巧構(gòu)向量 合理建模

李從清

(四川省營山中學(xué)校,637700)

向量同時兼?zhèn)洹皵?shù)”與“形”的雙重特征,是一個既有方向又有大小的量.在一些數(shù)學(xué)問題解題過程中,經(jīng)常通過合理數(shù)學(xué)建模,“無中生有”,構(gòu)建恰當(dāng)?shù)钠矫嫦蛄炕蚩臻g向量,運(yùn)用相關(guān)向量的知識(特別是幾何意義,對應(yīng)概念,數(shù)量積的公式、性質(zhì)以及一些相應(yīng)的公式等),巧妙融合不同的數(shù)學(xué)知識,可以達(dá)到優(yōu)化解題的良好效果.

一、巧構(gòu)向量,借助數(shù)量積公式解題

向量數(shù)量積的定義與對應(yīng)的坐標(biāo)公式,自身具有相應(yīng)的幾何意義,公式有其特有的形式特征.在具體求解一些相關(guān)問題時,可以利用數(shù)量積的幾何意義或公式特征,合理構(gòu)建向量,利用數(shù)量積的轉(zhuǎn)化,巧妙解決.

分析根據(jù)所求代數(shù)關(guān)系式的形式特征,合理聯(lián)想到平面向量數(shù)量積坐標(biāo)公式的特征,巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)建模,構(gòu)建對應(yīng)的平面向量,通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積來進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，利用數(shù)形直觀,實現(xiàn)問題的巧妙解決.

點評平面向量的數(shù)量積公式具有非常特殊的形式特征,在解決一些相關(guān)的數(shù)學(xué)問題中,當(dāng)形式與其類似或接近時,經(jīng)?？梢院侠頂?shù)學(xué)建模,構(gòu)建合適的平面向量,通過平面向量的數(shù)量積加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用,從而實現(xiàn)對相應(yīng)問題的巧妙解決.

二、巧構(gòu)向量,借助數(shù)量積性質(zhì)解題

由平面向量數(shù)量積的性質(zhì)a·b≤|a||b|或|a·b|≤|a||b|,可以實現(xiàn)等式與不等式之間的轉(zhuǎn)化,特別涉及一些線段長度、絕對值以及根式等相關(guān)關(guān)系式.借助平面向量數(shù)量積的不等式性質(zhì)這一強(qiáng)大解題功能,可以解決很多相關(guān)的問題.

(A)[4,20] (B)[16,20]

分析根據(jù)題目條件,借助條件中給出的關(guān)系式的恒等變換,引入?yún)?shù)進(jìn)行齊次化處理.通過構(gòu)建對應(yīng)的平面向量,利用平面向量的數(shù)量積性質(zhì)以及平面向量的位置關(guān)系,分類討論并確定對應(yīng)的參數(shù)的最大值與最小值,進(jìn)而確定參數(shù)的取值范圍問題.

點評通過合理的數(shù)學(xué)建模,構(gòu)建恰當(dāng)?shù)钠矫嫦蛄炕蚩臻g向量,借助向量數(shù)量積的不等式性質(zhì)及其他相關(guān)性質(zhì),構(gòu)建對應(yīng)的不等式,進(jìn)而可以用來解決參數(shù)取值范圍或最值、代數(shù)關(guān)系式的最值等一些相應(yīng)的問題.

三、巧構(gòu)向量,借助夾角公式解題

例3(2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練(八省聯(lián)考)數(shù)學(xué)第14題)若正方形一條對角線所在直線的斜率為2,則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為______；______.

分析根據(jù)題目條件建立對應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系,結(jié)合正方形的性質(zhì)特征,構(gòu)建對應(yīng)的對角線與正方形一鄰邊所在直線的方程,根據(jù)相應(yīng)直線的法向量以及兩直線法,向量的夾角公式構(gòu)建對應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而確定對應(yīng)參數(shù)之間的關(guān)系式,結(jié)合斜率公式確定對應(yīng)的斜率即可.

點評利用平面向量的法向量是實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的交匯與轉(zhuǎn)化的另一種重要方法技巧.以法向量為基礎(chǔ),運(yùn)用向量夾角公式,合理數(shù)學(xué)建模,建立有關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系式，使問題得到解決.

作為數(shù)學(xué)建模的特有模型,平面向量在一些數(shù)學(xué)問題的解決中有其特殊應(yīng)用.抓住平面向量的工具性及其“數(shù)”與“形”的雙重性質(zhì),合理構(gòu)建對應(yīng)的平面向量或空間向量,從向量的條件背景出發(fā),或從向量“形”的特征切入,或從向量“數(shù)”的性質(zhì)應(yīng)用,巧妙解決函數(shù)與方程、不等式、平面幾何與平面解析幾何、三角函數(shù)以及解三角形等眾多的相關(guān)問題.通過這一過程實現(xiàn)知識點的交匯與融合以及知識點之間的密切聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,全面提升學(xué)生數(shù)學(xué)知識的理解與掌握,提升數(shù)學(xué)能力,培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).