基于三參數(shù)威布爾分布模型的臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失研究

倪百秀，趙莉莉，王 潁，李國(guó)成

（皖西學(xué)院 金融與數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 六安 237012）

臺(tái)風(fēng)是我國(guó)最常見(jiàn)的自然災(zāi)害之一[1]，研究臺(tái)風(fēng)帶來(lái)的災(zāi)害損失問(wèn)題意義重大。設(shè)計(jì)臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失保險(xiǎn)產(chǎn)品能夠很好地解決災(zāi)害理賠問(wèn)題，但需要對(duì)臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失的概率分布參數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確估計(jì)。在臺(tái)風(fēng)災(zāi)害問(wèn)題的研究中，大多以個(gè)別地區(qū)為實(shí)例來(lái)進(jìn)行分析研究[2]，主要集中在臺(tái)風(fēng)災(zāi)害經(jīng)濟(jì)損失和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方面，如吳亞玲等利用臺(tái)風(fēng)災(zāi)害對(duì)廣東省造成的經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)為依據(jù)，基于極值理論的POT模型，設(shè)計(jì)了一種針對(duì)臺(tái)風(fēng)損失問(wèn)題的債券[3]；李超超等以福建省臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失數(shù)據(jù)為例，運(yùn)用灰關(guān)聯(lián)度分析法，找出了影響該省臺(tái)風(fēng)爆發(fā)的主要因素[4]；項(xiàng)瑛等對(duì)江蘇省主要?dú)庀鬄?zāi)害的時(shí)空分布和演變特征進(jìn)行了深入分析和研究[5]；陳楷俊等對(duì)近30年粵東地區(qū)的臺(tái)風(fēng)災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行了評(píng)估和分析[6]；劉合香等利用信息擴(kuò)散技術(shù)實(shí)現(xiàn)了對(duì)華南極端臺(tái)風(fēng)災(zāi)害的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估[7]；盧耀健等利用模糊隨機(jī)方法并借助組合權(quán)重構(gòu)建了臺(tái)風(fēng)災(zāi)害風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估模型[8]；林江豪和陽(yáng)愛(ài)民構(gòu)建了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)臺(tái)風(fēng)災(zāi)害經(jīng)濟(jì)損失評(píng)估模型[9]；伍俊杰等利用大數(shù)據(jù)技術(shù)構(gòu)建了臺(tái)風(fēng)災(zāi)害經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估模型[10]；邢彩盈等對(duì)海南省臺(tái)風(fēng)氣象服務(wù)效益進(jìn)行了評(píng)估研究[11]；王國(guó)新和李明鑫通過(guò)對(duì)風(fēng)災(zāi)致村鎮(zhèn)建筑損失的研究評(píng)估，構(gòu)建了臺(tái)風(fēng)災(zāi)害管理系統(tǒng)[12]；周延和屠海平通過(guò)對(duì)臺(tái)風(fēng)災(zāi)害經(jīng)濟(jì)風(fēng)險(xiǎn)的評(píng)估，設(shè)計(jì)了跨區(qū)域型臺(tái)風(fēng)災(zāi)害保險(xiǎn)基金[13]。在自然災(zāi)害損失概率分布問(wèn)題上的研究成果也較多，如趙珊珊等運(yùn)用無(wú)綱量化方法、歸一化法計(jì)算了我國(guó)氣象災(zāi)害綜合損失指數(shù)，分析了各種氣象災(zāi)害問(wèn)題帶來(lái)的損失分布特征[14]；孫偉等以我國(guó)地震災(zāi)害為例，對(duì)其損失分布函數(shù)進(jìn)行研究，發(fā)現(xiàn)地震災(zāi)害損失分布函數(shù)服從泊松分布[15]。

但是，關(guān)于臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失的概率分布問(wèn)題的研究還不多見(jiàn)。為此，本文將臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失的概率分布問(wèn)題作為研究對(duì)象，從《中國(guó)氣象災(zāi)害年鑒》和《中國(guó)海洋災(zāi)害公報(bào)》收集我國(guó)每年因臺(tái)風(fēng)災(zāi)害帶來(lái)的直接經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)，基于極大似然估計(jì)法構(gòu)建災(zāi)害損失的概率分布參數(shù)估計(jì)模型；利用蜜獾算法（HBA）[16]來(lái)求解臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失的概率分布參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，該算法通過(guò)模仿蜜獾搜尋蜜蜂和挖掘蜂巢的行為形成動(dòng)態(tài)搜尋策略，借助隨機(jī)優(yōu)化技術(shù)使得種群在搜索過(guò)程中始終保持充足的多樣性，避開(kāi)局部極值點(diǎn)，獲得全局最優(yōu)，進(jìn)而獲得較為精確的概率分布模型參數(shù)估計(jì)值，實(shí)現(xiàn)對(duì)我國(guó)臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失的概率分布特征的精準(zhǔn)刻畫(huà)。

