兩個Sarmanov相依隨機變量關(guān)于S (γ)族的乘積封閉性

楊月麗，高 宇

（安徽大學 數(shù)學科學學院，安徽 合肥 230601）

卷積等價分布族S (γ)是應用概率論中一類重要的分布族，該分布族具有良好的分析性質(zhì)，廣泛應用于分支過程[1]、排隊論[2]和風險理論[3]等領域。分布族關(guān)于乘積運算封閉性是研究分布族的一個基本問題。乘積結(jié)構(gòu)也是眾多應用概率論的基本結(jié)構(gòu)，如它廣泛存在于金融保險模型或時間序列ARCH模型[4]中。分布族關(guān)于乘積運算的封閉性研究由來已久，文獻[5]較早地研究了兩個獨立的隨機變量關(guān)于次指數(shù)族的乘積封閉性；文獻[6]在獨立的條件下得到乘積分布屬于L(γ)族的若干充分條件；文獻[7]得到了兩個獨立的隨機變量關(guān)于S (γ)族的乘積封閉性。本文關(guān)注了兩個相依隨機變量關(guān)于S (γ)族的乘積封閉性。

文獻[8]假設隨機向量()X,Y服從二維Sarmanov分布，為證明XY分布屬于S (γ)族，用到如下兩個技術(shù)性假設：

（i）存在一個函數(shù)ψ()·，使得對任意的y∈DY，

一般地，上述可測函數(shù)ψ()· 與常數(shù)c的存在性并不容易獲得。即使考慮二維Farlie-Gumbel-Morgenstern分布[9]，經(jīng)計算可得，ψ(y)=1-2G(y)，為使存在常數(shù)c＞0滿足條件（ii），則易解得-1/d1＜θ＜1/d1，表明文獻[8]也只獲得了二維Sarmanov分布情形下參數(shù)屬于一定區(qū)間的乘積分布是屬于卷積等價分布族的充分條件。

鑒于此，本文將采用不同的研究方法，繼續(xù)研究兩個Sarmanov 相依隨機變量關(guān)于卷積等價分布族的乘積封閉性。

1 定義及引理

假設所有的隨機變量均定義在概率空間(Ω,F,P)上，若無特殊申明，均假設隨機變量X,Y是非負的，分布函數(shù)分別為F(x)=P(X≤x)，G(y)=P(Y≤y)，其尾分布記為Fˉ(x)=P(X＞x)，Gˉ(y)=P(Y＞y)，記XY的分布為H。對于任意兩個正函數(shù)f(·)與g(·)滿足

若b=0，記作f(·)=o(g(·))；若a=b=1，記作f(·)～g(·)；若b＜∞，記作f(·)=O(g(·))；若a≥1，記作f(·)?g(·)；若b≤1，記作f(·)?g(·)。

定義1[10]稱分布F屬于L(γ)(γ≥0)族，記作F∈L(γ)，若對任意固定的y≥0，

定義2[10]稱分布F屬于卷積等價分布族S (γ)(γ≥0)，記作F∈S (γ)，如果

其中，F(xiàn)2*表示分布函數(shù)F關(guān)于自身的二重卷積。

注1由定義1與2易見：1）S (γ)?L(γ)。2）若F∈L(γ)(γ≥0)，則（1）對任意y的緊區(qū)間一致成立。3）在定義1與2中，若γ=0，則L(0)、S (0)族即為長尾分布族與次指數(shù)分布族[10]。

定義3[7]稱分布F屬于快速變化分布族，記作F∈R-∞，若對任意的y＞1，

注2對于任意的γ＞0，L(γ)?R-∞[7]。

定義4[11]稱(X,Y)服從二維Sarmanov分布，若(X,Y)的聯(lián)合分布滿足

其中，φ1(x)，φ2(y)是兩個可測函數(shù)，參數(shù)θ是實常數(shù)，滿足

其中，DX={x≥0:P(X∈(x-δ,x+δ))＞0,對任意的δ＞0}，

DY={y≥0:P(Y∈(y-δ,y+δ))＞0,對任意的δ＞0}。

注3特別地，若θ=0或φ1(x)≡0，x∈DX或φ2(y)≡0，y∈DY，則Sarmanov相依退化為獨立。

注4在（3）中若取φ1(x)=1-2F(x)，φ2(y)=1-2G(y)，則Sarmanov分布退化為FGM分布。

將式（8）、（11）、（13）、（14）代入得

由于X*，Y*是兩個獨立同分布的隨機變量，且與X，Y獨立，結(jié)合文獻[6]有

式（15）和（16）表明

2 主要結(jié)果及其證明

將式（22）、（23）代入式（21）可以得到式（17）成立。因此，定理1成立。

3 結(jié)束語

綜上所述，本文研究了兩個Sarmanov相依隨機變量關(guān)于S (γ)族的乘積封閉性。在一定條件下，獲得了兩個Sarmanov 相依隨機變量關(guān)于卷積等價分布族的乘積封閉性的充分條件，拓展了文獻[7]的結(jié)果。與文獻[8]相比，本文所給的充分條件更易驗證；同時，對于二維Sarmanov 分布參數(shù)為任意負數(shù)情形，本文均獲得滿意的結(jié)果。但遺憾的是，本研究方法在二維Sarmanov分布參數(shù)為正數(shù)時不適用。