板式電渦流TMD有限元模擬與參數優(yōu)化

盧亮亮李金海楊德超

（昆明理工大學建筑工程學院，昆明 650000）

0 引言

在城市道路發(fā)展中，人行橋普遍的應用于解決人行道、車行道交匯引發(fā)的安全問題。在人行橋建設時常采用具有高強輕巧、易安裝等優(yōu)點的鋼結構橋［1］，但其也存在輕柔與低阻尼的缺陷，導致在受到人致激勵下易產生豎向的過幅振動，進而影響行人的行走舒適度［2］，嚴重的甚至破壞橋體結構。為提升人行橋的行走舒適度與安全性，在人行橋上加設電渦流調諧質量阻尼器（Tuned Mass Damper，TMD）是一種行之有效的方法。

傳統(tǒng)黏滯阻尼器存在機械磨損、不易養(yǎng)護、阻尼與剛度耦合等缺點。相較于傳統(tǒng)黏滯阻尼器，電渦流TMD依據電磁感應原理產生阻尼，具有耐久性、阻尼易調節(jié)、無附加剛度等優(yōu)點，故電渦流TMD在土木工程領域擁有著廣泛的研究和應用前景［3～5］。2001年，方重等［6］提出電磁渦流耗能TMD，并驗證電磁渦流耗能TMD具有良好的阻尼減震效果；2002年，樓夢麟等［7］通過電磁耗能TMD結構減震的振動臺實驗，證明了電磁渦流耗能原理的TMD新裝置具有良好的結構減震效率；2013年，汪志昊等［8］研制一種適用于吊桿減振的永磁式電渦流TMD，并驗證該款電渦流TMD具有工程應用可行性；2016年，陳政清等［9］對一種板式電渦流TMD進行有限元仿真與參數優(yōu)化，分析得出導體板厚度、氣隙、永磁鐵排布方式對電渦流TMD的性能有顯著影響；2019年，王梁坤等［10］提出一種電渦流TMD，使用有限元軟件對其永磁鐵排布方式、導磁板厚度、導體板厚度、和磁導間距進行了參數分析及優(yōu)化，并提出一種電渦流TMD的設計方法。

本文對本課題組提出的電渦流TMD樣機進行三維有限元電磁瞬態(tài)場分析。研究永磁鐵排布方式、氣隙、永磁鐵厚度、導體板厚度對電渦流TMD阻尼力做功的影響，并根據電渦流TMD阻尼力做功的大小隨各參數變化規(guī)律，給出合理的參數設計范圍，以供類似電渦流TMD研究進行參考。

1 電渦流TMD基本構造

1.1 板式電渦流阻尼器結構

依據人行橋的減震需求，本課題組擬提出一種電渦流TMD樣機，結構如圖1所示。

圖1 電渦流TMD樣機Fig.1 Eddy current TMD prototype

阻尼器結構底座用于阻尼器與被控對象連接；底座連接阻尼器兩部分構件，一部分由底座通過連接架與永磁鐵、導磁鐵連接，該構件在被控對象受到激勵后總會伴隨被控對象一起運動且與被控對象不產生相對位移，故將該構件稱為“固定構件”；另一部分為底座上連接豎向導軌，螺旋壓簧套在摩擦力較小的豎向導軌上，導體板、配重塊則通過連接構件與螺旋壓簧連接，該部分構件在被控對象受到激勵后由于慣性作用會保持原有狀態(tài)而來不及響應，因此會與被控對象產生相對位移，故將該構件稱為“活動構件”。此外，“固定構件”中的永磁鐵、導磁鐵與“固定構件”中的導體板、配重塊在相應位置開有孔洞以插入螺桿，該設計方便調節(jié)阻尼器相關參數以達到改變阻尼力大小的目的。

當被控對象受到激勵后，由于“固定構件”與“活動構件”的工作狀態(tài)不同，兩者產生的位移差表現(xiàn)為“活動構件”中的導體板在“固定構件”中的永磁鐵之間做切割磁感線運動，因此導體板上的磁通量會發(fā)生改變。由楞次定律可知，導體板表面會產生類似渦流狀的感應電流，這種感應電流會抑制導體板上磁通量的變化從而產生抵制導體板運動的阻尼力［11］，該阻尼力在阻尼器上提供電渦流阻尼。