1 變量選擇與數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)特征分析

1.1 變量選取和數(shù)據(jù)說(shuō)明

本文將臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失作為研究對(duì)象，以每次臺(tái)風(fēng)所帶來(lái)的直接經(jīng)濟(jì)損失設(shè)為指標(biāo)。從《中國(guó)氣象災(zāi)害年鑒》和《中國(guó)海洋災(zāi)害公報(bào)》中搜集2003—2020年我國(guó)每年臺(tái)風(fēng)災(zāi)害帶來(lái)的直接經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)。將每次臺(tái)風(fēng)給相關(guān)地區(qū)帶來(lái)的直接經(jīng)濟(jì)損失數(shù)據(jù)進(jìn)行匯總，獲得2003—2020年的臺(tái)風(fēng)災(zāi)害帶來(lái)的直接經(jīng)濟(jì)損失樣本數(shù)據(jù)共計(jì)142個(gè)。

1.2 正態(tài)分布檢驗(yàn)和厚尾性檢驗(yàn)

首先，采用正態(tài)分布Q-Q圖來(lái)判斷臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布?；?003—2020年的臺(tái)風(fēng)災(zāi)害直接經(jīng)濟(jì)損失的樣本數(shù)據(jù)，利用Matlab 軟件（2018b）統(tǒng)計(jì)工具箱作出2003—2020 年的臺(tái)風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失的正態(tài)分布Q-Q圖，如圖1所示?？梢钥闯觯?003—2020年的臺(tái)風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失的Q-Q圖并不是直線，因而可以推斷，臺(tái)風(fēng)損失的樣本數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布。其次，分別利用Matlab軟件統(tǒng)計(jì)工具箱的Jarque-Bera 檢驗(yàn)和Lilliefors 檢驗(yàn)來(lái)實(shí)現(xiàn)臺(tái)風(fēng)損失樣本數(shù)據(jù)的正態(tài)分布假設(shè)檢驗(yàn)，其中顯著性水平α設(shè)為0.05，檢驗(yàn)結(jié)果如表1所示。

表1 樣本數(shù)據(jù)的正態(tài)分布假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果（α=0.05）

圖1 2003—2020年的臺(tái)風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失正態(tài)分布Q-Q圖

表1的正態(tài)分布假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果表明，2003—2020年的臺(tái)風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失樣本數(shù)據(jù)不服從正態(tài)分布。因此，為了探明其服從何種概率分布函數(shù)，本文利用Matlab軟件統(tǒng)計(jì)工具箱繪制出所選樣本數(shù)據(jù)的直方圖，如圖2所示?？梢钥闯?，圖形具有明顯的“尖峰，厚尾，右偏”特征，即樣本數(shù)據(jù)顯示出厚尾性特點(diǎn)，因而正態(tài)分布不能很好地?cái)M合樣本數(shù)據(jù)。

圖2 2003—2020年的臺(tái)風(fēng)直接經(jīng)濟(jì)損失直方圖

進(jìn)一步分析樣本數(shù)據(jù)，推斷其之所以具有厚尾性特征是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)中存在個(gè)別的極值，影響了樣本數(shù)據(jù)的分布特征，所以，我們考慮分別用極值分布和威布爾分布來(lái)擬合樣本數(shù)據(jù)，結(jié)果如圖3所示?？梢钥闯?，威布爾分布擬合效果更好。為此，采用Lilliefors檢驗(yàn)對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行極值分布和威布爾分布假設(shè)檢驗(yàn)，其結(jié)果如表2所示。

圖3 樣本數(shù)據(jù)概率分布擬合

由表1 和表2 中的Jarque-Bera 檢驗(yàn)和Lilliefors 檢驗(yàn)結(jié)果可知，樣本數(shù)據(jù)可能服從威布爾分布，圖4描繪了樣本數(shù)據(jù)與威布爾分布的概率對(duì)比圖。

