州文理學(xué)院 傳媒工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730010)

0 引言

大學(xué)物理是高等院校中多個(gè)專業(yè)開設(shè)的一門非常重要的基礎(chǔ)理論課，對(duì)于電子類專業(yè)很多后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)起著承前啟后的作用，同時(shí)學(xué)習(xí)大學(xué)物理對(duì)于學(xué)生思維素質(zhì)的培養(yǎng)有非常重要的作用.在大學(xué)物理的學(xué)習(xí)中不僅要掌握大量的概念、公式和定律，而且要把高等數(shù)學(xué)作為工具來解決大學(xué)物理中的問題，這就使部分同學(xué)在初學(xué)時(shí)感到困難重重，從而對(duì)物理的學(xué)習(xí)感到枯燥.同時(shí)大學(xué)物理是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的課程，由于實(shí)驗(yàn)儀器老化或者學(xué)校實(shí)驗(yàn)室設(shè)備欠缺，導(dǎo)致一些實(shí)驗(yàn)結(jié)果不準(zhǔn)確甚至無法實(shí)現(xiàn)，從而導(dǎo)致學(xué)生理解上的誤區(qū).如何能相對(duì)容易解決或者讓學(xué)生能很快接受課堂的知識(shí)呢？這是很多教該課程的老師需要思考的問題.

Mathematica的出現(xiàn)為大學(xué)物理的學(xué)習(xí)提供了輕松的氛圍，它是集文本編輯、數(shù)學(xué)計(jì)算、邏輯分析、圖形、動(dòng)畫于一體的高度優(yōu)化系統(tǒng)，是目前比較流行的數(shù)學(xué)軟件之一[1].董鍵[2]主編的《Mathematica與大學(xué)物理計(jì)算》這部教材討論了該軟件在力學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)等方面的應(yīng)用，柳宏德[3]用Mathematica獲得了任意擺角下的單擺周期近似公式.楊能彪[4]應(yīng)用Mathematica進(jìn)行物理理論計(jì)算和物理現(xiàn)象可視化的研究，獲得了一些有意義的結(jié)論.本文通過Mathematica數(shù)值計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度[5-6]等來探索 Mathematica在大學(xué)物理中的應(yīng)用.

1 用Mathematica軟件對(duì)課堂典型案例分析

本文列舉一些課堂中的典型案例，并利用Mathematica軟件進(jìn)行分析，學(xué)生可以直觀地看到利用該軟件的便利性，有助于提高課堂的效率，激發(fā)學(xué)生的興趣.

1.1 電場(chǎng)強(qiáng)度及其電勢(shì)的計(jì)算

1.1.1 連續(xù)點(diǎn)電荷分布引起的電場(chǎng)

在大學(xué)物理教程電磁學(xué)部分，求連續(xù)點(diǎn)電荷分布引起的電場(chǎng)分布是非常重要的知識(shí)點(diǎn).對(duì)于大學(xué)一年級(jí)學(xué)生，運(yùn)用高等數(shù)學(xué)知識(shí)求解總是不那么得心應(yīng)手，但是借助數(shù)學(xué)軟件可以直觀地得出結(jié)論及畫出相應(yīng)的圖形.對(duì)于連續(xù)電荷的帶電體，可以認(rèn)為其是由大量極小的電荷微元dq集合而成，其中任意微元都可視為點(diǎn)電荷，它在空間中某點(diǎn)P處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為：

(1)

例1：在長(zhǎng)為l=15 cm的直導(dǎo)線上，設(shè)均勻的分布著線密度λ=5.00×10-9C·m-1的正電荷，求在導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上與導(dǎo)線一端相距d=5 cm的點(diǎn)Q的場(chǎng)強(qiáng).

解：根據(jù)(1)式列出點(diǎn)電荷dq在點(diǎn)Q處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)的表達(dá)式為：

(2)

其中dq=λdx.在Mathematica軟件中，只需輸入下列簡(jiǎn)單的代碼，就可以很快的算出來在點(diǎn)Q處的場(chǎng)強(qiáng)的大小.

ε0=8.85*10^(-12);

l=0.15;

d=0.05;

dq=λ*dx;

λ=5.0*10^(-9);

dE=1/(4*π*ε0)*dq/(l-x+d)^2;

計(jì)算結(jié)果為674.385.當(dāng)然還可以算出該導(dǎo)線延長(zhǎng)線上任意點(diǎn)處的電場(chǎng)強(qiáng)度大小，只需要改變數(shù)值d的大小即可.

