聚焦學科本質(zhì) 提升關鍵能力*
——以圓錐曲線“幾何特征代數(shù)化”教學為例

王昌林 羅萍雙

(四川電影電視學院實驗中學,611331)

數(shù)學學科的本質(zhì)是什么?在數(shù)學教學中如何體現(xiàn)其學科本質(zhì)？這是每一個數(shù)學教育工作者都應該直面的問題.

以數(shù)學核心素養(yǎng)為導向,依托“四基”、培養(yǎng)“四能”、實現(xiàn)“三會”，這是數(shù)學教育的根本任務.為此，讓學生經(jīng)歷數(shù)學化活動而習得數(shù)學思維方式、發(fā)展所必需具備的關鍵能力以及獲得數(shù)學品格及健全人格的養(yǎng)成十分重要.

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法研究幾何問題,采用的方法為坐標法.通過建立坐標系,使平面內(nèi)的“點”對應“有序數(shù)對”,從而建立起幾何圖形與方程之間的聯(lián)系,再通過代數(shù)方法研究方程,實現(xiàn)研究幾何圖形性質(zhì)的目的.圓錐曲線幾何特征代數(shù)化活動經(jīng)驗的類型為策略性經(jīng)驗[1].《普通高中數(shù)學課程標準(2017 年版2020 年修訂)》(以下簡稱《新課標》)在平面解析幾何學業(yè)要求中指出:“根據(jù)具體問題情境的特點,建立平面直角坐標系;根據(jù)幾何問題和圖形的特點,用代數(shù)語言將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;根據(jù)對幾何問題(圖形)的分析,探索解決問題的思路;運用代數(shù)方法得到結(jié)論;給出代數(shù)結(jié)論的合理的幾何解釋,解決幾何問題”[2].由此可見,將圓錐曲線幾何特征代數(shù)化就是其本質(zhì).主要內(nèi)容有:

(1)理解圓錐曲線的基本概念;

(2)把握研究圓錐曲線問題所蘊含的思想方法;

(3)感悟研究圓錐曲線特有的思維方式;

(4)鑒賞圓錐曲線中的數(shù)學美;

(5)體驗在解決圓錐曲線問題時對數(shù)學探究精神品質(zhì)的追求.

本文以課本習題和近幾年高考試題為例，對此進行探究.

一、探索曲線方程，回歸概念本質(zhì)

在圓錐曲線課程設計中,《新課標》強調(diào)解析幾何的學習是讓學生通過建立坐標系,借助直線、圓與圓錐曲線的幾何特征,導出相應方程,用代數(shù)方法研究其幾何性質(zhì).因此,回歸概念,就是回歸本質(zhì).探索建立曲線方程的方式方法,是解決問題的基本策略.

評析例1是教材習題,除此以外，人教A版選修2-1的第47頁、59頁、65頁等也有與例1相類似的例題和習題.關于圓錐曲線方程,教材中只給出橢圓、雙曲線、拋物線,教師可以由此引導學生探究平面內(nèi)一動點到兩定點的距離之積與商以及與兩定點所在直線斜率的“和”、“差”、“積”、“商”為定值所對應的動點軌跡.這是學生習得回歸概念本質(zhì)的方法,教師應該關注.

二、探尋方法策略,回歸思想本質(zhì)

每一個板塊的數(shù)學知識都有其共性,掌握尋找問題本質(zhì)的方法、步驟才是上策.解析幾何的解題步驟相對固定,但不是生搬硬套,而是知識的運用和思想方法的體現(xiàn).

(1)求C的方程;

三、鑒賞數(shù)學之美,回歸背景本質(zhì)

研究試題的背景,有利于把握試題的本質(zhì).常見的命題背景有教材背景、現(xiàn)實背景、高考背景、競賽背景、高等數(shù)學背景以及數(shù)學文化背景等[3].在解題時,若能發(fā)掘其背景知識,鑒賞數(shù)學之美,那么整個解題過程必定是一種享受.

例3(2021年全國甲卷)拋物線C的頂點為坐標原點O,焦點在x軸上,直線l:x=1交C于P,Q兩點,且OP⊥OQ,已知點M(2,0),且⊙M與l相切.

(1)求C,⊙M的方程;

(2)設A1,A2,A3是C上的三個點,直線A1A2,A1A3均與⊙M相切,判斷直線A2A3與⊙M的位置關系,并說明理由.

解(1)拋物線C方程為y2=x,⊙M方程為(x-2)2+y2=1(過程略).

所以直線A2A3與⊙M相切.

評析直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線相切的高考試題很是常見,解決此類問題的關鍵在于抓住其本質(zhì),即彭賽列閉合定理.例3是以“彭賽列閉合定理”為背景的圓錐曲線試題.關于切線問題,一般有利用導數(shù)求切線斜率、利用直線與圓錐曲線的條件轉(zhuǎn)化為判別式為0等處理方式.

四、提升精神品質(zhì),回歸思維本質(zhì)

高考試題中,在解析幾何中加入幾何圖形的試題不在少數(shù).此類問題存在推理困難、運算量大等特點.想要解決此類問題,思維本質(zhì)的回歸是必不可少的,能在眾多關系中尋求解題思路也是對學生毅力與智力的考驗.

(1)求C的方程,并說明C是什么曲線;

(2)過坐標原點的直線交C于P,Q兩點,點P在第一象限,PE⊥x軸,垂足為E,連結(jié)QE并延長交C于點G.

(i)證明:?PQG是直角三角形;

(ii)求?PQG面積的最大值.

(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.

①

評析除三角形圖形外,還有平行四邊形可以轉(zhuǎn)化為一組對邊平行且相等,也可以轉(zhuǎn)化為兩條對角線互相平分;菱形可以轉(zhuǎn)化為對角線垂線且對邊互相平行;正方形可以轉(zhuǎn)化為對角線垂直相等且互相平分等,其關鍵在于思維的方式.