圖4 樣本數(shù)據(jù)與威布爾分布概率對(duì)比

表2 樣本數(shù)據(jù)的威布爾分布假設(shè)檢驗(yàn)結(jié)果（α=0.05）

由圖4 可以直觀地看出，樣本數(shù)據(jù)幾乎與威布爾分布直線重合，進(jìn)一步表明我國(guó)臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失樣本數(shù)據(jù)服從威布爾分布，借助Matlab 軟件統(tǒng)計(jì)工具箱得到樣本數(shù)據(jù)的兩個(gè)參數(shù)威布爾分布的尺度參數(shù)β和形狀參數(shù)η的估計(jì)和置信區(qū)間，如表3所示。

表3 樣本數(shù)據(jù)的威布爾分布參數(shù)擬合結(jié)果（α=0.05）

考慮到兩個(gè)參數(shù)的威布爾分布沒(méi)有體現(xiàn)位置參數(shù)，為了更加精準(zhǔn)地刻畫(huà)我國(guó)臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失樣本數(shù)據(jù)的概率分布特征，本文基于2003—2020年的臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失樣本數(shù)據(jù)構(gòu)建了三參數(shù)威布爾概率分布模型。

2 模型構(gòu)建及求解

對(duì)于概率參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，當(dāng)樣本容量比較少時(shí)，一般采用極大似然估計(jì)法。針對(duì)臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失概率分布參數(shù)問(wèn)題，統(tǒng)計(jì)的樣本數(shù)據(jù)容量較小，所以采用該方法進(jìn)行研究。本文所要研究的是三參數(shù)威布爾分布的參數(shù)估計(jì)問(wèn)題。先確定其概率分布密度函數(shù)為

其中，β＞0為形狀參數(shù)，η＞0為尺度參數(shù)，γ＞0為位置參數(shù)。三參數(shù)威布爾分布的似然函數(shù)為

其對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

傳統(tǒng)極大似然估計(jì)問(wèn)題的求解是對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)先求導(dǎo)，并令其為零來(lái)構(gòu)建方程組，通過(guò)求解方程組即可得到概率分布模型的參數(shù)估計(jì)值。但是，這種基于梯度的優(yōu)化算法對(duì)于三參數(shù)威布爾分布來(lái)說(shuō)特別困難，所以本文將其轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問(wèn)題，并采用基于仿生學(xué)原理的蜜獾算法來(lái)進(jìn)行求解，即利用迭代搜索方法，使對(duì)數(shù)似然函數(shù)值達(dá)到最大，從而得到概率分布參數(shù)的最優(yōu)估計(jì)。

利用蜜獾算法來(lái)求解臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失概率參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，其個(gè)體構(gòu)成即為臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失的極大似然估計(jì)函數(shù)中的參數(shù)β，η和γ，將種群中每只蜜獾的位置設(shè)為(β,η,γ)并表示個(gè)體解，其適應(yīng)度函數(shù)即為式（3）所表示的極大似然函數(shù)，計(jì)算如下，

3 模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證基于極大似然估計(jì)法的三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的HBA算法的求解可行性和有效性，本文首先構(gòu)造了1個(gè)測(cè)試算例，即將威布爾分布參數(shù)(β,η,γ)設(shè)為(2,3,5)，隨機(jī)抽取5 000個(gè)樣本構(gòu)成測(cè)試集，然后利用HBA算法求解得到參數(shù)β，η和γ的最優(yōu)估計(jì)值，最后分別與灰狼優(yōu)化算法（GWO）[17]、蝴蝶優(yōu)化算法（BOA）[18]和哈里斯鷹算法（HHO）[19]所得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

實(shí)驗(yàn)硬件環(huán)境為Intel(R)Core(TM)i3 CPU M2.27 GHz 處理器和2 GB 內(nèi)存；軟件環(huán)境為Windows10和Matlab R2018b。4種智能優(yōu)化算法的種群規(guī)模為40，最大迭代次數(shù)為100?？紤]到智能優(yōu)化算法的隨機(jī)性，將每種算法獨(dú)立運(yùn)行30次，從每種算法結(jié)果中統(tǒng)計(jì)其最優(yōu)解、平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和相應(yīng)的適應(yīng)度值（對(duì)數(shù)似然函數(shù)值），結(jié)果如表4所示（最好的結(jié)果以粗體標(biāo)識(shí)）。

