基于HPM視角的高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究

江蘇省如皋市第一中學(xué)

任 丹

1 引言

HPM(HistoryandPedagogyofMathematics)是數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育相結(jié)合的教學(xué)模式.在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，相當(dāng)一部分教師往往將教學(xué)重點(diǎn)放在知識(shí)點(diǎn)以及方法的應(yīng)用上，學(xué)生很難在目的性較強(qiáng)的教學(xué)過(guò)程中構(gòu)建完整的知識(shí)體系，機(jī)械化的學(xué)習(xí)活動(dòng)也會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)缺乏趣味性.在新課改的大背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)逐漸強(qiáng)調(diào)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提升，尤其是數(shù)學(xué)文化在教學(xué)過(guò)程中的滲透.因此,基于HPM教學(xué)理念開(kāi)展教學(xué)具有重要的理論與實(shí)踐意義.本文基于教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合HPM理念，闡述了該模式的教學(xué)意義，并以“等差數(shù)列概念”教學(xué)為例，提出高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)施路徑，以期為廣大師生提供教學(xué)參考.

2 滲透數(shù)學(xué)文化，樹(shù)立數(shù)學(xué)觀念

數(shù)學(xué)史是人類(lèi)文化歷史的重要組成部分，因此數(shù)學(xué)教育在重視知識(shí)與方法的基礎(chǔ)上，還需要強(qiáng)化歷史文化教育.HPM理念能夠促使學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的過(guò)程中提升文化素養(yǎng)，感受知識(shí)與方法的起源與發(fā)展過(guò)程.在教學(xué)過(guò)程中，融入數(shù)學(xué)文化，可以幫助學(xué)生樹(shù)立正確的數(shù)學(xué)觀念，并通過(guò)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，進(jìn)而主動(dòng)了解數(shù)學(xué)史，理解數(shù)學(xué)思維的產(chǎn)生與發(fā)展，感受知識(shí)與技能的更新與變化.

3 引發(fā)深度思考，提升思維能力

對(duì)于學(xué)生而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在觀察認(rèn)知、空間想象、抽象概括等方面的要求較高.在核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要求下，在教學(xué)中科學(xué)融入數(shù)學(xué)史，能夠激發(fā)學(xué)生的深度思考，引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)判斷客觀事物，準(zhǔn)確揭示數(shù)學(xué)現(xiàn)象所包含的深刻含義.同時(shí)，數(shù)學(xué)史中包含了數(shù)學(xué)概念與數(shù)學(xué)方法的起源與發(fā)展歷程，是前人長(zhǎng)期研究總結(jié)的實(shí)踐成果，具備高度的抽象性與凝練性，其中蘊(yùn)含的思想能夠提升學(xué)生的思維能力.

4 提升趣味性，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

不同于物理、化學(xué)等理科學(xué)科，數(shù)學(xué)教學(xué)中基本不涉及實(shí)驗(yàn)等實(shí)踐內(nèi)容，以理論推導(dǎo)與應(yīng)用為主，具有較強(qiáng)的抽象性，這一特征決定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難度大，容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒.然而，數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展包含了豐富的歷史文化要素，教師可以在教學(xué)過(guò)程中科學(xué)融入這些歷史文化內(nèi)容，向?qū)W生展示相關(guān)概念定理的起源以及演繹過(guò)程，增強(qiáng)趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

5 教學(xué)設(shè)計(jì)——以“等差數(shù)列概念”為例

筆者以“等差數(shù)列概念”為例開(kāi)展數(shù)學(xué)史融入教學(xué)的研究，探究HPM理念的教學(xué)實(shí)施路徑.

5.1 教材及學(xué)情

“等差數(shù)列”的教學(xué)內(nèi)容在教材中是通過(guò)生活案例引入，幫助學(xué)生更好地理解教學(xué)內(nèi)容，為教學(xué)活動(dòng)奠定基礎(chǔ).與之類(lèi)似，本教學(xué)設(shè)計(jì)是選用數(shù)學(xué)史內(nèi)容來(lái)引入教學(xué)，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

5.2 目標(biāo)與重難點(diǎn)

知識(shí)與技能方面，旨在引導(dǎo)學(xué)生理解等差數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式；過(guò)程與方法方面，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析、歸納總結(jié)、自主探究與知識(shí)應(yīng)用能力；情感與價(jià)值觀方面，讓學(xué)生體驗(yàn)由具體到抽象的認(rèn)知演變規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神，通過(guò)合作交流，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)合作能力.

“等差數(shù)列”這節(jié)的重點(diǎn)是理解等差數(shù)列的概念以及通項(xiàng)公式并能簡(jiǎn)單應(yīng)用，難點(diǎn)為通項(xiàng)公式的推導(dǎo)與應(yīng)用.

5.3 教學(xué)過(guò)程

5.3.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

教師：古時(shí)候沒(méi)有日歷，那時(shí)的人們是怎么確定日期的呢？

學(xué)生1：可以用繩子系扣的方式，每天系一個(gè)扣，扣的個(gè)數(shù)就是天數(shù).

