Mlinex損失函數(shù)下Weibull分布的Bayes估計(jì)

范梓淼, 趙江南, 馬文杰

(新疆農(nóng)業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 新疆 烏魯木齊市 830052)

0 引言

在Bayes統(tǒng)計(jì)決策中,后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn)最小準(zhǔn)則下,損失函數(shù)決定著后驗(yàn)風(fēng)險(xiǎn),從而影響決策的優(yōu)劣. 損失函數(shù)大致分為對(duì)稱和非對(duì)稱,Mlinex損失函數(shù)是Podder在研究Pareto分布參數(shù)估計(jì)問題時(shí)引入的一類非對(duì)稱損失函數(shù)[1],被廣泛應(yīng)用在Bayes估計(jì)問題中.在Mlinex損失函數(shù)下[2-4],分別討論了一類分布族參數(shù)、Gamma分布的尺度參數(shù)、逆伽馬分布尺度參數(shù)的Bayes估計(jì),并證明Mlinex損失函數(shù)的優(yōu)勢(shì).

Weibull分布于1951年由瑞典科學(xué)家Waloddi Weibull正式命名,引入到可靠性分析中,用于可靠性工程和各種壽命試驗(yàn)的數(shù)據(jù)處理,有較好的擬合性和靈活性.例如，鄭明亮建立Weibull分布下的加速壽命試驗(yàn)方案[5],許凌天[6]和李刊等人[7]選擇Weibull分布建模,分別對(duì)軸承和鋼筋/混凝土可靠性壽命進(jìn)行評(píng)價(jià)研究.因此,研究Weibull分布的各種性質(zhì)尤其是參數(shù)估計(jì)問題是有意義的.為節(jié)省成本和試驗(yàn)時(shí)間,截尾數(shù)據(jù)被實(shí)際應(yīng)用和研究普遍使用,逐步增加Ⅱ型截尾是一類定數(shù)截尾數(shù)據(jù). 在逐步增加Ⅱ型截尾下,徐曉嶺討論Weibull分布的極大似然估計(jì)和逆矩估計(jì)[8];李風(fēng)等人基于平方損失和Linex損失,討論Weibull分布的Bayes估計(jì)[9].本文將在Mlinex 損失函數(shù)進(jìn)一步研究Weibull分布的Bayes估計(jì)問題,并用Monte Carlo模擬,比較各估計(jì)的優(yōu)劣.

定義1 若隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

則稱X服從韋布爾分布,記作W(m,η),其中m>0,η>0.韋布爾分布的分布函數(shù)為

1 Mlinex損失函數(shù)

Mlinex損失函數(shù)是一種修正線性指數(shù)損失函數(shù),其表達(dá)式為

(1)

其中δ是θ的任一估計(jì),c是不為0的常數(shù),不妨設(shè)c>0.

2 逐步增加Ⅱ型截尾模型

設(shè)有n個(gè)樣品進(jìn)行試驗(yàn),當(dāng)?shù)谝粋€(gè)失效樣品出現(xiàn)時(shí),記試驗(yàn)時(shí)間為x(1),同時(shí)從剩下的n-1個(gè)樣品中抽出r1個(gè)退出試驗(yàn);再繼續(xù)觀察剩余的n-1-r1個(gè)樣品,當(dāng)?shù)诙€(gè)失效樣品出現(xiàn)時(shí),記時(shí)間為x(2),從n-2-r1中抽出r2個(gè)退出試驗(yàn);當(dāng)失效k個(gè)時(shí),記時(shí)間為x(k),退出rk個(gè)樣品.由此得到,失效時(shí)間(x(1),x(2),…,x(k))為逐步增加Ⅱ型截尾數(shù)據(jù),為方便記為x=(x1,x2,…,xk).當(dāng)k=n時(shí),為定數(shù)截尾數(shù)據(jù).

引理2[10]設(shè)x=(x1,x2,…,xk)來自逐步增加Ⅱ型截尾樣本,則其聯(lián)合密度函數(shù)為

3 Mlinex損失函數(shù)下Weibull分布的Bayes估計(jì)

定理1 設(shè)x=(x1,x2,…，xk)來自逐步增加Ⅱ型截尾模型下Weibull分布W(m,η),其中m已知,η未知,參數(shù)空間為Θ={η|η>0}.假設(shè)η的先驗(yàn)分布為逆伽瑪分布IG(α,λ),則在Mlinex損失函數(shù)下,參數(shù)η的Bayes估計(jì)為

且該估計(jì)是容許的.

證明由引理2知,樣本的聯(lián)合密度為

η的先驗(yàn)分布為

則聯(lián)合密度為

從而,后驗(yàn)密度為

所以,在樣本給定后,η的后驗(yàn)分布為IG(α+k,T+λ),即

η|x～I(xiàn)G(α+k,T+λ).

由

于是,在Mlinex損失函數(shù)下,參數(shù)的貝葉斯估計(jì)為

由引理1知, Bayes估計(jì)是唯一的,可容許的.

4 數(shù)值模擬

用R語言生成m=25,η=2的逐步增加Ⅱ型截尾下Weibull分布隨機(jī)數(shù)[9],取先驗(yàn)分布參數(shù)α=2,λ=3,重復(fù)1 000次,求得各估計(jì)的均值和均方誤差根,如表1所示.其中:

表1 參數(shù)各估計(jì)的均值和均方誤差根

分別為參數(shù)η的在平方損失下的貝葉斯估計(jì)和最大似然估計(jì)

數(shù)值模擬表明,合理選擇先驗(yàn)分布和c的值,Mlinex損失下Weibull分布參數(shù)的Bayes估計(jì)較平方損失下的Bayes估計(jì)和最大似然估計(jì)更接近真實(shí)值,更穩(wěn)健.也說明非對(duì)稱損失比對(duì)稱損失函數(shù)更具靈活性,便于工程實(shí)際應(yīng)用.