由文獻［8］得出電渦流TMD阻尼中摩擦阻尼為機構固有阻尼，其大小由機構本身決定，故本文暫不討論固有阻尼部分。再者，機構中螺旋壓簧為彈性元件，其提供彈性阻尼。至今傳統(tǒng)阻尼器以及黏彈性阻尼中對彈性元件設計很成熟，故本文不再贅述。電渦流TMD阻尼核心為可調節(jié)的電渦流阻尼系統(tǒng)，是電渦流TMD產生阻尼的主要部分，該部分主要由永磁鐵、導磁鐵、導體板構成，因此阻尼系統(tǒng)可通過調節(jié)氣隙（永磁鐵表面到導體板表面距離）、永磁鐵厚度、導體板厚度等來實現(xiàn)對阻尼器性能的調節(jié)。綜上所述，本文通過選取電渦流TMD中的阻尼系統(tǒng)部分研究各參數對阻尼器的影響。

1.2 電磁場基本方程

麥克斯韋方程組是描述電磁場的基本方程，在有限元仿真模擬中需將麥克斯韋方程組推導成微分形式：

式中：H為磁場強度；E為電場強度；J為傳導電流密度；D為電通密度；B為磁感應強度；ρ為電荷體密度。

式（1）—式（4）中場量E、D、B、H之間的關系由媒介的特性決定，對于線性媒介，其關系為

式中：ε為介質的介電常數；μ為介質的磁導率；σ為介質的電導率。

在ansoft三維瞬態(tài)場中采用T-Ω算法和局部剖分法對三維瞬態(tài)運動經行電磁場計算。而在計算低頻瞬態(tài)磁場時麥克斯韋方程組微分形式可寫成：

通過式（8）、式（9）、式（10）可以得出以下恒等式：

1.3 電渦流TMD模型簡化及磁極分布方案

根據1.1小節(jié)可知，本文需分析主要由導體板、永磁鐵、導磁鐵構成的電渦流TMD阻尼系統(tǒng)模型，利用有限元軟件ansoft建立該模型如圖2所示。

圖2 阻尼系統(tǒng)模型Fig.2 Damping system model

阻尼系統(tǒng)構件尺寸參數如表1所示。

表1 阻尼系統(tǒng)構件尺寸參數Table 1 Component size parameters of damping system

永磁鐵選用稀土永磁鐵釹磁鐵（Nd2Fe14B），其牌號為N35，剩磁感應強度Br=1170～1210MT，矯頑力為868 kA/m，內稟矯頑力為955 kA/m，最大磁能積為263 kJ/m3，總布置塊數22塊；導磁鐵的相對磁導率為2 000；銅板相對磁導率為0.999，電導率為58 000 000 s/m。

從圖2中看出永磁鐵分布呈幾何對稱，定義兩側磁鐵分別為左側磁鐵、右側磁鐵，由于永磁鐵磁極分布的不同，磁路長短不一，根據磁路歐姆定律可知，磁路短，磁動勢大，磁通量大，從而導體板表面磁感應強度大，因此選擇不同的磁極分布對阻尼系統(tǒng)有很大影響。通過擬定不同磁極分布方案來選擇最佳磁極分布方案，磁極分布方案如表2所示，各方案示意如圖3表示。

圖3 永磁鐵磁極分布圖Fig.3 Permanent magnet pole distribution diagram

表2 永磁鐵分布方案Table 2 Permanent magnet distribution scheme

阻尼系統(tǒng)中暫取永磁鐵厚度為15 mm，導體板厚度為5 mm，氣隙寬度為5 mm，導磁鐵厚度為15 mm，其他各項材料及參數設置參照表1所示，根據表2中各磁極分布方案，利用有限元建模進行分析。以人行橋減震為例，人致振動為人行橋主要激勵，行人激勵可以用傅立葉級數表達為靜荷載與幾個簡諧動荷載疊加[12]：

