基于動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型的國(guó)債收益率曲線預(yù)測(cè)

張茂軍，湯孝海，趙揚(yáng)

（蘇州科技大學(xué)商學(xué)院，江蘇 蘇州 215009）

引言

國(guó)債是中國(guó)債券市場(chǎng)的一個(gè)重要組成部分。收益率曲線是國(guó)債的重要屬性之一，在宏觀經(jīng)濟(jì)和金融市場(chǎng)中發(fā)揮著非常重要的功能和作用。在宏觀經(jīng)濟(jì)方面，國(guó)債收益率曲線具有連接貨幣市場(chǎng)和宏觀經(jīng)濟(jì)的功能，尤其是收益率曲線形狀變化是宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的“風(fēng)向標(biāo)”。在金融市場(chǎng)方面，國(guó)債收益率曲線是資產(chǎn)定價(jià)和投資的基礎(chǔ)。

目前，關(guān)于國(guó)債收益率曲線的研究主要集中在對(duì)收益率曲線的擬合和預(yù)測(cè)兩方面。大量文獻(xiàn)研究了國(guó)債收益率曲線擬合模型，其中Nelson-Siegel模型不僅比較精確地?cái)M合了國(guó)債收益率歷史數(shù)據(jù)，而且可以分離出國(guó)債收益率的長(zhǎng)期、中期和短期因子，是非常重要的模型之一。本文借助動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型擬合中國(guó)國(guó)債收益率曲線，同時(shí)利用AR模型和GARCH模型預(yù)測(cè)國(guó)債收益率曲線的水平因素、斜率因素和曲率因素，以期探究預(yù)測(cè)國(guó)債到期收益率的有效方法。

一、文獻(xiàn)評(píng)述

國(guó)債收益率曲線的擬合模型主要分為動(dòng)態(tài)仿射模型和參數(shù)模型。動(dòng)態(tài)仿射模型又分為單因子仿射模型和多因子仿射模型。在單因子仿射模型中，通過設(shè)定收益率曲線受單一因素“短期利率”驅(qū)動(dòng)，并在市場(chǎng)債券無套利條件下，推導(dǎo)出收益率曲線理論模型[1-3]。在多因素仿射模型中，在收益率曲線受若干潛在因素驅(qū)動(dòng)的基礎(chǔ)上，按照折現(xiàn)后債券理論價(jià)格同債券實(shí)際價(jià)格相等的原則，推出內(nèi)含的收益率曲線[4-5]。但是，單因子和多因子仿射模型均是基于“某一時(shí)刻”的債券市場(chǎng)價(jià)格信息，樣本外預(yù)測(cè)能力較弱。大部分動(dòng)態(tài)模型側(cè)重研究樣本內(nèi)數(shù)據(jù)擬合，甚少涉及樣本外推檢驗(yàn)和模型預(yù)測(cè)能力，也很少用于實(shí)際的收益率曲線預(yù)測(cè)。

在參數(shù)模型中，主要借助于多項(xiàng)式和樣條方法擬合國(guó)債收益率曲線。McCulloch[6]提出了用分段多項(xiàng)式擬合收益率曲線的設(shè)想，并用三次樣條法對(duì)美國(guó)國(guó)債稅后收益率曲線進(jìn)行估計(jì)[7]。Nelson和Siegel提出了擬合即期遠(yuǎn)期收益率的三參數(shù)模型[8]，這3個(gè)參數(shù)分別表示收益率的“水平”“斜率”和“曲率”狀態(tài)因子，抓住了收益率曲線的特征，被廣泛應(yīng)用。近年來，Diebold和Li[9]在逐期估計(jì)Nelson-Siegel模型參數(shù)的基礎(chǔ)上，提出動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型，對(duì)樣本內(nèi)參數(shù)建立時(shí)間序列模型，并預(yù)測(cè)樣本外參數(shù)，即對(duì)收益率曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)。該方法不僅簡(jiǎn)潔，且具有顯著的預(yù)測(cè)精度優(yōu)勢(shì)。Vicente和Tabak[10]利用動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型預(yù)測(cè)巴西債券市場(chǎng)收益率曲線，實(shí)證結(jié)果表明其對(duì)長(zhǎng)期的預(yù)測(cè)效果優(yōu)于其他模型。Yu和Zivot利用Nelson-Siegel三因素模型預(yù)測(cè)公司債券[11]，實(shí)證結(jié)果發(fā)現(xiàn)樣本外預(yù)測(cè)時(shí)，AR（1）模型的表現(xiàn)優(yōu)于其他模型。

