次擴(kuò)散過程驅(qū)動下的回望期權(quán)定價(jià)

王欣怡，郭志東

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

期權(quán)是一種基礎(chǔ)的金融衍生品，主要分為歐式期權(quán)和美式期權(quán)兩種類型。隨著全球經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，為了吸引更多投資者購買期權(quán)，金融機(jī)構(gòu)在兩種基礎(chǔ)期權(quán)之上又設(shè)計(jì)出了符合投資者特殊需求的新型期權(quán)產(chǎn)品?；赝跈?quán)是其中一種重要的新型期權(quán)，它能夠選取最高價(jià)格或者最低價(jià)格去實(shí)施期權(quán)，因此可以獲得的收益比歐式期權(quán)等的收益要高，致使回望期權(quán)的價(jià)格比普通期權(quán)更貴一些。與歐式期權(quán)相比，回望期權(quán)涉及價(jià)格變化路徑，其定價(jià)也更加復(fù)雜。徐蕾等研究了隨機(jī)波動率模型下的回望期權(quán)定價(jià)公式[1]，柴婧婧等對雙混合分?jǐn)?shù)Heston模型下的回望期權(quán)進(jìn)行了模擬分析[2]。桑利恒等研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下的回望期權(quán)定價(jià)問題[3]，陳海珍等和顧哲煜分別研究了回望期權(quán)在混合分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型和混合雙分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動模型下的定價(jià)問題[4-5]。賈念念等研究了基于CIR隨機(jī)房價(jià)波動率下的回望看跌期權(quán)定價(jià)問題[6]。王偉偉等研究了分?jǐn)?shù)跳-擴(kuò)散模型下回望期權(quán)的定價(jià)[7]。在上述文獻(xiàn)中，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的隨機(jī)驅(qū)動源通常為布朗運(yùn)動和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動，它們都無法刻畫資產(chǎn)價(jià)格波動的常值周期性特征，但是這一特征在交易量較少的新興市場和利率市場中非常常見。為了刻畫原生資產(chǎn)價(jià)格變化常值周期性的特征，M.Magdziarz提出了次擴(kuò)散幾何布朗運(yùn)動，并建立了次擴(kuò)散Black-Scholes模型[8]。本文把次擴(kuò)散過程引入到回望期權(quán)的定價(jià)模型中，以期研究回望期權(quán)在次擴(kuò)散機(jī)制下的定價(jià)問題。

1 次擴(kuò)散幾何布朗運(yùn)動

次擴(kuò)散幾何布朗運(yùn)動定義為Sα(τ)=S(Tα(t))，其中，母過程S(t)為幾何布朗運(yùn)動，

下面，我們在次擴(kuò)散幾何布朗運(yùn)動的基礎(chǔ)上，建立回望期權(quán)的次擴(kuò)散模型。

2 次擴(kuò)散回望期權(quán)定價(jià)模型

假設(shè)：（1）沒有交易成本、保證金和稅收；（2）股票不支付紅利；（3）所有投資者可以以同樣的短期利率借貸；（4）V是回望看跌期權(quán)的定價(jià)，V=V(S,J,t),其中J是路徑依賴變量原生資產(chǎn)價(jià)格S的變化服從次擴(kuò)散幾何布朗運(yùn)動。

由于式（2）～（4）很難用解析方法求解，所以，我們利用有限差分方法求解問題，以期進(jìn)一步給出回望期權(quán)在次擴(kuò)散機(jī)制下的定價(jià)。

3 數(shù)值計(jì)算

利用有限差分法對次擴(kuò)散過程下的回望看跌期權(quán)進(jìn)行數(shù)值分析。首先，將時(shí)間從0時(shí)刻至期權(quán)到期日T時(shí)刻劃分成N個(gè)等間隔的小時(shí)間段，Δt=T/N，從而得到0,Δt,2Δt,3Δt,…,T等N+1個(gè)時(shí)間節(jié)點(diǎn)。取股票的最高價(jià)格為Smax，股票初始價(jià)格為S0，股票價(jià)格從S0到Smax劃分成M個(gè)小區(qū)間，ΔS=Smax/M，得到S0,ΔS,2ΔS,3ΔS,…,Smax等M+1個(gè)股票價(jià)格，從而構(gòu)造出有(N+1)×(M+1)個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)方格，Vi,j是回望看跌期權(quán)在對應(yīng)時(shí)刻為iΔt、股票價(jià)格為jΔS的價(jià)值。

邊界條件：當(dāng)S=0 時(shí)，期權(quán)價(jià)格為Vi,0=0,i=0,1,2,…,N；當(dāng)S=0 時(shí)，期權(quán)價(jià)格為Vi,M=0,i=0,1,2,…,N；當(dāng)t=T時(shí)，期權(quán)價(jià)格為VN,j=max(Smax-ST,0)=max(Smax-jΔS,0),j=0,1,2,…,M。

4 數(shù)值模擬

根據(jù)以上數(shù)值計(jì)算的理論表達(dá)式進(jìn)行數(shù)值模擬。在有效期內(nèi)設(shè)期權(quán)的最大值為100元，參數(shù)取值：（1）T=5/12,r=0.2,σ=0.02,M=100,N=100，參數(shù)α取不同值時(shí)的回望期權(quán)價(jià)格計(jì)算結(jié)果如表1所示。（2）T=5/12,r=0.2,α=0.6,σ=0.02,M=100，N取不同值時(shí)的回望期權(quán)價(jià)格計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表1 參數(shù)α取不同值時(shí)的回望期權(quán)價(jià)格（單位/元）

表2 N取不同值時(shí)的回望期權(quán)價(jià)格（單位/元）

從表1可以看出，在次擴(kuò)散參數(shù)α取不同數(shù)值時(shí)，隨著股票價(jià)格增加，期權(quán)價(jià)格逐漸減小。從表2可以看出，不同差分時(shí)間段數(shù)值N下的期權(quán)價(jià)格存在差異，劃分時(shí)間的步數(shù)越大，得到的期權(quán)價(jià)格越精確。

5 結(jié)論

綜上所述，在研究期權(quán)定價(jià)問題時(shí)，求出期權(quán)定價(jià)公式的顯示解表達(dá)式能夠快速計(jì)算出期權(quán)的數(shù)值。本文運(yùn)用有限差分方法得到了次擴(kuò)散過程下回望期權(quán)的數(shù)值解，減少了求解公式產(chǎn)生的大量計(jì)算步驟，因此更加便捷。從數(shù)值計(jì)算結(jié)果可以看出，期權(quán)價(jià)格隨著股票價(jià)格的增大而減小，時(shí)間步數(shù)越大，期權(quán)價(jià)格就會更加精確。不足之處在于我們只研究了歐式回望期權(quán)的定價(jià)，后續(xù)可以深入研究美式回望期權(quán)、帶有支付紅利的回望期權(quán)定價(jià)模型。