分?jǐn)?shù)階時滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間投影同步

程雨虹，張瑋瑋，張紅梅，張 海

（安慶師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 安慶 246133）

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)因在圖像處理、信號處理[1]、組合優(yōu)化、聯(lián)想記憶、模式識別[2]等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用而成為研究熱點。分?jǐn)?shù)階微積分因其能更準(zhǔn)確地描述記憶和遺傳的特性[3-6]而被一些學(xué)者引入到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，形成分?jǐn)?shù)階神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[7-15]。人腦作為一個高效的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，一直是人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬的目標(biāo)。但由于網(wǎng)絡(luò)規(guī)模和突觸元件的制約，人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的功能受到了極大限制。憶阻器[16-17]是電子電路理論中的基本非線性雙端電路器件，其主要優(yōu)點是在單個器件結(jié)構(gòu)中提供非易失性存儲器。憶阻器的出現(xiàn)，為人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在電路上模擬人腦提供了可能。于是，在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中添加憶阻器會使得研究更加有意義。時間延遲可能對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)行為產(chǎn)生額外的影響[18]，文獻(xiàn)常采用多種時延，如恒定時延[19]、泄漏時延[20]、中立時延[21]和時變時延[22-23]等。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的同步分析也很重要，如反同步[24-25]、相位同步[26]、投影同步[27]、準(zhǔn)一致同步[28]等。從應(yīng)用角度來看，讓同步在有限時間內(nèi)實現(xiàn)顯得越來越重要，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的投影同步問題已經(jīng)取得了相當(dāng)多的研究成果[29-31]。近年來，對于一般模型在0 ＜α＜1上的有限時間投影同步研究已經(jīng)很多，但是關(guān)于階數(shù)在1＜α＜2的憶阻時滯模型并沒有具體的研究。基于此，本文對時滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間投影同步問題進行分析，利用拉普拉斯變換、廣義Gronwall不等式、Mittag-Leffler函數(shù)和混合控制技術(shù)等新方法，給出了在階數(shù)1＜α＜2的情況下的時滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時間投影同步一些充分條件。下面先給出關(guān)于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的基本定義和結(jié)果。

1 分?jǐn)?shù)微積分的定義和引理

2 模型描述

本文將帶時滯的連續(xù)分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為驅(qū)動系統(tǒng)：

其中，σ表示投影系數(shù)。

設(shè)計控制器為如下形式：

在控制器（5）下，誤差系統(tǒng)如下，

向量形式為

誤差系統(tǒng)初始條件如下，

定義8在控制器（5）下，如果存在正數(shù)T,δ,ε并具有δ＜ε，當(dāng)且僅當(dāng)，即對?t∈J=，有‖e(t)‖＜ε，那么驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）就實現(xiàn)了有限時間投影同步，其中t0為初始觀測時間。此外，TS=T稱為有限穩(wěn)定時間。

注2當(dāng)投影系數(shù)σ=1時，驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）將實現(xiàn)完全同步；當(dāng)投影系數(shù)σ=-1時，驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）將實現(xiàn)反同步。

3 主要結(jié)果

本節(jié)通過使用Laplace變換來確保實現(xiàn)分?jǐn)?shù)階1＜α＜2的時滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間投影同步，所得結(jié)果如下。

定理在假設(shè)1、控制器（5）以及1＜α＜2的條件下，驅(qū)動系統(tǒng)（1）和響應(yīng)系統(tǒng)（2）滿足

證明在不等式（7）下運用Laplace變換以及Laplace逆變換，可以得到

4 數(shù)值模擬

本節(jié)通過一個數(shù)值例子來驗證所得結(jié)果的可行性和有效性。

例考慮一類分?jǐn)?shù)階憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為驅(qū)動系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)：

得到驅(qū)動系統(tǒng)（18）和響應(yīng)系統(tǒng)（19）實現(xiàn)有限時間投影同步的時間為T≈6.75。

圖1 和圖2 給出了在σ=-1 時，誤差系統(tǒng)（6）的狀態(tài)軌跡和誤差范數(shù)軌跡圖，表明系統(tǒng)（18）和系統(tǒng)（19）在控制器（5）下實現(xiàn)了反同步。圖3和圖4給出了在σ=1時，誤差系統(tǒng)（6）的狀態(tài)軌跡和誤差范數(shù)軌跡圖，表明系統(tǒng)（18）和系統(tǒng)（19）在控制器（5）下實現(xiàn)了完全同步。圖5和圖6給出了在σ=2時，誤差系統(tǒng)（6）的狀態(tài)軌跡和誤差范數(shù)軌跡圖，表明系統(tǒng)（18）和系統(tǒng)（19）在控制器（5）下實現(xiàn)了有限時間投影同步。

圖1 σ=-1時誤差e(t)的狀態(tài)軌跡圖

圖2 σ=-1時誤差范數(shù)‖ e(t) ‖的軌跡圖

圖3 σ=1時誤差e(t)的狀態(tài)軌跡圖

圖4 σ=1時誤差范數(shù)‖ e(t) ‖的軌跡圖

圖5 σ=2時誤差e(t)的狀態(tài)軌跡圖

圖6 σ=2時誤差范數(shù)‖ e(t) ‖的軌跡圖

5 結(jié)論

綜上所述，本文將帶時滯的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)改為帶時滯的憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，并將此系統(tǒng)的有限時間投影同步從0 ＜α＜1推廣到1＜α＜2，借助拉普拉斯變換和逆變換、廣義Gronwall不等式、Mittag-Leffler函數(shù)和混合控制技術(shù)，給出了階數(shù)在1＜α＜2情況下的時滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有限時間投影同步的一些充分條件。數(shù)值模擬表明理論結(jié)果的正確性和有效性，從而證明了分?jǐn)?shù)階時滯憶阻神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時間投影同步。本文的工作可以用于處理更加復(fù)雜的模型。