式中：W為靜荷載；fp為行人的步頻；φi為初始相位。

由人致激勵可看作周期激勵，故人行橋的振動位移函數為［13］

在人行橋受到激勵后，加設在人行橋上的電渦流TMD隨著人行橋進行周期性振動，并且其中的“固定構件”與“活動構件”也產生周期性的相對運動，從而導體板相對于永磁鐵做切割磁感線運動。根據振動位移函數及電渦流TMD的工作原理，導體板相對永磁鐵的速度函數可為含有余弦的函數，為方便計算，在進行有限元模擬時將其速度函數簡化為

在人行橋受到激勵后，其振動能量傳遞到電渦流TMD上，電渦流TMD通過電磁感應產生抑制導體板運動的阻尼力，最終能量由阻尼力對內做功而逐漸耗散，以達到減震目的。故本文以電渦流阻尼力在一段時間內所做的功來判斷阻尼系統(tǒng)工作性能。

通過有限元模擬結果可得到在時間t為2 s內阻尼力Fz和導體板的位移S的變化曲線。以方案a為例，F(xiàn)z隨時間變化曲線如圖4所示，導體板位置S隨時間變化曲線如圖5所示。

圖4 阻尼力隨時間變化曲線Fig.4 Damping force versus time curve

圖5 導體板位置隨時間變化曲線Fig.5 Conductor plate position versus time curve

通過有限元模擬可得阻尼力Fz在時間步長Δt=0.01上的平均值及時間步長Δt上的位移值ΔSi，在經過時間t=2 s阻尼力做功W為

阻尼力在銅板運動過程中的功即為阻尼系統(tǒng)通過熱量耗散的能量。將各方案模擬結果通過計算阻尼力做功得到的結果如表3所示。

從表3中可以看出，不同的磁極分布對阻尼力做功影響很大，選用合適的磁極分布能有效提高阻尼系統(tǒng)工作效率；當磁鐵磁極交錯分布時相較于磁鐵磁極同向分布時方案阻尼力做的功更大，因為磁極交交替分布下，磁路短，磁動勢損耗較少［14］，產生的阻尼力更大。選擇磁極交替分布的方案進行對比可以得出：方案a、b阻尼力做功幾乎為方案e、f的兩倍。綜上所述，電渦流TMD采用兩側永磁鐵交替分布時性能最佳。

1.4 阻尼系統(tǒng)模型簡化

通過1.3小節(jié)分析得，永磁鐵采用磁極交替方案有效提高阻尼器性能。方案a與方案b磁極分布皆采用磁極交替分布，但兩側相對磁極分布不同。為研究兩側永磁鐵磁極之間相互影響的關系，將方案a、b，c、d，e、f組合為兩兩首塊磁鐵磁極不同的方案組。通過對比各方案組阻尼力做功的差值及差值占比，結果如表4所示。

表4 差值及差值占比Table 4 Difference and ratio of difference

從表4可以看出方案組中的各方案組內阻尼力做功差值不大，且各差值占對應方案的比重不大，由此可知兩側永磁鐵磁極之間相互作用不大，其原因為兩側磁鐵磁極之間的間距遠大于氣隙，單側磁鐵磁極之間相互作用遠大于兩側磁鐵磁極之間的相互作用，從磁力線分布可明顯觀察到該現(xiàn)象。以方案a為例，得到阻尼系統(tǒng)磁力線分布如圖6所示。

圖6 阻尼系統(tǒng)磁力線分布Fig.6 Distribution of magnetic field lines of damping system

從圖6看出兩相鄰磁鐵之間磁力線相較于兩側磁鐵之間磁力線更密集，因此兩側磁極之間相互影響不大。在永磁鐵磁極交替分布下，兩側永磁鐵及其磁力線分布均呈幾何對稱，故可將阻尼系統(tǒng)模型進一步簡化。