解：根據(jù)題意可得：點(diǎn)電荷Q1和Q2在P產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為

而

所以

雖然學(xué)生能理論計(jì)算出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，但是電場(chǎng)到底是怎樣分布的學(xué)生不得而知，借助數(shù)學(xué)軟件就可以作出相應(yīng)的電場(chǎng)分布，讓學(xué)生清楚場(chǎng)強(qiáng)的分布狀況.

在軟件窗口中輸入

a = Sqrt[3]; b = 1;

{q1, q2} = {-2.0*10^(-6), 1.0*10^(-6)};

[Psi][x_, y_] := q1/Sqrt[(x + a)^2 + y^2] + q2/Sqrt[y^2 + x^2];

f[x_, y_] := Evaluate[{-D[[Psi][x, y], x], -D[[Psi][x, y], y]}]

StreamPlot[f[x, y], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

Clear["Global`*"]

便可得到電場(chǎng)強(qiáng)度分布情況如圖1所示.

圖1 電場(chǎng)的分布

這樣，學(xué)生只要改變程序中相應(yīng)的數(shù)據(jù)，就可以得出不同距離、不同帶電量的點(diǎn)電荷電力線的分布，從而得出場(chǎng)強(qiáng)的分布，結(jié)合算出的理論值來理解，會(huì)加強(qiáng)學(xué)生對(duì)磁場(chǎng)概念的理解.

1.1.2 利用高斯定理計(jì)算電場(chǎng)強(qiáng)度

高斯定理在靜電場(chǎng)中的應(yīng)用非常重要，尤其是對(duì)于對(duì)稱帶電體產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)計(jì)算尤為重要，合理利用高斯定理能有效簡(jiǎn)化計(jì)算.

例題3：設(shè)球殼半徑為R，所帶電量為Q，根據(jù)高斯定理，可知球殼內(nèi)外的電場(chǎng)為：

(3)

根據(jù)電勢(shì)的計(jì)算得出：

(4)

(5)

同樣可以做出當(dāng)r>R的電位，如圖2和圖3所示.

雖然均勻帶電球殼內(nèi)外電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)的計(jì)算簡(jiǎn)單，但是，通過Mathematica軟件可以得出電位和場(chǎng)強(qiáng)的等高線，讓一個(gè)理論問題非常容易理解，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣.

1.1.3 受迫振動(dòng)

在大學(xué)物理的教學(xué)過程中，振動(dòng)和波動(dòng)是非常重要的章節(jié)，但是在教學(xué)過程中，振動(dòng)這個(gè)章節(jié)會(huì)涉及二階微分方程求解，由于高等數(shù)學(xué)和大學(xué)物理在教學(xué)知識(shí)點(diǎn)上的不同步，導(dǎo)致很多同學(xué)在學(xué)習(xí)振動(dòng)這章時(shí)不會(huì)求解，從而對(duì)振動(dòng)內(nèi)容糊里糊涂，但是通過Mathematica軟件輔助教學(xué)，就會(huì)讓學(xué)生比較直觀地理解所學(xué)內(nèi)容.

圖2 均勻帶電球殼的電位

圖3 均勻帶電球殼的電場(chǎng)強(qiáng)度等高線

例題4：設(shè)有一個(gè)彈簧，它的上端固定，下端掛著一個(gè)質(zhì)量為m的物體，當(dāng)物體處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，這個(gè)位置就是物體的平衡狀態(tài)，當(dāng)物體受到外力作用向下拉一段距離時(shí)，求出物體的振動(dòng)規(guī)律.

化簡(jiǎn)并移項(xiàng)，得到下面的表達(dá)式

(6)

上式就是在有阻尼的情況下物體自由振動(dòng)的微分方程.

