創(chuàng)設(shè)有效教學(xué)情境 激發(fā)學(xué)生深度思維*

陳春芳 林 濤

(江蘇省錫山高級(jí)中學(xué),214000) (江蘇省無錫市惠山區(qū)教師發(fā)展中心,214000)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出:“高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,教師的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)該把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出合適的數(shù)學(xué)問題,引發(fā)學(xué)生思考與交流,從而把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),最終形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”[1]. 數(shù)學(xué)在形成人的理性思維的過程中發(fā)揮著不可替代的作用.合適的教學(xué)情境在教學(xué)過程中所形成的情感氛圍,對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情,構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí),發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)有著重要的意義.那么，如何創(chuàng)設(shè)有效的數(shù)學(xué)教學(xué)情境呢?本文通過具體的案例對(duì)此進(jìn)行探究.

一、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)教學(xué)情境,要關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)體系的建構(gòu),為學(xué)生奠定思維的基石

案例1“函數(shù)的單調(diào)性”教學(xué)片斷

情境1函數(shù)是描述事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型.如果了解函數(shù)的變化規(guī)律,那么也就基本把握相應(yīng)事物的變化規(guī)律.函數(shù)有哪些變化規(guī)律?如何研究這些變化規(guī)律?

生:可以先畫出函數(shù)的圖象,觀察函數(shù)圖象,從而歸納出函數(shù)的性質(zhì).

情境2如圖1，圖2,觀察下列函數(shù)圖象,你能說出圖象的變化趨勢(shì)嗎?

生:圖1從左至右,圖象呈上升趨勢(shì).圖2從左至右,y軸左側(cè)圖象呈下降趨勢(shì);y軸右側(cè)圖象呈上升趨勢(shì).

情境3你能說出上述函數(shù)圖象所反映的函數(shù)的變化趨勢(shì)嗎?

生:在圖1中y隨x的增大而增大.在圖2中,y軸左側(cè),y隨x的增大而減小;y軸右側(cè),y隨x的增大而增大.

本章的章首語引用了恩格斯的一段話:數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù).有了變數(shù),運(yùn)動(dòng)就進(jìn)入了數(shù)學(xué);有了變數(shù),辯證法就進(jìn)入了數(shù)學(xué).這句話不僅指出函數(shù)的重要特征，刻畫運(yùn)動(dòng)變化的模型,同時(shí)也指出函數(shù)的重要地位和作用.函數(shù)是中學(xué)階段的一個(gè)重要內(nèi)容,在初中階段，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念,會(huì)用描點(diǎn)法繪制具體函數(shù)的簡(jiǎn)圖,掌握一次、二次和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，具有研究函數(shù)性質(zhì)的初步經(jīng)驗(yàn).基于學(xué)生的基本學(xué)情,在教學(xué)過程中，應(yīng)設(shè)計(jì)具有承上啟下的數(shù)學(xué)情境,引導(dǎo)學(xué)生不斷加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解.因此,情境1的設(shè)置啟發(fā)學(xué)生思考兩個(gè)問題:一是為什么要研究函數(shù)的性質(zhì)?二是怎樣研究函數(shù)的性質(zhì)?通過對(duì)這兩個(gè)問題的思考,學(xué)生能認(rèn)識(shí)到函數(shù)是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)數(shù)學(xué)模型,只要能把握函數(shù)的性質(zhì),就能夠把握相應(yīng)事物的變化規(guī)律,即通過對(duì)函數(shù)模型的研究來把握一類事物的變化規(guī)律,進(jìn)而能做出相關(guān)的判斷和預(yù)測(cè).怎樣研究函數(shù)的性質(zhì)呢?這時(shí)學(xué)生會(huì)回憶以前相關(guān)的學(xué)習(xí),即通過作圖——直觀觀察——提煉概括、表述函數(shù)性質(zhì),這樣就明確了這節(jié)課的研究方法.情境2和情境3則給出研究函數(shù)性質(zhì)的具體操作途徑,先觀察特殊函數(shù)的圖象,直觀感知,說出圖象的特征.圖象的特征其實(shí)就是函數(shù)的一種變化趨勢(shì),然后再將圖形語言翻譯成符號(hào)語言.這里滲透的數(shù)學(xué)思想方法有:從特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的思想,這也為以后研究函數(shù)其他性質(zhì)作鋪墊.

二、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)教學(xué)情境,要關(guān)注數(shù)學(xué)方法的類比和遷移,為學(xué)生搭建思維的腳手架

案例2“點(diǎn)到直線的距離”教學(xué)片斷

情境1如何用代數(shù)方法刻畫點(diǎn)和直線?如何用代數(shù)方法刻畫點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離?

情境2在平面直角坐標(biāo)系中,求點(diǎn)P(1,1)到直線l:x+2y-6=0的距離.

學(xué)生主要有以下四種思路:

情境3在平面直角坐標(biāo)系中,求點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的距離.

師:通過情境2中問題的解決,你有什么啟發(fā)?你有哪些方法求點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的距離?你會(huì)選用哪種方法?

生1:用三角法.但是要根據(jù)點(diǎn)P與直線的位置關(guān)系分類討論,還要注意角的α的選取.

還有個(gè)別同學(xué)用了函數(shù)法和定義法,但是都表示運(yùn)算太復(fù)雜沒有算出來.