為便于有限元模擬仿真，由阻尼系統(tǒng)兩側磁鐵之間相互影響可忽略，故將阻尼系統(tǒng)簡化為圖7所示的簡化模型。

圖7 簡化模型Fig.7 Simplified model

為驗證簡化模型可行性且其與阻尼系統(tǒng)模型的關系。暫取導體板厚度為5 mm、氣隙為5 mm，永磁鐵厚度為15 mm建立簡化模型與阻尼系統(tǒng)模型并進行有限元模擬。在時間節(jié)點t=1 s時簡化模型導體板表面磁感應強度分布云圖如圖8所示，阻尼系統(tǒng)導體板表面磁感應強度分布云圖如圖9所示，在該時刻兩模型首塊導體板表面沿x軸向中線上磁感應強度對比曲線如圖10所示。

圖9 阻尼系統(tǒng)模型磁感應分布云圖Fig.9 Magnetic induction distribution cloud map of damping system model

結合圖8—圖10可以看出，阻尼系統(tǒng)中兩側導體板表面的磁感應強度分布呈軸對稱且任一側磁感應強度分布于簡化模型的基本相同，簡化模型與阻尼系統(tǒng)模型中線上的磁感應強度分布在前半部分的基本一致且最大磁感應強度位置也相同。綜上所述，簡化模型可替代阻尼器模型進行分析。阻尼系統(tǒng)模型與簡化模型的阻尼力做功對比如表5所示。

表5 兩模型做功對比Table 5 Comparison of two models

圖8 簡化模型磁感應分布云圖Fig.8 Magnetic induction distribution cloud map of simplified model

圖10 中線上磁感應強度對比Fig.10 Comparison of magnetic induction intensity on centerline

根據表5可以看出，阻尼系統(tǒng)模型阻尼力做功大小幾乎為簡化模型阻尼力做功的兩倍。下文均采用簡化模型代替阻尼系統(tǒng)模型來分析阻尼系統(tǒng)中主要參數對阻尼力做功的影響。

2 阻尼系統(tǒng)參數分析及優(yōu)化

2.1 影響參數及工況

根據1.4小節(jié)可將電渦流阻尼系統(tǒng)簡化為簡化模型分析。根據電渦流TMD阻尼系統(tǒng)結構可知，導體板厚度、永磁鐵厚度、氣隙是影響阻尼力做功的主要因素，故設置三個不同參數的模擬變量，各參數取值如表6所示。

表6 參數取值Table 6 Parameter value mm

由1.2小節(jié)中給出阻尼系統(tǒng)相關尺寸及材料參數，以此為基準參照表6建立不同主要參數變化下的簡化模型?？紤]到不同工況下阻尼力做功的大小不同，為方便分析各參數對阻尼力做功的影響，通過待定系數法，觀察其余兩參數變化對阻尼力做功的影響。

2.2 氣隙的影響分析

通過固定導體板厚度，模擬各永磁鐵厚度下阻尼力做功的大小隨氣隙變化規(guī)律。為便于分析，研究在固定導體板厚度da=12 mm下阻尼力做功的大小隨氣隙變化規(guī)律，如圖11所示。

圖11 阻尼力做功隨氣隙變化Fig.11 Variations of damping force work with air gap

從圖11可以看出，在給定區(qū)間內，阻尼力做功的大小隨氣隙呈負指數衰減：隨著db增大，阻尼力做功變少，且隨著db增大到一定值后有趨于穩(wěn)定的跡象。出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因是db過大，兩磁鐵之間相互作用較少且間距較長故而漏磁較為嚴重，從而導致導體板上的磁感應強度變化不明顯。為分析在給定區(qū)間內阻尼力做功的大小隨氣隙變化的變化率，對圖11中各曲線數據采用指數型回歸得各回歸方程：Yi，并對該回歸方程求導得到各導函數為：H(x)=導函數圖線如圖12所示。

圖12 不同氣隙下阻尼力做功的變化率Fig.12 Variation rate of damping force work under different air gaps

從圖12中可以看出在db＜7 mm時，db變化對阻尼力做功的變化率的影響較大。當db＞7 mm時，隨著db變化對阻尼力做功的變化率的影響較小，而且當db增大到一定程度后阻尼力做功的變化率基本保持不變。

綜上所述，當氣隙取值大于7 mm后，導體板上已出現(xiàn)明顯漏磁，通過改變氣隙寬度對阻尼系統(tǒng)工作影響不大，因此建議氣隙取值在7 mm以內。特別在永磁鐵厚度越大該變化越明顯，而在永磁鐵厚度較小時，db變化對阻尼力做功影響較小。