國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)國(guó)債收益率曲線的研究也取得一些進(jìn)展,如鄭振龍和林海[12]、姚長(zhǎng)輝等[13]、謝赤和吳雄偉[14]等的研究，但沒有考慮國(guó)債收益率曲線預(yù)測(cè)問題。唐革榕和朱峰[15]、徐小華[16]的研究發(fā)現(xiàn)，國(guó)債收益率曲線90%以上的風(fēng)險(xiǎn)變動(dòng)可以由水平、斜率和曲率3個(gè)因素解釋。何曉群和王彥飛[17]分析了中國(guó)利率期限結(jié)構(gòu)與宏觀經(jīng)濟(jì)運(yùn)行的關(guān)系。沈根祥和陳映洲[18]提出了雙斜率因子動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel利率期限結(jié)構(gòu)模型。魏立佳和蔡遠(yuǎn)飛[19]提出了利率期限結(jié)構(gòu)的區(qū)制轉(zhuǎn)移動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型?？桌^紅和岳偉[20]探討了動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型的無套利約束相容。沈根祥和張靖澤[21]提出了條件異方差動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel利率期限結(jié)構(gòu)模型?，F(xiàn)有研究并沒有把國(guó)債收益率曲線的整體作為研究對(duì)象，限制了國(guó)債收益率曲線的實(shí)際應(yīng)用空間。

二、動(dòng)態(tài)的Nelson-Siegel模型

在對(duì)收益率曲線進(jìn)行擬合之前，首先考慮收益率計(jì)算問題。Pt(τ)表示在t時(shí)刻剩余期限為τ的零息債券價(jià)格，yt(τ)表示在t時(shí)刻剩余期限為τ的到期收益率，如公式（1）。

相應(yīng)地，零息債券的即期遠(yuǎn)期收益率曲線如公式（2）。

因此，即期遠(yuǎn)期收益率曲線和收益率曲線之間的關(guān)系如公式（3）。

這就意味著，如果已知即期遠(yuǎn)期收益曲線ft(τ)，那么用式（3）可以計(jì)算零息債券的收益率。

實(shí)際中，不能直接得到收益率曲線、貼現(xiàn)曲線和即期遠(yuǎn)期收益率曲線，需要用債券價(jià)格估計(jì)。Nelson和Siegel（1987）提出了擬合即期遠(yuǎn)期收益率，如公式（4）。

由式（3）得到收益率曲線如公式（5）。

式（5）中，β1表示收益率的長(zhǎng)期部分，隨著時(shí)間t的逐漸增大，收益率將趨近于β1；β2表示收益率的短期部分，當(dāng)它為正數(shù)時(shí)，收益率隨著期限的增大而上升，反之相反；β3表示收益率的中期部分，決定了表示收益率的極值點(diǎn)和曲度；λ表示指數(shù)遞減率，也是權(quán)衡短期和長(zhǎng)期的擬合曲度。

中國(guó)詩(shī)歌中傳達(dá)“意境”的思想源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，（陶淵明《飲酒》）“采菊東籬下，悠然見南山”中東籬是實(shí)實(shí)在在的事物，“東籬”后來常被詩(shī)人作詩(shī)用到。（李清照《醉花陰》）“東籬把酒黃昏后，有暗香盈袖”這句詩(shī)中的“東籬”便不是實(shí)指在東籬喝酒作樂，而是指一種意境。詩(shī)中的意象也是不勝枚舉，例如關(guān)乎離別的意象是“楊柳”（楊柳東風(fēng)樹，青青夾御河）；關(guān)乎思念家鄉(xiāng)的意象是“明月”（舉頭望明月，低頭思故鄉(xiāng)）；關(guān)乎思友的意象是“白云”（水底分明天上云，可憐形影似吾身）。譯者要深入詩(shī)中意境觀其意象，感受詩(shī)人此時(shí)此景的特殊情感，才能收受其意象的感染力。

在實(shí)際收益率曲線中，式（5）中的4個(gè)參數(shù)隨時(shí)間變化。Diebold和Li（2006）提出了動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel三因子模型，收益率曲線表示如公式（6）。