表4 模擬算例的參數(shù)估計(jì)結(jié)果

由表4 可以看出，在4 種算法獨(dú)立運(yùn)行30 次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的3 個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)中，除最優(yōu)解中HBA 和HHO并列第一，其他2 個(gè)指標(biāo)都是HBA 的表現(xiàn)最好；GWO 和HHO 兩種算法的表現(xiàn)差不多，BOA 的表現(xiàn)最差，這些結(jié)果表明，HBA對(duì)三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計(jì)算例的估計(jì)結(jié)果最為精確。從標(biāo)準(zhǔn)差指標(biāo)來(lái)看，30次獨(dú)立運(yùn)行HBA算法的3個(gè)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)差都很小，接近于零，表明HBA尋優(yōu)性能較為穩(wěn)定，克服了群智能算法受初始種群隨機(jī)性影響的缺點(diǎn)。圖5 描繪了4 種算法尋優(yōu)迭代的特征曲線，可以看出：HBA 算法的收斂速度最快；GWO 算法略微低于HBA；HHO 的求解精度和前兩種算法差不多，但其收斂速度要慢一些；BOA的求解精度最低，且收斂速度最慢。為了進(jìn)一步分析這4種算法求解三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的效果，下面給出了它們參數(shù)估計(jì)的均方根誤差（RMSE）和平均絕對(duì)百分誤差（MAPE），結(jié)果如表5所示。可以看出，在兩個(gè)參數(shù)估計(jì)結(jié)果的評(píng)價(jià)指標(biāo)RMSE和MAPE中，HBA算法的指標(biāo)估計(jì)值都明顯小于其他3種算法，再次表明HBA算法能夠求解三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，且估計(jì)結(jié)果較為準(zhǔn)確。

圖5 4種算法迭代收斂特征曲線對(duì)比

表5 模擬算例參數(shù)估計(jì)結(jié)果的評(píng)價(jià)

4 實(shí)證結(jié)果與分析

選取我國(guó)2003—2020年的臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)證，基于極大似然估計(jì)法構(gòu)建三參數(shù)威布爾分布模型，并用HBA 算法求解該模型。將本文算法與GWO、BOA 和HHO 等3 種仿生智能優(yōu)化算法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如表6所示。

表6 4種算法求解威布爾分布參數(shù)估計(jì)問(wèn)題的實(shí)證結(jié)果

可以看出，在4種算法獨(dú)立運(yùn)行30次實(shí)驗(yàn)結(jié)果的3個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)中，除最優(yōu)解中HBA和GWO并列第一，其他2 個(gè)指標(biāo)中HBA 的表現(xiàn)都是最好的；GWO 和HHO 兩種算法的表現(xiàn)差不多，BOA 的表現(xiàn)最差，這些結(jié)果表明HBA 算法對(duì)臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失概率分布參數(shù)估計(jì)的結(jié)果最為準(zhǔn)確。進(jìn)一步分析3 個(gè)指標(biāo)中HBA的表現(xiàn)，可以看出30次獨(dú)立運(yùn)行的結(jié)果幾乎完全相同，標(biāo)準(zhǔn)差近似為零，表明HBA算法尋優(yōu)精度高且較為穩(wěn)定。

5 結(jié)論

研究臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失的概率分布參數(shù)估計(jì)具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，而準(zhǔn)確估計(jì)出模型的參數(shù)具有很大的挑戰(zhàn)性。本文收集整理了2003—2020年的我國(guó)臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失的樣本數(shù)據(jù)，分別利用Jarque-Bera檢驗(yàn)和Lilliefors檢驗(yàn)對(duì)樣本數(shù)據(jù)的概率分布特征進(jìn)行探究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)其服從威布爾分布。因此，基于極大似然估計(jì)法構(gòu)建三參數(shù)威布爾分布參數(shù)估計(jì)模型，進(jìn)而將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，利用在復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題求解中表現(xiàn)優(yōu)良的蜜獾算法實(shí)現(xiàn)該問(wèn)題的求解，并將其結(jié)果與GWO、BOA和HHO等仿生群智能算法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。模擬算例和實(shí)證結(jié)果表明，蜜獾算法更加適合求解臺(tái)風(fēng)災(zāi)害損失的概率分布參數(shù)估計(jì)問(wèn)題，參數(shù)估計(jì)較為準(zhǔn)確，收斂速度也較快。