2.3 永磁鐵厚度的影響及分析

通過待定系數法，通過固定氣隙而改變永磁鐵厚度來分析永磁鐵厚度變化對阻尼力做功的影響。為便于分析，故此處取導體板厚度da=12 mm來分析阻尼力做功隨永磁鐵厚度變化規(guī)律如圖13所示。

圖13 阻尼力做功隨永磁鐵厚度變化Fig.13 Variation of damping force work with permanent magnet thickness

從圖13可以看出，阻尼力做功的大小隨永磁鐵厚度呈對數增大：當永磁鐵厚度增大，阻尼力做功增大，當氣隙越小時，阻尼力做功的大小隨永磁鐵厚度變化越明顯。為分析在給定區(qū)間內不同永磁鐵厚度對阻尼力做功的大小的影響，將各曲線數據按照對數回歸模型得到各回歸方程：Ti。通過回歸方程的導數來分析其變化率，其導函數為：G(x)=。導函數曲線如圖14所示。

圖14 不同永磁鐵厚度下阻尼力做功的變化率Fig.14 Variation rate of damping force work under different permanent magnet thickness

從圖14可以看出阻尼力做功的變化率隨著永磁鐵厚度變大而逐漸變小，在永磁鐵厚度c＜15 mm時阻尼力做功變化率下降較快且較為明顯，在c＞15 mm時，隨著永磁鐵厚度增大，雖然阻尼力作做功的大小在增大，但其改變量基本保持不變，其原因是由于永磁鐵厚度增大，永磁鐵自身磁阻也增大，相應需要一部分磁動勢來抵消自身磁阻［15］，因此阻尼力做功的大小隨永磁鐵厚度變化的增率趨于穩(wěn)定。綜上所述，永磁鐵厚度取15 mm以內變化較為合適，在此繼續(xù)增大永磁鐵厚度后雖然阻尼力做功的大小有所提升，但整體提升不大，有可能經濟性下降。

2.4 導體板厚度的影響及分析

為分析阻尼系統(tǒng)中阻尼力做功的大小隨導體板厚度變化規(guī)律，此處選用當永磁鐵厚度c=9 mm時分析，得到其變化規(guī)律如圖15所示。

圖15 阻尼力做功隨導體板厚度變化Fig.15 Variation of damping force work with conductor plate thickness

從圖15可以看出阻尼力做功的大小隨著導體板厚度呈指數增大：隨著導體板厚度增大而增加。將圖15中各曲線數據按照指數型回歸得到各曲線回歸方程Ui，通過分析回歸方程的導函數L(x)=得到阻尼力做功的大小隨導體板厚度改變的變化率如圖16所示。

圖16 不同導體板厚度阻尼力做功的變化率Fig.16 Variation rate of damping force work under different conductor plate thickness

從圖16中可以看出，隨著導體板厚度增大，阻尼力做功的增率也增大，而當氣隙較大時，增大導體板厚度，阻尼力做功的提升不大。在確定其他參數時，由于導體板厚度越大，阻尼力做功越大，因此建議在給定區(qū)間內導體板厚度選擇最值。

3 結論

通過有限元軟件三維電磁場分析各主要參數對電渦流TMD影響得到結論如下：

（1）不同的永磁鐵磁極分布方式對阻尼力做功有著顯著影響。當阻尼系統(tǒng)采用永磁鐵磁極交替分布時，阻尼力做功的大小最大。

（2）阻尼系統(tǒng)結構呈幾何對稱；兩邊導體板表面磁感應強度分布之間也呈幾何對稱；磁力線走勢呈中心對稱；依據整體模型阻尼力做功的大小為簡化模型的兩倍關系，可由簡化模型代替阻尼系統(tǒng)模型分析。

（3）運用待定系數法、線性回歸以及回歸方程的導數分析各參數對阻尼力做功的影響可得：氣隙db在7 mm以內、永磁鐵厚度取15 mm以內最優(yōu)，導體板厚度在可選區(qū)間取最值。