其中β1t、β2t、β3t和λt都是時(shí)間函數(shù)。參數(shù)β1t的載荷因子為1，說明參數(shù)β1t體現(xiàn)了對(duì)收益率水平的長(zhǎng)期影響因素；參數(shù)β2t的載荷為該載荷因子隨利率期限的增加從1開始衰減至0，說明β2t是影響收益率的短期因素；參數(shù)β3t的載荷因子為該載荷因子隨著利率期限的增加從0逐漸增大，并且經(jīng)過某個(gè)拐點(diǎn)之后逐漸遞減，直至衰減至0，這一特征說明了參數(shù)β3t是影響收益率的中期因素。

載荷因子解析式說明了收益率曲線的參數(shù)序列對(duì)收益率影響模式可分為長(zhǎng)期、短期和中期。當(dāng)利率的剩余期限趨于無窮時(shí)，yt()∞=β1t，說明參數(shù)β1t代表了長(zhǎng)期收益率。短期因素β2t與收益率的斜率有關(guān)，參數(shù)β3t近似代表了衡量收益率曲線彎曲程度的中期收益率和曲率。

三、收益率曲線實(shí)證分析

本文采用2003—2021年的中國(guó)國(guó)債收益率數(shù)據(jù)。選取剩余期限為3、6、9、12、15、18、21、24、30、36、48、60、72、84、96、108和120個(gè)月的收益率數(shù)據(jù)，其中每個(gè)月為30.44天，數(shù)據(jù)來源于Wind咨詢數(shù)據(jù)庫(kù)。

本文參考Diebold和Li[9]的研究方法，為了分析收益率的水平、斜率、曲率3個(gè)因素的統(tǒng)計(jì)特征，以剩余期限是120個(gè)月的收益率為水平，以yt(120)-yt(3)=-0.78β2t+0.06β3t計(jì) 算 斜 率，以2yt(24)-yt(3)-yt(120)=0.00053β2t+0.37β3t計(jì) 算 曲率，并且分析收益率的相關(guān)統(tǒng)計(jì)特征，如表1所示。

分析表1可知，隨著剩余期限增長(zhǎng)，收益率均值也在以不同程度增長(zhǎng)，說明收益率曲線有向上傾斜的趨勢(shì)且長(zhǎng)期比短期波動(dòng)較小。進(jìn)一步，比較3個(gè)因素延遲1個(gè)月、12個(gè)月、30個(gè)月的相關(guān)系數(shù)，分別用表示，可以發(fā)現(xiàn)：水平因素有高度的持久性，但其波動(dòng)性卻與其收益率均值相關(guān)性較弱；斜率因素持久性較弱，但波動(dòng)性與其收益率均值相關(guān)性較強(qiáng)；曲率因素的持久性最弱，但其波動(dòng)性與其收益率均值高度相關(guān)。

表1 收益率曲線統(tǒng)計(jì)性質(zhì)描述

為了分析收益率的分布區(qū)間，圖1給出了收益率中間值及其四分位數(shù)的分布情況，圖中黑色曲線是收益率的75%分位數(shù)與剩余期限之間關(guān)系圖，紅色曲線為收益率中位數(shù)與剩余期限的關(guān)系圖，綠色曲線為收益率的25%分位數(shù)與剩余期限的關(guān)系圖。說明了收益率的分布在很長(zhǎng)范圍內(nèi)是對(duì)稱的，而且長(zhǎng)期利率的波動(dòng)比短期利率的波動(dòng)小。

圖1 收益率中位數(shù)、75%和25%分位數(shù)與剩余期限關(guān)系圖

（二）擬合收益率曲線

借助于公式（6），用所選取的收益率估計(jì)參數(shù)β1t、β2t、β3t。圖2展示了平均實(shí)際收益率曲線和擬合收益率曲線，其中紅色為實(shí)際收益率曲線，綠色為由Nelson-Siegel模型擬合得到的收益率曲線?？梢钥闯鰞蓷l曲線之間非常相近。說明動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型可以很好地?cái)M合收益率曲線。但在有些日期擬合效果并不顯著，特別是收益率特別分散的時(shí)候。

圖2 收益率和剩余期限關(guān)系圖

表2描述了不同剩余期限到期收益率殘差的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。表2中，MAE表示平均預(yù)測(cè)絕對(duì)誤差，RMSE表示均方根誤差。最后3列是延遲1、12、30個(gè)月的殘差自相關(guān)系數(shù)。從表中可以看出殘差標(biāo)準(zhǔn)差隨著剩余期限的增大有減小的趨勢(shì)，即殘差的波動(dòng)隨著剩余期限的增大而減小。由延遲1個(gè)月、12個(gè)月、30個(gè)月的相關(guān)系數(shù)得出相關(guān)性也隨著剩余期限的增大而減小。殘差樣本的自相關(guān)系數(shù)意味著價(jià)差是持久的，但這種持久性將隨著擬合收益率曲線的變化而消失。表3中，呈現(xiàn)了估計(jì)因素的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。