在建立方程的過程中，雖然學(xué)生對(duì)牛頓第二定律比較熟悉，但是求解這個(gè)方程要用到數(shù)學(xué)中的微分方程，這對(duì)學(xué)生的理解會(huì)產(chǎn)生一定的影響，而類似的物理模型有電路中的RLC振蕩電路、單擺、復(fù)擺等非常重要的模型.但是，很多同學(xué)都不會(huì)求解或者不知道解的形式，如果采用Mathematica軟件來輔助則可以達(dá)到非常好的效果，同學(xué)們可以看到具體圖形.在軟件窗口中輸入：

m=1;c=28.28;k=200; [Delta] = c/(2*m);

Subscript[[Omega], 0] = Sqrt[k/m];

x1 = 1; time = 4;

p = NDSolve[{x''[t] + Subscript[[Omega], 0]^2*x[t] +

2*[Delta]*x'[t] == 0, x[0] == x1, x'[0] == 0}, x, {t, 0, time}];

x = x /. p[[1]];

Plot[{x[t]}, {t, 0, time}, AxesLabel -> {"t/s", "x/m"},

PlotRange -> All]

Clear["`Global`*"]

只需變化上述代碼中的時(shí)間和c的數(shù)值，就可以畫出臨界阻尼、欠阻尼和過阻尼的圖形，具體如圖4所示.

圖4 當(dāng)c=0.8,c=28.28,c=35時(shí)分別對(duì)應(yīng)欠阻尼，臨界阻尼，過阻尼

這樣，學(xué)生只要改變相應(yīng)的參數(shù)，就可以從圖形上看到結(jié)果，從而更好理解教學(xué)中的相關(guān)內(nèi)容.

2 在教學(xué)中利用Mathematica軟件的優(yōu)點(diǎn)

2.1 Mathematica軟件強(qiáng)大的作圖功能，將抽象演變?yōu)榫唧w

Mathematica軟件是一款科學(xué)計(jì)算軟件，很好地結(jié)合了數(shù)值和符號(hào)計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)、與其他應(yīng)用程序的高級(jí)連接等功能，在相應(yīng)領(lǐng)域內(nèi)處于領(lǐng)先地位，也是使用最廣泛的數(shù)學(xué)軟件之一.雖然目前有很多軟件如excel、spss等也可以做一些比較簡(jiǎn)單的圖形，但是針對(duì)大學(xué)物理等比較高層次的專業(yè)領(lǐng)域的學(xué)科研究使用中，要將抽象的數(shù)學(xué)概念、公式等通過具體圖像圖形表現(xiàn)出來，就必須使用Mathematica軟件，做出的圖形更具體也更形象，實(shí)現(xiàn)了從抽象到具體的轉(zhuǎn)變，更有利于開展科學(xué)研究.

2.2 Mathematica軟件為解決具體問題提供實(shí)踐條件

大學(xué)物理中有時(shí)一個(gè)問題可能要好幾種解決的方法，這些方法中存在著各種聯(lián)系和區(qū)別，每一種方法都有優(yōu)缺點(diǎn)，那么到底用哪一種方法最簡(jiǎn)便呢？回答這些問題的最簡(jiǎn)單的方法是將這些方法都列出來，給學(xué)生一一講解，但是，在教學(xué)過程中，這些計(jì)算都將耗費(fèi)大量時(shí)間，如果借助Mathematica軟件強(qiáng)大的計(jì)算能力及其超強(qiáng)的繪圖能力就可以展示比較多的計(jì)算方法[7-8]，這樣有助于拓寬學(xué)生的解題思路和知識(shí)視野，有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)大學(xué)物理知識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

2.3 Mathematica軟件幫助學(xué)生建立第二課堂，有助于課后復(fù)習(xí)和歸納

隨著計(jì)算機(jī)的普及以及人們生活條件的改善, 已有較多學(xué)生擁有個(gè)人電腦.這樣，只需要在個(gè)人電腦上安裝上Mathematica軟件，就相當(dāng)于擁有了個(gè)人多功能計(jì)算實(shí)驗(yàn)室和第二課堂[9].學(xué)生課后就可通過軟件方便地實(shí)踐課堂上所學(xué)知識(shí)，還可以對(duì)相似的問題進(jìn)行總結(jié)和歸納，最大程度利用教學(xué)資源和軟件資源，提高學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性.

3 結(jié)語

本文用Mathematica軟件對(duì)《大學(xué)物理》教學(xué)中幾個(gè)重要的物理模型進(jìn)行了深入研究，給出了均勻帶電球殼全空間的電勢(shì)和電場(chǎng)強(qiáng)度分布的等高線.編程作圖的結(jié)果可以直觀呈現(xiàn)給學(xué)生，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解，提高課堂效率.Mathematica軟件數(shù)值能力強(qiáng)大，并且可以模擬一些在實(shí)驗(yàn)室中難以完成的物理實(shí)驗(yàn)，對(duì)大學(xué)物理教學(xué)有重要的輔助作用.