情境1主要是幫學(xué)生回顧點(diǎn)和線的代數(shù)表示方法,復(fù)習(xí)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.情境2是求一個(gè)具體的點(diǎn)到直線的距離,學(xué)生可以想到四種不同的思路,方法都是幾何問題代數(shù)化.這個(gè)情境的創(chuàng)設(shè)就是搭好腳手架,讓學(xué)生打開解決問題的思路,掌握不同的運(yùn)算方法.通過創(chuàng)設(shè)問題引領(lǐng)的數(shù)學(xué)情境,引導(dǎo)學(xué)生開展一系列的數(shù)學(xué)探究活動(dòng).在此基礎(chǔ)上,情境3將問題一般化,引導(dǎo)學(xué)生探究點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0)的距離.有了解決情境2的經(jīng)驗(yàn),學(xué)生會(huì)通過直觀判斷比較不同的計(jì)算方法的優(yōu)劣,不斷優(yōu)化解法,簡(jiǎn)化運(yùn)算.在教學(xué)過程中,也需引導(dǎo)學(xué)生思考,面積法其實(shí)就是化斜為直,將二維問題轉(zhuǎn)化為一維問題,體現(xiàn)降維的思想,所以運(yùn)算會(huì)得到簡(jiǎn)化..

三、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)教學(xué)情境,要關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì),為學(xué)生構(gòu)建思維的生長(zhǎng)點(diǎn)

案例3“空間幾何體的表面積”教學(xué)片斷

情境1圖4—圖6所示幾何體都是棱柱,你會(huì)求哪些棱柱的側(cè)面積?

生:棱柱的側(cè)面積就是每個(gè)側(cè)面的面積之和,即S側(cè)=a1h1+a2h2+a3h3+a4h4.

師:這個(gè)側(cè)面積公式能否化簡(jiǎn)?需要添加什么條件可以化簡(jiǎn)?

生:在圖5和圖6中,h1=h2=h3=h4,所以此時(shí)S側(cè)=ch(其中c為底面周長(zhǎng)).

師:利用側(cè)面展開的方法求棱柱的側(cè)面積,其主要思想是將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.為了使得面積公式不斷簡(jiǎn)化,我們從一般的棱柱到一類特殊的棱柱即直棱柱(側(cè)棱垂直于底面),上述問題過程可以歸納為:

類比棱柱側(cè)面積的研究方法,學(xué)生可以自主探究出棱錐和棱臺(tái)的概念及側(cè)面積公式.

情境2直棱柱、正棱錐和正棱臺(tái)的側(cè)面積公式能否從形式上統(tǒng)一?

生:可以,只要改變上底面的周長(zhǎng)即可,

情境3你能利用直棱柱的側(cè)面積公式推導(dǎo)出圓柱的側(cè)面積公式嗎?

當(dāng)n趨向于正無窮時(shí),底面的正n邊形趨向于圓,正n棱柱趨向于圓柱,此時(shí)的底面周長(zhǎng)趨向于圓周長(zhǎng),利用極限的思想可知圓柱的側(cè)面積公式為S側(cè)=ch=2πrh(其中r為底面半徑).

這一節(jié)內(nèi)容課本按照定義——公式——應(yīng)用這樣的順序設(shè)置，沒有照搬教材的思路,而是重新設(shè)計(jì)教學(xué)思路,設(shè)置了一系列的數(shù)學(xué)情境.情境1讓學(xué)生對(duì)棱柱有了再一次的直觀認(rèn)識(shí),從圖形直觀判斷求側(cè)面積的方法,滲透將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題解決的基本思想.在得到S側(cè)=a1h1+a2h2+a3h3+a4h4后,繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探究公式是否可以化簡(jiǎn)？這時(shí)學(xué)生的思考將由直觀觀察變?yōu)槔硇运伎?學(xué)生會(huì)想其中隱含的數(shù)學(xué)問題是什么?即什么條件下公式才能簡(jiǎn)化?有了前面研究空間幾何的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),此時(shí)學(xué)生會(huì)將一般的棱柱特殊化成一類側(cè)棱垂直于底面的棱柱(即直棱柱),這樣便得到直棱柱的側(cè)面積公式.類比棱柱的研究思路和方法,學(xué)生還能繼續(xù)推導(dǎo)出正棱錐和正棱臺(tái)的側(cè)面積公式.情境2是讓學(xué)生對(duì)空間幾何體進(jìn)行橫向的對(duì)比和研究,在幾何角度,棱柱的一個(gè)底面收縮為一個(gè)點(diǎn)時(shí)便能得到棱錐,棱臺(tái)的上下底面一樣時(shí)便能得到棱柱,這種“形”的變化對(duì)應(yīng)著怎樣的“數(shù)”關(guān)系?這里體現(xiàn)了“數(shù)與形之間的和諧統(tǒng)一”.情境3是讓學(xué)生對(duì)空間幾何體進(jìn)行縱向的對(duì)比和研究,從棱柱到棱錐、棱臺(tái),空間多面體的側(cè)面積公式都可以用統(tǒng)一的形式表示.多面體與旋轉(zhuǎn)體之間有什么聯(lián)系呢?這里利用劉徽的割圓術(shù),滲透極限思想,也為球的表面積推導(dǎo)埋下伏筆.通過這樣的數(shù)學(xué)情境創(chuàng)設(shè),引領(lǐng)學(xué)生去探尋數(shù)學(xué)的本質(zhì),利用數(shù)學(xué)的思想和方法去分析和解決問題,在問題解決的過程中,理解數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì),在潛移默化中不斷提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).