表2 殘差統(tǒng)計(jì)性質(zhì)描述

由表3可知，3個(gè)因素延遲階數(shù)的自相關(guān)系數(shù)說明第1個(gè)因素最持久。最后1列是增廣Dickey-Fuller（ADF）單位根檢驗(yàn)，說明存在單位根，具有非平穩(wěn)性。

表3 估計(jì)因素統(tǒng)計(jì)性質(zhì)描述

（三）預(yù)測(cè)收益率曲線理論模型

1.線性AR（1）模型。

式中i=1、2、3、ei,t+h是殘差項(xiàng)，βi,t分別對(duì)應(yīng)著動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型的3個(gè)參數(shù)。βi,t+h表示是βi,t在時(shí)間為h的預(yù)測(cè)項(xiàng)。

2.非線性AR（1）模型。

式中i=1、2、3、ei,t+h是殘差項(xiàng)，βi,t分別對(duì)應(yīng)著動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型的3個(gè)參數(shù)。βi,t+h表示是βi,t在時(shí)間為h的預(yù)測(cè)項(xiàng)。

3.線性GARCH模型。

式中i=1、2、3、wi是常數(shù)項(xiàng)，ei,t+h是殘差項(xiàng)，是期望方差，βi,t分別對(duì)應(yīng)著動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型的3個(gè)參數(shù)。βi,t+h表示是βi,t在時(shí)間為h的預(yù)測(cè)項(xiàng)。表示期望方差在時(shí)間為h的預(yù)測(cè)項(xiàng)。

基于上述3種模型，得到動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型的3個(gè)參數(shù)預(yù)測(cè)值，如公式（11）。

（四）動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型樣本外預(yù)測(cè)

對(duì)動(dòng)態(tài)收益率曲線進(jìn)行擬合的模型，不僅要在樣本內(nèi)擬合效果明顯，樣本外預(yù)測(cè)結(jié)果也要顯著。動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型中的3個(gè)參數(shù)決定了到期收益率大小，對(duì)收益率曲線的預(yù)測(cè)相當(dāng)于預(yù)測(cè)動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel模型中3個(gè)參數(shù)的估計(jì)值表4中給出了預(yù)測(cè)1、6和12個(gè)月的誤差分析。

表4展示了收益率曲線預(yù)測(cè)的3種模型所預(yù)測(cè)的收益率在前1個(gè)月、前6個(gè)月和前12個(gè)月的標(biāo)準(zhǔn)誤。結(jié)果表明：線性AR（1）模型和非線性AR（1）模型在預(yù)測(cè)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)誤隨著預(yù)測(cè)時(shí)間的增大而減小，說明對(duì)遠(yuǎn)期利率的預(yù)測(cè)比短期利率的預(yù)測(cè)要精確。線性AR（1）模型預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤同樣說明，隨著剩余期限的延長(zhǎng)標(biāo)準(zhǔn)誤增大，收益率曲線預(yù)測(cè)的誤差增大。在比較線性AR（1）模型、非線性AR（1）模型和GARCH模型預(yù)測(cè)效果時(shí)，AR（1）模型對(duì)收益率曲線的短期和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)都比非線性AR（1）模型和GARCH模型要好。

表4 預(yù)測(cè)誤差

結(jié)論

本文將動(dòng)態(tài)Nelson-Siegel曲線的3個(gè)參數(shù)作為收益率的水平、斜率和曲率因素進(jìn)行擬合預(yù)測(cè)，得到了有效結(jié)果。3個(gè)因素動(dòng)態(tài)變化特征從整體上反映了收益率曲線變化特征。在對(duì)收益率曲線進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)采用線性AR（1）模型、非線性AR（1）模型和GARCH模型，通過比較3種模型預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤，發(fā)現(xiàn)AR（1）模型對(duì)收益率曲線的短期和長(zhǎng)期預(yù)測(cè)都比非線性AR（1）模型和GARCH模型精確，且能夠很好地刻畫收益率曲線整體動(dòng)態(tài)變化規(guī)律。研究結(jié)論說明，通過合理的設(shè)計(jì)，收益率曲線變化在某種程度上是可預(yù)測(cè)的。該結(jié)論對(duì)債券投資、套期保值和利率免疫有著重要的實(shí)踐意義。