教師：諸如這位同學(xué)的方法有很多，比如在石頭、木頭上刻記號(hào)等，但是如果起始日期不是每個(gè)月的第一天，那么記錄的數(shù)據(jù)就不能直接使用.其實(shí)，在遠(yuǎn)古時(shí)期，人們就通過(guò)月相來(lái)記錄日期，即根據(jù)月亮的圓缺來(lái)確定日期.大英博物館收藏的一份公元七世紀(jì)的月相表，每個(gè)月的月相情況構(gòu)成一組數(shù)列，如表1所示.觀察表中的數(shù)據(jù)，分析這些數(shù)據(jù)之間的特點(diǎn).

表1 大英博物館收藏的月相表

學(xué)生2：月相數(shù)相鄰兩項(xiàng)之間的差值是相同的.

教師：具備這種規(guī)律的數(shù)列就是我們這堂課要學(xué)習(xí)的等差數(shù)列.如果從第二項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的差為某一常數(shù)，那么該數(shù)列就是等差數(shù)列，該常數(shù)就是公差，公差表示為d.

設(shè)計(jì)意圖：借助數(shù)學(xué)史導(dǎo)入新課能夠激發(fā)學(xué)生的求知欲與學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)的起源與發(fā)展歷史，感受前人的智慧，加深學(xué)生對(duì)問(wèn)題的思考以及對(duì)數(shù)學(xué)的喜愛(ài)，培養(yǎng)學(xué)生觀察分析與歸納總結(jié)的能力.

5.3.2 抽象延伸，理解概念

教師：根據(jù)等差數(shù)列的定義，你能夠用數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)等差數(shù)列嗎？

學(xué)生3：an+1-an=d，d為常數(shù)，n∈N*.

教師：根據(jù)等差數(shù)列的定義以及數(shù)學(xué)表達(dá)式，試判斷以下數(shù)列是否為等差數(shù)列.

①-5，2，-5，2，-5，2.

②-2，2，4，6，8，10.

③6，6，6，6，6，6.

④1，3，5，7，9，11.

學(xué)生4：①不是等差數(shù)列，相鄰項(xiàng)的差值為7和-7，不恒定；②不是等差數(shù)列，第一項(xiàng)與第二項(xiàng)的差值為4，之后相鄰項(xiàng)的差值為2，不恒定；③和④均為等差數(shù)列，其中數(shù)列③公差為0，數(shù)列④公差為2.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)等差數(shù)列的概念進(jìn)行深入分析，借助具體問(wèn)題加深學(xué)生對(duì)概念的理解，為后續(xù)的理解、記憶以及應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

5.3.3 深入探索，公式推導(dǎo)

教師：我們現(xiàn)在已經(jīng)掌握了等差數(shù)列的概念，那么如果數(shù)列a1，a2，a3，……，an為等差數(shù)列，公差為d，那么數(shù)列{an}任意一項(xiàng)的值與項(xiàng)數(shù)n之間存在什么關(guān)系？

在用累加法進(jìn)行求解之前，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自行探究，通過(guò)迭代的方式來(lái)確定表達(dá)式，即a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，以此類(lèi)推可以得到an=a1+(n-1)d.

在迭代確定規(guī)律的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行累加計(jì)算：

a2-a1=d，

a3-a2=d，

a4-a3=d，

…………

an-an-1=d.

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察以上算式，如果進(jìn)行累加處理就可以消去一部分量，最終得到an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d，此式在n=1時(shí)依然成立.因此，在n為任意正整數(shù)的情況下該表達(dá)式恒成立，這就是等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

設(shè)計(jì)意圖：通項(xiàng)公式的推導(dǎo)需要大膽猜想，通過(guò)找規(guī)律的方法能得到初步的結(jié)論，以此提升學(xué)生的自信心.公式的推導(dǎo)需要教師適當(dāng)指導(dǎo)，通過(guò)迭代或者累加的方法證明學(xué)生的猜想，啟發(fā)學(xué)生自主思考，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神，豐富學(xué)生的歸納總結(jié)、猜想假設(shè)等數(shù)學(xué)素養(yǎng).

6 總結(jié)

HPM教學(xué)理念對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的作用，但是在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師自身數(shù)學(xué)史知識(shí)的儲(chǔ)備量、對(duì)數(shù)學(xué)史的理解、數(shù)學(xué)史料的收集途徑等都會(huì)影響教師借助數(shù)學(xué)史開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)的動(dòng)力以及教學(xué)效果.因此，需要構(gòu)建專(zhuān)門(mén)的教學(xué)資源平臺(tái)，方便教師收集與整理資料，教師自身也需要加強(qiáng)積累，深化理解，不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)史的教學(xué)效果.

綜上所述，HPM的融入能夠使數(shù)學(xué)教學(xué)體系更為完善，以培養(yǎng)并提升學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).在教學(xué)過(guò)程中，教師需要將HPM理念簡(jiǎn)單視為一種教學(xué)形式，只追求數(shù)學(xué)史拼湊的教學(xué)方案很難優(yōu)化教學(xué)效果.數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的融入，不僅只局限在數(shù)學(xué)史教學(xué)層面，更應(yīng)該體現(xiàn)在通過(guò)教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史進(jìn)行再創(chuàng)造，對(duì)數(shù)學(xué)史進(jìn)行傳承與創(chuàng)新.